Hallo Mathematiker !
Im Urlaub tauchte die Frage auf, wie man das Volumen eines Igluzeltes berechnet
und ich wüsste gern, ob mein Ansatz richtig ist. Ich habe die
bezeichnenden Buchstaben etwas wirr vergeben, behalte es aber hier
bei, um nichts zu verwechseln.
Es geht um folgenden Körper : Zwei nach unten geöffnete, identische Parabeln kreuzen sich im Ursprung
(Spitze des Zeltes) im rechten Winkel. Punkte gleicher Höhe benachbarter Parabeln sind mit Geraden verbunden und bilden die Oberfläche. Unten ist das Zelt waagerecht abgeschlossen. Die Grundfläche bildet somit ein Quadrat und auch waagerechte Schnitte durch den Körper ergeben stets Quadrate.
Gegeben ist die Seitenlänge des Bodenquadrats b und die Höhe h0 in der Zeltmitte. Wie groß ist das
Volumen ?
Ich habe folgende Teilfläche
betrachtet :
x – Achse ist die Höhe in der Zeltmitte, die Zeltspitze ist der Ursprung.
Sie geht von Null bis h.
Y – Achse ist der Abstand von der Zeltmitte entlang einer Diagonale des Grundquadrats.
Sie geht von Null bis zur halben Diagonale der Grundfläche, genannt s0.
Der Graph ist ein Ast von einer der beiden aufspannenden Parabeln, der Zeltstangen.
Da nur die Seitenlänge des Grundquadrats gegeben ist, forme ich nach Pythagoras um, A0 ist die Fläche des Grundquadrats :
s0² + s0² = b²
A0 = b²
A0 = 2 s0 ²
s0=Wurzel(A0/2)
Jetzt zur Funktion :
Die liegende Parabel ist eine Wurzelfunktion mit einem Koeffizienten, der die Stauchung/Streckung
beschreibt, hier a genannt :
s(h) = a * Wurzel(h)
a kann man am einzigen bekannten Punkt bestimmen, nämlich da, wo die Zeltstange den Boden berührt, am Punkt h0 / s0.
a = s0 / Wurzel(h0)
Die Funktion ist dann :
s(h) = s0/Wurzel(h0) * Wurzel(h)
Wenn das Zelt an der Stelle h
waagerecht abgeschnitten wird, entsteht ein Quadrat der Größe A.
Nach Pythagoras ist A = b² = 2s²
Setzt mal als s die Funktion ein, erhält man eine Funktion, die die Fläche des durch waagerechten
Schnitt entstehenden Quadrates in Abhängigkeit von der Höhe des Schnitts beschreibt :
A(h) = 2 s²(h)
A(h) = 2 * [s0/Wurzel(h0) * Wurzel(h)] * [s0/Wurzel(h0) * Wurzel(h)]
bzw.
A(h) = 2 * s0²/h0 * h
Die Fläche scheint mit der Höhe des Schnitts linear anzuwachsen, denn s0 und h0 sind ja gegeben. Wenn das Volumen der Fläche unter dem Graph im Bereich Null bis h0 ist, gilt :
V = h0 * A(h0) / 2
V = h0 * (2 * s0² * h0) / (h0 * 2) oder
V = h0 * s0²
Da man die Seitenlänge des Grundquadrats einsetzen soll, gilt :
2 s0² = b oder s0² = b² / 2
V = h0 * b² / 2
Das Volumen eines Igluzeltes wäre damit genau halb so groß wie der umschreibende Quader.
Stimmt die Rechnung ?
Für Aufklärung dankbar,
Jochen