Wie lang ist eine Sinus-kurve ?

Wissenschaft Physik
#1

Wer jetzt gleich 2Pi antworten moechte sollte besser mal weiterlesen… :smile:

Ich suche die laenge der Kurve selber. Wenn man also z.B. mit einem Auto durch ein Tal-Berg-Tal-Berg… gelaende fahert das zufaelligerweise der Hoehenfunktion:

h=a*sin(x)

gehorcht, wie lang ist dann die Strecke von x=0 bis x=2Pi ?

Beste Gruesse

Martin

#2

Länge einer Sinuskurve
Hi,

h=a*sin(x)

gehorcht, wie lang ist dann die Strecke von x=0 bis x=2Pi ?

Die Länge beträgt 2*sqrt(pi*(2 + a^2)) [„sqrt“ = square root = Quadratwurzel]. Für a=1 ergibt das 2*sqrt(3*pi), was etwas weniger als 2*pi ist (2*sqrt(3*pi) = 6.139960…, 2*pi = 6.283185…).

Mit freundlichem Gruß
Auch Martin

#3

Hallo!

Die differentielle Bogenlänge dl für ein Bogenstück mit Radius r ist

dL=r*dx,

wenn dx der zugehörige differentielle Winkel ist. Jetzt musst Du eigentlich nur r aus Deiner Funktion h(x) bestimmen

r=sqr(x<sup>2</sup>+sin(x)<sup>2</sup>)

und dL von von 0 bis 2Pi integrieren, um l zu erhalten und damit die gesamte Bogenlänge.

Grüsse Safog

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#4

Hallo Safog,
das kommt mir doch sehr mekrwürdig vor …

Die differentielle Bogenlänge dl für ein Bogenstück mit Radius
r ist

dL=r*dx,

Ein Stück Gerade hat Krümmungsradius unendlich, aber eine durchaus endliche Bogenlänge …
=> Besser nochmal in die Formelsammlung schauen!

wenn dx der zugehörige differentielle Winkel ist. Jetzt musst
Du eigentlich nur r aus Deiner Funktion h(x) bestimmen

r=sqr(x2+sin(x)2)

=> so ist r aber nicht der Krümmungsradius, sondern der Abstand vom Ursprung !

Gruss kr

#5

Hallo Martin + Martin,
ich habe immer gedacht, die kürzeste Verbindung zweier Punkte sei die Gerade. Nun lese ich, dass die Sin-Kurve etwas kürzer sei, als die gerade Linie von (0|0) nach (2pi|0) ???
Das kann ja wohl nicht sein !

Der richtige Rechenweg steht übrigens z.B. bei

http://www.mathematik-online.de/F55.htm

Leider lässt sich bei der sin-Fkt. das Integral nicht mehr analystisch darstellen!

Gruss kr

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#6

Hallo Kurt,

ich habe immer gedacht, die kürzeste Verbindung zweier Punkte
sei die Gerade. Nun lese ich, dass die Sin-Kurve etwas kürzer
sei, als die gerade Linie von (0|0) nach (2pi|0) ???
Das kann ja wohl nicht sein !

Du hast völlig recht. Ich hab im Mathematica-Integrator „Sqrt(1+Cos[x]^2)“ eingetippt. Dann wird „Sqrt“ jedoch als Konstante betrachtet, die mit 1+Cos[x]^2 multipliziert wird. Da kommt dann a) eine schön einfache Stammfunktion und b) eine schön falsches Ergebnis raus. Hätte ich das korrekte „Sqrt[1+Cos[x]^2]“ eingetippt, hätte ich auch eine „EllipticE“-Funktion rausbekommen, deren Bedeutung mir klar ist. Daß mein Ergebnis aus dem von Dir genannten Grund nicht stimmen kann, hätte ich allerdings merken müssen *schäm*.

Danke.

Gruß
Martin

#7

Hallo Kurt!

Zunächst mal danke für Deine Ausführungen!

dL bezeichnet üblicherweise die differentielle Bogenlänge, welche sich für ein orthogonales Linienstück zum zugehörigen differentiellen Winkel dx in rad und dem zugehörigen Radius ergibt. Das gesamte Stück Gerade mag zwar Krümmungsradius unendlich haben, wir reden hier aber von einem differentiellen und damit beliebig kleinen Bogen-Ausschnitt, der sehr wohl einen endlichen Krümmungsradius haben kann und auch hat.

Ich setze mich um in den Ursprung (und bleibe dort!!) und fahre die Kurve ab. Dabei sind jetzt meine differentiellen Bogenstücke im allgemeinen nicht mehr orthogonal auf die Kurve und müssen daher mit einem Streckungsfaktor angepasst werden, der sich aus dem Winkel zwischen Tangente an die Kurve im aktuellen Punkt und dem aktuellen Radien-Winkel ergibt.

Unter

http://www.safog.com/gerade/gerade.html

findest Du die detaillierte Ausführung der Rechnung mit Deiner Geraden.

=> so ist r aber nicht der Krümmungsradius, sondern der
Abstand vom Ursprung!

Ebenso kann man mit der Sinus-Kurve verfahren. Ich habe nie das Wort Krümmungsradius erwähnt, bei mir war der Radius immer der Abstand des jeweiligen Kurvenpunktes vom Koordinatenursprung.
Vielleicht hätte ich den benötigten Streckungsfaktor erwähnen sollen, dann wär die Sache wohl klarer gewesen.

Mit Sicherheit ist Deine Lehrbuchmethode die elegantere Lösung, ich wollte halt anders an das Problem rangehen.

=> Besser nochmal in die Formelsammlung schauen!

Mein Physikstudium erspart mir zum Glück das Konsultieren von Formelsammlungen bei derart einfachen Zusammenhängen.

Viele Grüsse

Safog

#8

Hallo Klaus,
wenn Du von einem

… " Bogenstück mit Radius r "

schreibst, dann denke ich halt, dass der Radius eines Bogenstücks nur der Krümmungsradius sein kann ! Wenn das der Abstand vom Ursprung sein soll, solltest Du das dazu sagen (allerdings ist es m.E. etwas ungeschickt, dieses r für die Bogenlänge zu verwenden, da die Bogenlänge invariant gegen Translationen ist, r aber nicht!)

Das Beispiel Gerade ist natürlich hinfällig, wenn r nicht der Krümmungsradius ist.

Vielleicht hätte ich den benötigten Streckungsfaktor erwähnen
sollen, dann wär die Sache wohl klarer gewesen.

Stimmt!
Anders ausgedrückt: Deine erste Antwort (ohne diesen Faktor) war halt falsch.

Mein Physikstudium erspart mir zum Glück das Konsultieren von
Formelsammlungen bei derart einfachen Zusammenhängen.

Schön für Dich. Ich finde es trotz Physikstudium nicht anrüchig, mal in eine Formelsammlung oder ein Lehrbuch zu schauen
(wenn’s Dich beruhigt, es war hier aber nicht nötig!).
Schließlich kommt es auch bei uns Physikern mal vor, dass man selbst bei einfachen Zusammenhängen einen Faktor übersieht (siehe oben).

Gruss kr

#9

Hallo Klaus,

ich bin nicht unser CEO, leider. Alle Mitarbeiter haben den Sammel-Account ‚Safog‘ für WWW, so soll die Kontrolle scheinbar einfacher sein?!?!?!?

Schließlich kommt es auch bei uns Physikern mal vor, dass man
selbst bei einfachen Zusammenhängen einen Faktor übersieht
(siehe oben).

Da hast Du wohl recht!

Viele Grüsse und danke für Deine Antwort!

Safog