Leider mit teilweise falschen Überlegungen und auch unnötigerweise, denn die rechenreglen sind sind alle seit dem 19. Jhdt. bereits bekannt. Inbesondere ist ∞ + a, mit a = beliebige relle Zahl, nicht größer als ∞
Die Rechenreglen sin u.a.
∞ + a = ∞
(d.h. ∞ +1 = ∞ +5 = ∞ + 0 usw,)
∞ + ∞ = ∞
∞ - a = ∞
∞ · a = ∞
∞ / a = ∞
(→ d.h. wenn du eine unendliche Menge in zwei Hälften teilst, sind beide Hälften immer noch unendlich)
∞ · ∞ = ∞
∞a = ∞
∞∞ = ∞
(d.h. z. B. die Punktmenge einer 1-dimensionalen Linie ist genauso groß wie die Punktmenge eines 3-dikensionalen (euklidischen) Raumes.
Aber die folgenden Ausdrücke sind undefiniert, d.h. man kann
∞ - ∞ nicht = 0 setzen, und
∞ / ∞ nicht = 1 setzen.
Auch mit der Vorstellung, endliche Körper unendlich zu teilen (wobei übrigens die Teile dann automatisch unendlich klein wären, also Punkte) muss man vorsichtig sein. Man sieht das an dem schon von @hroptatyr erwöhnten Beispiel des sog. Banach-Traski-Paradoxon..
Anderes Beispiel: Das „Volumen“ einer Menge unendlich vieler Punkte, deren gegenseitige Abstände als unendlich klein definiert werden, ist gleich dem Volumen eines einzigen Punktes, also = 0.
Und weitere Beispiele, die man „intuitiv“ (insbesondere nicht in der bloßn Vorstellung) nicht sofert erkennt: Die Menge aller natürlichen Zahlen ist genauso groß wie deren Teilmenge aller Quadrate der natürlichen Zahlen. Die Menge aller natürlichen Zahlen ist genauso groß wie deren Teilmmenge aller ungeraden oder geraden natürlichen Zahlen
Die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 2 ist genauso groß wie die zwischen 0 und 1 und auch wie die zwischen 0 und ∞ : Sie sind alle gleich unendlich.
Und die Menge der natürlichen Zahlen ist genauso groß wie die Menge der rationalen Zahlen (weil diese „abzäühlbar“ sind), Aber die Menge der natürlichen Zahlen ist kleiner als die Menge der reelen Zahlen (weil diese „überabzählbar“ sind).
Das sind nur ein paar Beispiele, wo man mit der bloßen Vorstellung nicht weiterkommt bzw. in die Irre gerät.
Gruß
Metapher
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