Wie lautet die Formel für die Wasserspiegel-Absenkung im Brunnen?

Technik Mechanik & Konstruktion
#1

Hallo,

eine Frage an die Hydrologen oder Wasserwirtschafts-Ingenieure:

Ich suche eine Berechnungsformel für die Wasserspiegel-Absenkung in einem Brunnen. Bekannt sind dabei die aus dem Brunnen geförderte Wassermenge (Q in cbm/Std.) und die Wasserdurchlässigkeit des Untergrundes (kf-Wert des Bodens in m/sec.)

Gesucht ist der Absenkungsbetrag im Brunnen (Höhendifferenz zwischen Wasserspiegelhöhe ohne Brunnenbetrieb und Wasserspiegelhöhe bei Entnahme der Wassermenge Q). Grundwassermessstellen (Peilbrunnen), mit denen die Wasserspeigelhöhe in einer definierten Entfernung vom Brunnen gemesssen wird, sind nicht vorhanden.

Wenn man vereinfachte Rahmenbedingungen annimmt (homogener ungespannter Grundwasserleiter, geringes Grundwassergefälle), und wenn man die Wasserdurchlässigkeit des Untergrundes als konstant voraussetzt, muss der Absenkungsbetrag im Brunnen proportional zur entnommenen Wassermenge Q sein. Die Standard-Brunnengleichung von Dupuit-Thiem hilft dabei nicht weiter, denn die verlangt auch Wasserspeigelhöhen außerhalb des Brunnens (Grundwassermessstellen) sowie die Gesamttiefe der grundwasserführenden Bodenschicht (Mächtigkeit des Grundwasserleiters). Mit der Reichweitenformel von Sichardt kommt man auch nicht weiter, denn die verlangt gerade die Brunnenabsenkung.

Gesucht ist also der Absenkungsbetrag H als Funktion der Entnahmemenge Q und der Durchlässigkeit des Untergrundes kf - also:

H (Q, kf) = ??

Ich habe in diversen Lehrbüchern gestöbert (Langguth-Voigt, Hölting & Coldewey, Richter & Lillich, Matthess), aber gerade diese Formel ist nicht zu finden (oder ich habe sie nicht entdeckt - es kann sich ja vielleicht auch um eine empirische Schätzformel handeln).

Hat jemand einen Tipp?

Vielen Dank und Gruß,
Salomo

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#2

Servus!

Nur so kurz: Nimm die Formel von Dupuit-Thiem für ungespannte Brunnen, setze den inneren Radius sehr klein und den äußeren Radius sehr groß. Die innere Wasserspiegelhöhe ist unbekannt (bzw. die Differenz zur Anderen ergibt deine gesuchte Größe) und die äußere Wasserspiegelhöhe ist der ungestörte Wasserspiegel. Der Durchfluss ist dir ja bekannt.

Zur Erweiterung kannst du noch folgende Erweiterungen vornehmen:

Da in der Regel die vertikale Durchlässigkeit von Böden kleiner ist als die horizontale Durchlässigkeit (k_v < k_h) liefern die unterhalb der Brunnensohle gelegenen wasserführenden Schichten einen verhältnismäßig geringen Beitrag zum Zufluss des Brunnens.
Dies berücksichtigt man bei der Berechnung der zu entnehmenden Wassermenge bei unvollkommenen Brunnen, indem man in Höhe der Brunnensohle einen undurchlässigen Horizont annimmt, den Brunnen zunächst als vollkommenen Brunnen rechnet und die ermittelte Wassermenge in Abhängigkeit von der Dicke der wasserführenden Schicht unterhalb des Brunnens erhöht. In der Praxis ist ein Zuschlag von 10 - 30 % auf die zum Erreichen des Absenkziels rechnerisch ermittelte Wassermenge Q des vollkommenen Brunnens die Regel.
Aus: Grundwasserhaltung, Studienunterlagen Geotechnik, Katzenbach, TU Darmstadt

mfg
christoph

#3

Hallo,

vielen Dank, das sieht nach einer eleganten Lösung aus, werde es gleich testen. Hast du das selbst ausprobiert, oder ist es irgendwo veröffentlicht? - Auf den Hinweis zu unvollkommenen Brunnen von Katzenbach bin ich heute ebenfalls gestoßen.

Vielen Dank nochmal und Gruß,
Salomo

#4

Hallo Christoph,

ich finde deinen Ansatz sehr vielversprechend. Man müsste verschiedene, realistisch erscheinende Absenk-Weiten eingeben und sich damit iterativ an die Absenktiefe „herantasten“.

Jatzt habe ich aber zugegebenermaßen einige Algebra-Probleme (sorry). Wenn ich nicht falsch liege, und deinem Tipp folge, müsste man die Dupuit-Thiem-Gleichung nach H - h auflösen, wenn dies der gesuchte Absenkbetrag ist.

Bisher sieht die Gleichung bei mir aber nur folgendemaßen aus…

H² - h² = Q * ( ln (R/r) / pi * kf )

…und mir ist leider nicht klar, wie ich von dort zu H - h komme… (sowas ist heutzutage sicher Mathe-Abigrundkurs ist vielleicht auch einfacher als ich denke, ist aber bei mir schon arg lange her).

Kannst du mir - oder kann mir irgend jemand - da nochmal weiter helfen?.

Merci mille fois, muchas gracias,
Salomo