Hallo Allemiteinander,
Damals vorm Kriech lernten wir in der Schule, dass 0,9periodisch gleich 1 sei.
Auf den Zahlenstrahl als Punkte übertragen, müssten demnach die Punkte 0,9p und 1 superpositioniert aufeinander liegen.
Ich frage mich, wie man durch aneinanderreihen von Punkten, welche sowohl in Länge Null haben und auch im Abstand zueinander Null sind, irgendwann z.B eine Strecke mit Länge >0 erzeugen kann.
Gruß und Kuss, Zera
Hi,
Damals vorm Kriech lernten wir in der Schule, dass
0,9periodisch gleich 1 sei.
Auf den Zahlenstrahl als Punkte übertragen, müssten demnach
die Punkte 0,9p und 1 superpositioniert aufeinander liegen.
nein, sie liegen nicht übereinander, denn beides ist derselbe Punkt, wie Du ja weißt. Der Punkt auf dem Zahlenstrahl hat halt zwei zulässige Dezimaldarstellungen, von der die endliche bevorzugt wird.
Ich frage mich, wie man durch aneinanderreihen von Punkten,
welche sowohl in Länge Null haben und auch im Abstand
zueinander Null sind, irgendwann z.B eine Strecke mit Länge >0
erzeugen kann.
Punkte mit Abstand Null sind identisch. Aber es stimmt natürlich, dass zwischen zwei verschiedenen Punkten, egal wie dicht sie beieinander liegen, noch überabzählbar unendlich viele andere Punkte liegen. Hat über 2000 Jahre gebraucht zwischen der Formulierung des Problems bei den alten Griechen und der Akzeptanz dieser Tatsache.
Gruß, Lutz
Weiß ich schon
Punkte mit Abstand Null sind identisch. Aber es stimmt
natürlich, dass zwischen zwei verschiedenen Punkten,
überabzählbar unendlich viele andere Punkte liegen.
Gruß, Lutz
Ya wie werden dann Entfernungen mit Punkten aufgebaut, wenn doch der Abstand zwischen Punkten null ist.
Ya wie werden dann Entfernungen mit Punkten aufgebaut, wenn
doch der Abstand zwischen Punkten null ist.
Entfernungen werden nur „aufgebaut“, wenn sich die Punkte bewegen.
Ansonsten gilt: ist der Abstand null, sind die Punkte deckungsgleich. Haben sie einen von Null verschiedenen Abstand, ist dieser halt die Entfernung zwischen ihnen.
Irgendwie weiß ich nicht, was dein Problem ist.
Hallo,
Damals vorm Kriech lernten wir in der Schule, dass
0,9periodisch gleich 1 sei.
was du ansprichst findet man auch noch heute z.B. unter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Dezimalsystem#Dezimalbr…
im Abschnitt:
Doppeldeutigkeit der Darstellung [Bearbeiten]
daraus u.a.:
„Eine besondere Eigenschaft bei der Dezimalbruchentwicklung ist, dass viele rationale Zahlen zwei unterschiedliche Dezimalbruchentwicklungen besitzen. … Aus dieser Identität kann man weiter folgern, dass viele rationale Zahlen (nämlich alle mit endlicher Dezimalbruchentwicklung mit Ausnahme der 0) auf zwei verschiedene Weisen darstellbar sind: entweder eben als endlicher Dezimalbruch mit Periode 0, oder als unendlicher mit Periode 9.
Um die Darstellung eindeutig zu machen, kann man die Periode 9 (oder seltener die Periode 0) jedoch schlicht verbieten und sich auf endliche Dezimalbrüche beschränken.“
Gruß
watergolf
Ist der Abstand null, sind die Punkte
deckungsgleich. Haben sie einen von Null verschiedenen
Abstand, ist dieser halt die Entfernung zwischen ihnen.
Mein Verständnis versagt beim Übergang vom Abstand „Null“ auf „zu Null verschieden“
Nehmen wir zum Bleistift eine reelle Strecke zwischen dem Nullpunkt und 1. Die beiden haben einen Abstand (von eins) aber sie sind durch Punkte miteinander verbunden, welche jeweils einen Abstand von „Null“ zum Nachbarspunkt haben.
Da unendlich viele Punkte zwischen Nullpunkt und Eins existieren, ist es eine Rechnung mit „Unendlich mal Abstand Null ergbit Eins“ oder sowas in der Art oder wie darf mandas verstehen?
Da unendlich viele Punkte zwischen Nullpunkt und Eins
existieren, ist es eine Rechnung mit „Unendlich mal Abstand
Null ergbit Eins“ oder sowas in der Art oder wie darf mandas
verstehen?
Multiplizieren und dividieren mit 0 und unendlich ist etwas komplizierter. Da rechnet man dann mit grenzwerten.
aber sie sind durch Punkte miteinander verbunden, welche
jeweils einen Abstand von „Null“ zum Nachbarspunkt haben.
Nein, man spricht von „die Punkte haben einen Abstand nahe Null“, oder „der Abstand ist so klein dass man in der Folgerechnung vernachlässigen kann“.
In diesem Fall darf man ihn aber nicht vernachlässigen weil das Ergebnis dadurch signifikant beeinflusst würde. Der Abstand ist nahe Null aber größer als Null. Und somit haben wir etwas sehr kleines was oft genug aufaddiert Deine 1 aus Deinem Beispiel ergibt.
Lutz vs Safrael
Safrael:
Man spricht von „die Punkte haben einen Abstand nahe
Null“, oder „der Abstand ist so klein dass man in der
Folgerechnung vernachlässigen kann“.
Der Abstand ist nahe Null aber größer als Null. Und somit haben
wir etwas sehr kleines was oft genug aufaddiert Deine 1 aus
Deinem Beispiel ergibt.
Lutz:
Aber es stimmt natürlich, dass zwischen zwei verschiedenen Punkten,
egal wie dicht sie beieinander
noch überabzählbar unendlich viele andere Punkte liegen.
So wie ich das sehe meinte Lutz, dass zwischen zwei verschiedenen Punkten (unendlich viele) andere Punkte Liegen und Safrael hingegen schrieb, es gäbe Punkte mit „einem sehr kleinen Abstand nahe Null“ und wie ich verstehe es so, dass es laut Safrael keine weiteren Punkte dazwischen gibt.
Safraels Behauptung würde in der Tat die Entstehung von Entfernungen erklären aber Lutz hat da eher Recht. Wenn man meinen Anfangspost hernimmt, dann sehe ich den linken Nachbarspunkt von „1“ an, welcher 0,9p ist. Er hat keinen „kleinen Abstand“ zu 1, sondern 0,9p IST 1, wie es die Leute bereits gepostet haben. Ich weiss also nach wie vor nicht, wie sich eine Entfernung aufbaut.
So wie ich das sehe meinte Lutz, dass zwischen zwei
verschiedenen Punkten (unendlich viele) andere Punkte Liegen
und Safrael hingegen schrieb, es gäbe Punkte mit „einem sehr
kleinen Abstand nahe Null“ und wie ich verstehe es so, dass es
laut Safrael keine weiteren Punkte dazwischen gibt.
Falsch: solange ein Abstand vorhanden ist, sei er noch so klein, gibt es wieder unendlich viele Punkte dazwischen. Und größer Null bedeutet nun einmal, dass ein seeeeeehr kleiner Abstand vorhanden ist.
Safraels Behauptung würde in der Tat die Entstehung von
Entfernungen erklären aber Lutz hat da eher Recht. Wenn man
meinen Anfangspost hernimmt, dann sehe ich den linken
Nachbarspunkt von „1“ an, welcher 0,9p ist. Er hat keinen
„kleinen Abstand“ zu 1, sondern 0,9p IST 1, wie es die Leute
bereits gepostet haben. Ich weiss also nach wie vor nicht, wie
sich eine Entfernung aufbaut.
0,9p und 1 sind zwei verschiedene Namen für exakt den selben Punkt. Es ist tatsächlich exakt der selbe.
Beweis:
0,9p
= 0,3p +0,6p
= 1/3 + 2/3
= 1
Tach,
0,9p und 1 sind zwei verschiedene Namen für exakt den selben
Punkt. Es ist tatsächlich exakt der selbe.
Beweis:
0,9p
= 0,3p +0,6p
= 1/3 + 2/3
= 1
es ist sogar so, dass wenn man sich die reellen Zahlen als eine Vervollständigung der rationalen Zahlen zurechtbastelt (wofuer man allerdings ein wenig was tun muss hinsichtlich der „Arbeit“ mit Verbaenden und Idealen, also so bissl Algebra betreiben und so…), dann stellt man fest, dass man eigentlich fuer reelle Zahlen zwei Repraesentanten hat und man muss „entscheiden“, welchen man nimmt. Man nimmt für die Darstellung der reellen Zahlen als partiell geordnete Menge die MN-Ideale von Q (Durchschnitte von Hauptanfaengen) Modulo {Q, \emptyset}.
Gruss
Paul
Korrektur
die MN-Ideale von Q (Durchschnitte von Hauptanfaengen) Modulo
{Q, \emptyset}.
Nicht Modulo, sondern minus.