Hi Muzl,
es ist schwer nachvollziehbar, dass das bei Dir wirklich so gelaufen ist. Aber gut, vermutlich war das wirklich so, dennoch glaube ich nicht, dass das allgemein so funktioniert.
Der erste - und wichtigste - Unterschied ist sicher, dass sie den Job zum 1. Februar wohl „in Aussicht“ aber keinesfalls „sicher“ hat. Das heisst, das kann noch scheitern und dann steht sie halt doof da.
Zweitens, das wurde ja schon erwähnt, wertet das Arbeitsamt einen Aufhebungsvertrag genauso wie eine eigene Kündigung, das hilft also nix.
Drittens kann ich mir nicht vorstellen, dass ein Arzt jemanden der sich im Job „nicht mehr wohl fühlt“ und „langsam gesundheitliche Probleme“ bekommt einem sowas unterschreibt. Mal ne Krankschreibung für 1-2 Wochen, weil man grad die allgemeine (Job)Krise hat, okay. Aber ob er das Attest dann auch stellen darf und wird halte ich für höchst fraglich. Und ob in dem Attest dann auch noch das richtige drin steht, so dass das Arbeitsamt das anerkennt ist die nächste Frage. Denn wenn ich das richtig verstehe, will die Ausgangsfragestellerin ja im gleichen Bereich tätig bleiben und „nur“ den Arbeitgeber wechseln.
Darum nochmal der innigliche Tip an @AnneZi: Mach Dir bitte unbedingt erst den neuen Arbeitgeber klar. Sprich: guck, dass Du nen Vertrag schriftlich vorliegen hast! Dann kündigst Du zum 31. Januar (oder dem nächst möglichen, bitte unbedingt jetzt schon im alten Vertrag gucken, bis wann Du kündigen musst, damit Du zum 1. Februar im neuen Job anfangen kannst). Derweil gehst Du zur Kur, da verlierst ja erstmal nix. Notfalls nimmst das Kündigungsschreiben mit vorfrankiertem Umschlag mit zur Kur und schickst das von dort aus ab 
