das Volumen eines Pyramidenstumpfes wird üblicherweise (wie ich gelernt habe) mit der Flächengröße der Grundfläche und der Schnittfläche sowie mit der Höhe bestimmt:
Gibt es auch eine Gleichung für den Fall, dass die Schnittfläche nicht bekannt ist, dafür aber die Neigung der Mantelflächen, wobei vorausgesetzt wird, dass alle Mantelflächen dieselbe Neigung haben?
Also:
Grundfläche und Schnittfläche sind parallel
alle Mantelflächen haben dieselbe Neigung
bekannt sind Grundfläche, Höhe und Mantelflächenneigung
Die Aufgabe lässt sich nicht allgemeingültig lösen.
Nehmen wir einen stehenden, symmetrischen Pyramidenstumpf mit quadratischer Grundfläche A1 an. Die Kantenlänge der Grundfläche ist demnach sqrt(A1).
Jetzt schneide senkrecht entlang der Kanten des Deckels nach unten. Der Rand, den du von der Grundfläche abschneidest, hat die Breite h*tan(a), Wobei der Winkel a oben, zwischen der Schnittfläche und dem Mantel gemessen wird. Was nach dem Abschneiden von der Grundfläche übrig bleibt, hat die Fläche des Deckels - und die Seitenlänge sqrt(A1) - 2*h*tan(a), bzw. die Fläche (sqrt(A1) - 2*h*tan(a))² Damit kannst du deine Formel wieder anwenden.
Nehmen wir an, du hast einen Pyramidenstumpf mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge 6, also Fläche 36. Weiterhin sei der abgeschnittene Rand 1 breit. Demnach hat der Deckel die Fläche 4*4=16.
Nun ein Pyramidenstumpf mit rechteckiger, nicht quadratischer Grundfläche von 123=16. Schneidet man auch hier ringsum 1 ab, hat der Deckel eine Fläche von 101=10. Das unterscheidet sich vom ersten Stumpf! Der Widerspruch liegt darin, daß dies gar kein Pyramidenstumpf ist, denn wenn man den Stumpf zu einer Pyramide machen will, läuft der Mantel nicht zu einem einzelnen Punkt zusammen.
An @sweber (den hilfsbereiten Kommentator von 2017):
Ich bin nach langer Zeit nochmal auf deine dankenswerte Erläuterung gestoßen. Ich bin aber etwas unsicher geworden.
Und zwar folgendes: du schreibst oben, der Winkel a wird zwischen der Schnittfläche und der Mantelfläche gemessen.
Das wäre in der Skizze z.B. oben in der Mitte der rechten Kante der Schnittfläche (oder Dachfläche), an der Stelle wo die Beschriftung „A2“ steht. Ich verstehe es so, dass damit der Außenwinkel gemeint ist, der müsste immer <90° sein.
Der Rand, der nach deiner obigen Beschreibung von der Grundfläche abgeschnitten wird, hätte die Breite
h * tan(a)
Da bin ich etwas stutzig geworden (aber wie ganz z Anfang schon gesagt, meine Mathefähigkeiten sind minimal).
Wenn ich mir den Grenzfall vorstelle, dass der Winkel a = 90° ist, dann steht die Mantelfläche senkrecht, und die Schnittfläche ist gleich der Grundfläche (A1 = A2) - d.h. es wird kein Rand von der Grundfläche abgeschnitten.
Dann müsste gemäß deiner obigen Gleichung das Produkt aus h und der Winkelfunktion von a gleich 0 sein, denn es gibt keinen abzuschneidenden Rand. Ergo: die Winkelfunktion von a = 90° muss auch gleich 0 sein, damit das Produkt 0 ist. Bei 90° ist aber nicht der Tangens gleich 0, sondern der Cotangens (oder auch 1/tan).
Ist das korrekt, oder habe ich da einen Denkfehler gemacht?
Der Rand, der von der Grundfläche abgeschnitten wird, hätte dann die Breite:
h * 1/tan(a).
Ich weiß nicht, ob ich damit richtig liege, aber vielleicht liest du das zufällig - oder es nimmt sich vieleicht jemand nochmal des Problems an.
Herzlichen Dank.
Viele Grüße, Salomo
(der sich hier leider keinerlei Weisheit rühmen kann)
Du hast Glück, daß ich das gesehen habe. Wenn es neue Beiträge gibt, rutscht ein Thema nicht wieder nach oben. Und benachrichtigt wird nur der Fragesteller, Schreiber von Antworten, wenn diese kommentiert werden, und eben jeder, der mit dem @ vor dem Namen erwähnt wird. Aber so hab ich es gesehen.
Deine Überlegung ist richtig, allerdings rührt das daher, daß du den anderen Winkel meinst. Gibt man einen Winkel zwischen zwei Graden oder zwei Ebenen (Hier: zwischen Schnittfläche und Mantel) an, meint man allgemein erstmal den spitzen Winkel - du hast den stumpfen genommen.
Mein spitzer Winkel wird für senkrechte Wände 0, damit tan(0)=0, und Breite b=h*0=0. Also, alles gut!
herzlichen Dank für die prompte Antwort! Werde mich nochmal ausführlich mit damit befassen (und vermutlich etwas schneller als nach >1 Jahr damit klarkommen)
Nun ja, du wolltest es ja in eine einzelne Formel packen. Die steht ja da. Ich hab natürlich nicht alle Zwischenschritte notiert. Mußt zum Schluß nur noch ersetzen a = 1/2 √ F1.
