Wie kann es in homokline Schnittpunkte geben?

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebe Expertin, lieber Experte

Z.B. hier:

http://www.robert-doerner.de/Glossar/glossar.html#H

ist davon die Rede, dass in kontinuierlichen dynamischen Systemen die instabile Mannigfaltigkeit eines Fixpunktes die stabile Mgfk. desselben Fixpunktes transversal schneiden kann (homokliner Schnittpunkt). Wie ist das möglich? Ich denke, für einen bestimmten Startpunkt ist die Trajektorie dieses Punktes eindeutig bestimmt. Nimmt man den homoklinen Schnittpunkt als Startpunkt, so kann er nicht sowohl der stabilen als auch der instabilen Mgfk. folgen.

Eine zweite Frage, die wohl mit der ersten zusammenhängt: Schon Poincaré hat bemerkt, dass die Existenz eines homoklinen Schnittpunktes die Existenz unendlich vieler weiterer solcher nach sich zieht, was anscheinend mit der Invarianz der stabilen/instabilen Mgfk. zu tun hat. Ich verstehe aber nicht, wie man dies begründet.

Besten Dank für Ihre Antwort.

Freundliche Grüsse,

Adrian

#2

Hallo Adrian,

… dass in kontinuierlichen dynamischen
Systemen die instabile Mannigfaltigkeit eines

Fixpunktes die

stabile Mgfk. desselben Fixpunktes transversal

schneiden kann

(homokliner Schnittpunkt). Wie ist das möglich? Ich

denke, für

einen bestimmten Startpunkt ist die Trajektorie dieses

Punktes

eindeutig bestimmt.

Das stimmt.

Nimmt man den homoklinen Schnittpunkt als
Startpunkt, so kann er nicht sowohl der stabilen als

auch der

instabilen Mgfk. folgen.

Das sehr wohl doch.
In der Tat kann man sich es sich so vorstellen, dass
der Fluss in Richtung der stabilen Mannigfaltigkeit
eines hyperbolischen Sattelpunktes p zusammenläuft, in
Richtung der instabilen M. jedoch divergiert.

Eine zweite Frage, die wohl mit der ersten

zusammenhängt:

Schon Poincaré hat bemerkt, dass die Existenz eines

homoklinen

Schnittpunktes die Existenz unendlich vieler weiterer

solcher

nach sich zieht, was anscheinend mit der Invarianz der
stabilen/instabilen Mgfk. zu tun hat. Ich verstehe

aber nicht,

wie man dies begründet.

Existiert ein weiterer Punkt q des Sattelpunktes p,
in dem sich stabile und instabile Mannigfaltigkeiten
transversal schneiden, so ist es gerade jene
Eindeutigkeit des Flusses, die zu diesem scheinbaren
Paradoxon führt: die Dynamik „bewegt“ q mittels der
instabilen Mannigfaltigkeit von p in der Richtung W_u
weg. Gleichzeitig jedoch muss er sich - da der Punkt ja
gleichzeitig auch auf der W_s von p liegt, auf diesen
hinzubewegen.

Ich empfehle sehr die Lektüre des Buches von
Guckenheimer / Holmes: Nonlinear Oscillations,
Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Da
deren Ansatz geometrisch motiviert ist, sind die
Zusammenhänge recht anschaulich und durch gute
Illustrationen werden diese scheinbar absurden
Gegebenheiten fassbar. Einfache Rechenbeispiele lassen
sich gut nachvollziehen.

Beste Grüße

Martin

#3

Lieber Adrian,

Ich bin ehe Chaosforscherin der Soziale Systeme. Aber warum fragst du nicht direkt Robert Doerner selbst. Damit hast du wahrscheinlich nicht nur Antworten für Deine Fragen sondern darüberhinaus, möglicherweiser einn Freund/Kollege in dem wirklich interessanten Bereich, nämlich Chaos Theory. Du kanns mir glauben, ich beneide Dich jetzt schon um deinen InfoAustausch mit ihm. Also, gehe auf die „Home“ der genannten Seite. Da steht „Infos zum Autor“. Da steht auch seine E-mail Adresse, und auch Fax-Nummer. Es tut mir leid, daß ich deine Fragen nicht selbst beantworten kann.
Viel Glück+Spass.
(hätte ich nicht du sondern Sie sagen sollen??!!)
P.S. Ich bitte um Entschuldigung auch dafür, daß ich so spät antworte. Ich hatte nämlich gedacht, ich bin nicht mehr bei wer-wie-was!!!

#4

Lieber Adrian,
Ich bin es noch mal.
Mir viel ein, daß, wenn es Dir lieber ist, kann natürlich auch ich Robert Doerner danach fragen.

Vielleicht meldest Du dich noch einmal hier!

Bis bald

#5

Lieber Adrian,
Zum dritten Male bin ich wieder da!

Ich verstehe so, daß es wegen der homokliner Schnittpunkte (transversale, d.h. um einen Winkel sich schneidende stabile und unstabile…) ändern die Trajectories ihre Richtung (eben um einen Winkel), und gerade dadurch entstehen auch die sogenannten strenge Atractors, z.B. Lorenz Atractor. Die Möglichkeiten der Veränderungen der Bahnen sind um einen jeweils bestimmten Winkel eingeschränkt, so daß jeweils nur ein bestimmte Muster der gesammten Bahnen entsteht, die man strange Atracktor nennt.
Zum zweiten Teil Deiner Frage: ich wüsste es auch gerne!!!

Liebe Grüsse!

Sahizer Aydin

#6

Sorry, falscher Ansprechpartner. Ich verstehe, wenn’s hoch kommt, die Hälfte… o_0

MfG, mx.