Ich öffne keine Links, wo ich erst etwas „downloaden“ muss. Und dass ich mich irren kann, hatte ich Thomas ja schon geschrieben.
Und gut ist
P.
dann schlag ne seite vor, wo ich das bild, ohne mir einen account zuzulegen und zig daten angeben zu müssen gratis hinstellen kan- dann werde ich das extra für dich gerne tun 
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Moin DCK,
ja, da habe ich aus Rechenfaulheit 1 kg/Liter genommen und prompt vergessen, zu erwähnen. Danke für den Hinweis und freundliche Grüße
Thomas
dann schlag ne seite vor, wo ich das bild, ohne mir einen
account zuzulegen und zig daten angeben zu müssen gratis
hinstellen kan- dann werde ich das extra für dich gerne tun
wie wäre es hiermit?
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Hallo lili,
-anstatt das ding einfch auszurechnen-
jaaaaa, verdammt, aber warum traut sich denn niemand? Ich zitiere aus dem Beitrag von MklMs weiter unten: „Nö, das ist eine nette Übung für mehrdimensionale Integration.“ und damit hat der Mann sowas von recht.
Erstmal sind die acht Würfelecken natürlich identisch. Sieht man in Gedanken von innen auf eine davon entlang der dort endenden Raumdiagonale, erkennt man, dass jedes Eckengebilde ein „Stern“ mit drei gleichen „Zacken“ ist, von denen jede wiederum aus zwei zueinander spiegelbildlichen Hälften besteht. Diese (insgesamt 24) Halbzacken sind die kleinsten Symmetrieeinheiten. Jede hat vier Seiten, von denen aber nur eine gekrümmt ist – das macht die Rechnung einfach. Die Krümmung ist dabei denkbar unkompliziert: Die Fläche ist ein Ausschnitt einer Zylinderoberfläche. Wie immer in solchen Fällen versucht man es also mal mit Zylinderkoordinaten und siehe da, mit Hilfe einer kleinen Skizze und ein bisschen Überlegung hat man die korrekten (und erfreulich einfachen) Integralgrenzen schnell herausgefunden, und dann kann man das Viech auch schon hinschreiben:
V_{Ecke} = 3 \cdot 2 \cdot
\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{4}} d\varphi
\int_{\rho=R}^{\frac{R}{\cos\varphi}} \rho:d\rho
\int_{z=0}^{R-\rho\cos\varphi} dz
Das Dreifachintegral ist das Volumen einer Eckensternzackenhälfte, das ρ vor dem dρ ist die Zylinderkoordinaten-Funktionaldeterminante und der Radius R ist die halbe Würfelkantenlänge.
So furchteinflößend das Integral aussehen mag so harmlos ist es. Wer Zweifel hat sollte es wirklich selbst auswerten (eine DIN A4-Seite reicht). Das Schlimmste, was einen erwartet, ist, die Stammfunktion von 1/cos² x wissen zu müssen. Es ist tan x.
Ergebnis:
V_{Ecke} = \Big(1 + \sqrt{2} - \frac{3}{4}\pi\Big) R^3
Alle acht Ecken zusammen haben das Volumen 8 VEcke und der Würfel hat das Volumen (2 R)³ = 8 R³. Bildet man das Verhältnis der Volumina kürzt sich gerade 8 R³ weg und übrig bleibt der eingeklammerte Faktor:
\textnormal{gesuchtes Volumenverh"altnis}
= 1 + \sqrt{2} - \frac{3}{4}\pi
Gruß
Martin
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kriegst ein humor-sternchen!
Hallo Martin
-anstatt das ding einfch auszurechnen-
jaaaaa, verdammt, aber warum traut sich denn niemand?
mit Hilfe einer kleinen Skizze und ein bisschen
Überlegung hat man die korrekten (und erfreulich einfachen)
IntegralgrenzenV_{Ecke} = 3 \cdot 2 \cdot
\int_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{4}} d\varphi
\int_{\rho=R}^{\frac{R}{\cos\varphi}} \rho:d\rho
\int_{z=0}^{R-\rho\cos\varphi} dz\textnormal{gesuchtes Volumenverh"altnis}
= 1 + \sqrt{2} - \frac{3}{4}\pi
endlich die brauchbare Antwort eines Experten - Sternchen dafür.
Ich wäre wahrscheinlich nicht darauf gekommen (hab es auch nicht versucht)
die „Eckenreste“ so zu betrachten.
Gruß VIKTOR
Nachtrag
Der Vollständigkeit halber: Ein Versuch mit kartesischen Koordinaten hat gezeigt, dass das ebenfalls gut funktioniert.
Dazu denke man sich eine Koordinatenachse (x) entlang einer Würfelkante mit dem Nullpunkt in der Zackenspitze. Die dazu orthogonale Querschnittfläche durch die Zacke ist dann ein Quadrat mit der Seitenlänge R - \sqrt{R^2 - x^2}. Somit hat eine Zacke das Volumen
\int_0^{\frac{1}{2}\sqrt{2} R} \big(R - \sqrt{R^2 - x^2}\big)^2 dx
Bei x = \frac{1}{2} \sqrt{2} R muss man die Integration beenden, weil man sonst die beiden anderen Zacken des Sterns anschneiden würde. Als Konsequenz davon bleibt in der Mitte jedes Eckensterns ein würfelförmiges Volumen übrig, das separat zu berücksichtigen ist. Bei der Rechnung in Zylinderkoordinaten entfällt das, weil dort dieses Volumen elegant in den Zackenhälften miterfasst wird. Dieser Würfel – es ist der rote in Lilis Skizze – hat die Kantenlänge \Big(1 - \frac{1}{2} \sqrt{2}\Big)R.
Insgesamt erhält man
V_{Ecke} = 3 \int_0^{\frac{1}{2}\sqrt{2} R} \big(R - \sqrt{R^2 - x^2}\big)^2 dx
- \Big(1 - \frac{1}{2} \sqrt{2}\Big)^3 R^3
Auch das kann man ohne Schwierigkeiten ausrechnen und das Ergebnis ist (natürlich) dasselbe wie in der Zylinderkoordinaten-Variante.
Sich für die vielen Sternchen bedankend
Martin
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