Wie Länge des Fadenpendels ändern, um Schwingungsdauer zu verdoppelt?

[Feuerchief]

Aufgabe: Wie muss man die Länge l des Fadenpendels ändern,damit sich die Schwingungsdauer T verdoppelt?
Ich habe da wieder ein Problem mit der Umstellerei:

T=2π√l/g
T’=2(2π*√l/g)

2π√l/g = 22π√l/g / /2π
√l/g = 2√l/g / quadr.
l/g= 4 * l/g

Fehler!?!
Jetzt komme ich auf l=1/4l oder g=1/4g !!

Wo mache ich da den entscheidenden Fehler??

Vielen Dank!

[Martin]

Hallo,

Deinem Lösungsansatz fehlt eine Gleichung mit l’ – so kann das nix werden.

T = 2π Wurzel(l/g)

⇔ l = c T²

wobei c den Kehrwert von 2π Wurzel(1/g) abkürzt.

T_neu = 2 T_alt ⇒ l_neu = c T_neu² = c (2 T_alt)² = 4 c T_alt² = 4 l_alt

Oder etwas allgemeiner:

T_neu = α T_alt ⇒ l_neu = c T_neu² = c (α T_alt)² = α² c T_alt² = α² l_alt

Oder in allerallgemeinster Allgemeinheit:

Wenn irgendwelche zwei Größen x und y durch die Beziehung y = c x^k miteinander verknüpft sind, dann impliziert eine Ver-α-fachung von x eine Ver-β-fachung von y und umgekehrt, wobei β = α^k beziehungsweise dazu äquivalent α = β^1/k gilt.

Alles klar? ;–) Beweise das selbst ruhig noch einmal für Dich – ist ja jetzt nicht mehr schwierig.

Gruß
Martin

[sweber]

Hallo!

im Prinzip hat @Martin völlig recht, ich würde es aber an deiner bisherigen Rechnung korrigieren.

Es ist ja

T=2π*√l/g

sowie

T’=2π*√l’/g

und es gilt

T’=2*T

Dein Fehler liegt in folgender Zeile, da fehlt der Strich am l:

2π√(l’/g) = 22π*√(l/g)

Wenn du deine Rechnung korrigierst, steht da am Ende die Lösung:

l’=4l

[Pontius]

wobei c den Kehrwert von 2π Wurzel(1/g) abkürzt.

c = g/(4¶²)

[Martin]

So eine Quadrierung ist aber auch mal sowas von schnell übersehen… :–/
Gut aufgepasst, Pontius – danke!

c ist das Quadrat des Kehrwerts von 2π Wurzel(1/g) und somit korrekt

c = g/(4π²)

Alles sonst bleibt unverändert gültig.

Gruß
Martin

[Feuerchief]

DANKE,Martin!Muß ich mir mal in aller Ruhe durchgehen.

[Feuerchief]

Danke,Sweber! Verstehe ich soweit.

[Feuerchief]

Hallo,nochmals!

Ich dachte,das soetwas wie hier bei raus kommen müßte!??

  "  Frage von Feuerchief

11.09.2016, 17:56 Uhr | 59 | 9

Die Frage ist ja schon die Antwort.Was mich verwirrt ist diese Herleitung bzw. Interpretation:
f = 1/T
Daraus folgt:
f = 1/(2п) *√g/l
=>
f angehähert 1/√l
Also muss man 1/9 der Länge nehmen, damit die Frequenz verdreifacht wird .

1/√l = 1/9 ?? "

Denn L ist ja unbekannt und 4*unbekannt ? als Ergebnis ?

[sweber]

Hallo!

So recht weiß ich nicht, was du uns damit sagen möchtest. Die Länge ist natürlich unbekannt, weil sie auch irrelevant ist. Das gilt nämlich für jede beliebige Länge. Die Lösung lautet:

Für die Verdoppelung der Schwingungsdauer muß die Länge vervierfacht werden

Die alte Frage, die du meinst ist eigentlich identisch mit dieser hier, außer, daß es um eine Verdreifachung der Frequenz geht.

Ich zitiere mich mal selbst:

1/(2п) *√(g/l') = 3* 1/(2п) *√(g/l) 
        √(g/l') = 3* √(g/l) 
        √(1/l') = 3* √(1/l) 
         (1/l') = 9*  (1/l)
              l = 9*  l'
            l/9 = l'

Auch hier steht links die Formel für das neue Pendel mit der neuen Länge l’, und rechts das Dreifache der Formel für das ursprüngliche Pendel mit Länge l.

Die Lösung hier lautete:

Um die Frequenz zu verdreifachen, muß die Länge auf 1/9 reduziert werden.

Dreifache Frequenz bedeutet 1/3 Schwingungsdauer, und damit kann man auch sagen:

Um die Schwingungsdauer auf 1/3 zu reduzieren, muß die Länge auf 1/9 reduziert werden.

Das ist alles irgendwo das gleiche.

[Feuerchief]

DANKE!!
Ich glaube die Herleitung jetzt verstanden zu haben.

[Feuerchief]

Hallo!

a) Wie kann den die Länge irrelevant sein,wenn es in der Fragestellung um die Länge geht?
b) Wie kommt man von el durch neun gleich el ’ auf 1/9 tel?
c) Meine Schlussfolgerung: Um die Frequenz zu versechsfachen,muss die Länge auf 1/36 reduziert werden? usw. ?

Bitte nicht böse sein!! Ich will es doch nur verstehen!!! Es findet sich einfach niemand,der mir das so erklärt,das ich es verstehe!

Nochmals:Vielen Dank an die Helfer!!

[sweber]

Hallo!

ich beantworte das mal von hinten.

c) Meine Schlussfolgerung: Um die Frequenz zu versechsfachen,muss die Länge auf 1/36 reduziert werden? usw. ?

Genau das. Wobei, in der Aufgabe hier geht es ja um die Schwingungsdauer. Um die zu versechsfachen, muß das Pendel 36x so lang werden.

b) Wie kommt man von el durch neun gleich el ’ auf 1/9 tel?

l/9=l' bedeutet, daß die neue Länge l’ nur 1/9 der alten Länge l ist.

a) Wie kann den die Länge irrelevant sein,wenn es in der Fragestellung um die Länge geht?

Damit meinte ich, daß die genaue Länge egal ist.
Das anfängliche Pendel kann 1cm lang sein, und hat damit eine Schwingungsdauer von 0,20s. Bei 9cm Länge sind es dann 30,20s=0,60s.
Wenn das Pendel dagegen 10m lang war, und damit 6,34s für eine Schwingung brauchte, ist das neue 90m lang, und braucht 36,34s=19,03s für eine Schwingung.

Ob das Pendel vorher 1cm oder 10m lang war, ist völlig egal.
Es ist völlig unerheblich, ob das Pendel 1cm, 1m oder 1km lang ist. Um die Schwingungsdauer zu verdreifachen, muß das Pendel dann 9cm, 9m oder 9km lang gemacht werden. Nur das Verhältnis ist wichtig.

[Pontius]

1/(2п) *√(g/l') = 3* 1/(2п) *√(g/l) 
        √(g/l') = 3* √(g/l) 
        √(1/l') = 3* √(1/l) 
         (1/l') = 9*  (1/l)
              l = 9*  l'
            l/9 = l'

Du hast den Fehler von Feuerchief übernommen, bist aber trotzdem auf das richtige Ergebnis gekommen.
Bei deiner Ausgangsgleichung müsste eigentlich l´= 9 * l heraus kommen, weil du in deiner Ausgangsgleichung g und l vertauscht hast. l bleibt im Zähler und g im Nenner, auch wenn der Kehrwert gebildet wird.

[sweber]

Hallo!

Nee, hab ich nicht. Ich habe doch geschrieben, daß ich mich auf die alte Frage mit der Verdreifachung der Frequenz beziehe. Und da hat man g/l unter der Wurzel.

[Martin]

Hallo,

was Du hier gut verinnerlicht haben solltest, ist das Prinzip, wie sprachliche Aussagen à la „die Frequenz verdoppelt sich“ oder „die Länge halbiert sich“ in mathematische Gleichungen zu übersetzen sind. Im Grunde ist es recht einfach: Die betreffende Größe (Frequenz, Länge, Schwingungsdauer etc.) liegt dann immer in zwei Versionen vor, einer „alten“ und einer „neuen“, und die Ausdrücke „verdoppelt sich“ oder „halbiert sich“ geben an, in welchem Verhältnis die neue zur alten Version steht.

Ein paar Beispiele:

Frequenz verdoppelt sich ⇔ f_neu/f_alt = 2
Länge halbiert sich ⇔ l_neu/l_alt = 1/2
Schwingungsdauer verdreifacht sich ⇔ T_neu/T_alt = 3
Geschwindigkeit viertelt sich ⇔ v_neu/v_alt = 1/4
Höhe verfünffacht sich ⇔ h_neu/h_alt = 5
Masse drittelt sich ⇔ m_neu/m_alt = 1/3

Auch diese Darstellung ist natürlich richtig:

Frequenz verdoppelt sich ⇔ f_neu = 2 f_alt
Länge halbiert sich ⇔ l_neu = 1/2 l_alt
Schwingungsdauer verdreifacht sich ⇔ T_neu = 3 T_alt
Geschwindigkeit viertelt sich ⇔ v_neu = 1/4 v_alt
Höhe verfünffacht sich ⇔ h_neu = 5 h_alt
Masse drittelt sich ⇔ m_neu = 1/3 m_alt

Das Schema ist immer dasselbe. Wenn Du also aufgefordert bist, zu zeigen, dass man irgendeine Kraft F neunteln muss, damit sich irgendein elektrischer Widerstand R versiebenfacht, dann ist sofort klar, wie das in Mathe zu übersetzen ist: Du sollst aus der Gleichung R_neu = 7 R_alt die Gleichung F_neu = 1/9 F_alt folgern, unter Verwendung eines bestimmten, bekannten Zusammenhangs zwischen F und R. Beim Fadenpendel ist dieser Zusammenhang die Formel T = 2π Wurzel(l/g).

Gruß
Martin

[Pontius]

Hallo!

Nee, hab ich nicht. Ich habe doch geschrieben, daß ich mich auf die alte Frage mit der Verdreifachung der Frequenz beziehe. Und da hat man g/l unter der Wurzel.

Vorher hattest du l/g unter der Wurzel!
Wie dem auch sei, rechnerisch käme bei deiner Ausgangsgleichung l´= 9 l heraus und nicht l´= l/9.
Auch von den Einheiten her stimmt es nicht, du bekämst nämlich die Frequenz in s heraus und nicht in 1/s = Hz.

[Feuerchief]

Danke,Martin!

Ich glaube es kommt langsam an.

Mit freundlichen Grüßen
Fuerchief

[Pontius]

Muss einem ja gesagt werden, dass du den Thread vom 11.9. meinst und nicht diesen und dass
Wurzel g/l nicht unter dem Bruchstrich steht.