Wie löse ich folgende Aufgabe? Kann jemand mir das möglichst einfach erklären, wie ich die einzelnen Kriterien herausbekomme und erkenne. Danke! Siehe Bild
Aufgabe: http://www.bilder-hochladen.net/files/jttk-1-c4ca-pn…
Zunächst eine kleine Anmerkung: Du willst die angegebenen Differentialgleichungen nicht lösen, also bitte schreib das auch nicht in den Threadtitel.
Zur Aufgabe:
Die Unterscheidung zwischen gewöhnlich/partiell ist ganz einfach:
- Wenn in der Gleichung nur Ableitungen nach einer Variable vorkommen ist sie gewöhnlich (normalerweise daran zu erkennen, dass die Ableitungen durch ein normales „d“ - wie in \frac{dy}{dt} - bzw. einen Strich - wie in y’ - gekennzeichnet sind).
- Kommen Ableitungen nach verschiedenen Variablen vor, so ist die Gleichung partiell (oft an \partial zu erkennen)
Linear bedeutet, dass die abgeleiteten Funktionen (hier f, T, y) und ihre Ableitungen nur mit Potenz 1 vorkommen. 3. ist in der Aufgabe nicht linear, da die Funktion y in der Exponentialfunktion steht. Allgemein sehen lineare Gleichungen immer wie folgt aus:
Gewöhnlich:
a_n(x) \cdot y^{(n)} + a_{n-1}(x) \cdot y^{(n-1)} + \ldots + a_1(x) \cdot y’ + a_0(x) \cdot y = b(x)
Partiell:
\sum\limits_{|\alpha|=m} a_{\alpha}(x) \partial^{\alpha} y = b(x)
Dabei sei in diesem Fall
y = y(x_1, \ldots, x_n)
\alpha \in \mathbb{N}_0^n , |\alpha| = |(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)| = \sum\limits_{i=1}^n \alpha_i
\partial^{(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)} y = \frac{\partial^{\alpha_1} \ldots \partial^{\alpha_n}}{\partial x_{\alpha_1} \ldots \partial x_{\alpha_n}}y
Die Gleichungen heißen homogen, falls du alles was mit den abzuleitenden Funktionen auf eine Seite bringen kannst und auf der anderen 0 steht. Falls es einen Restterm gibt, der nicht von den abzuleitenden Funktionen abhängt (s. Aufgaben 2 + 3) heißen sie inhomogen.
Die Ordnung der Differentialgleichungen ist einfach nur die höchste Ableitungsordnung. Dabei ist zu beachten, dass im partiellen Fall die Ordnungen gemischter Ableitungen addiert werden, d.h. die Ableitung
\frac{\partial}{\partial x_1} \frac{\partial^2}{\partial x_3\partial x_2} y
wäre von der Ordnung 3.
Ich hoffe das hilft dir.
Grüße,
j4GGy
Hallo
Ich verstehe nicht ganz, was die Frage ist. Du hast die Aufgabe ja schon gelöst. Was willst Du also noch?
ne, das ist die Musterlösung! Für die Klausur muss ich ja auch wissen, wie ich auf die Lösung komme, um diese zu berechnen.
Hallo
Ich verstehe nicht ganz, was die Frage ist. Du hast die
Aufgabe ja schon gelöst. Was willst Du also noch?
Hat discoculture auch einen Namen wie ich?
Leider kann ich als Ingenieur mit abgeschlossener mathematischer Halb-Bildung nichts Grundsätzliches zu der Aufgabe sagen. Und das Slbstverständliche will ich nicht wiederholen.
Michael Schmiechen.
Ok, Du weisst nicht, wie Du auf die gegebene Lösung kommst. Kannst Du genauer erklären, wo Du anstehst? Den Unterschied „gewöhnlich“ und „partiell“ ist ja wohl klar. Welche der Eigenschaften ist nicht klar? Hast Du die Begriffe z.B. im Wikipedia nachgelesen? Bitte tue das zunächst. Dann versuchst Du, die Definitionen Wort für Wort anzuwenden. Wenn dann etwas nicht klar ist, schreibst Du präzise auf, was genau Du nicht verstehst.
Wie löse ich folgende Aufgabe? Kann jemand mir das möglichst
einfach erklären, wie ich die einzelnen Kriterien
herausbekomme und erkenne. Danke! Siehe Bild
Ein komplexer Sachverhalt kann nicht „einfach“ erklärt werden. Man muss einiges an Lernwillen investieren.
Dann hilft Wikipedia:
Gewöhnliche Differentialgleichung
(http://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differ…)
und
Partielle Differentialgleichung
(http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialg…)
bringen den nötigen Aufschluss.
Ich kann es auch nicht besser erklären.
Schwieriger ist es mit
Lineare Differentialgleichung
Homogener Differentialgleichung
Inhomogemer Differentialgleichung
Die deutsch Wikipedia,
(http://de.wikipedia.org/wiki/Differentialgleichung)
ist nicht ganz leicht zu verstehen.
Besser ist die englische Variante
(http://en.wikipedia.org/wiki/Differential_equation )
MfG AGb
Unterscheidung gewöhnlich / partiell:
gewöhnlich: Es gibt nur eine unabhängige Veränderliche.
partiell: Es gibt mehr als eine unabhängige Veränderliche.
Aufgabe 1:
Es gibt 2 unabhängige Veränderliche (t und p), deshalb partiell.
Aufgabe 2:
Es gibt mehrere unabhängige Veränderliche, deshalb partiell.
Aufgabe 3:
Es gibt 1 unabhängige Veränderliche (t), deshalb gewöhnlich.
Aufgabe 4:
Es gibt 2 unabhängige Veränderliche (t und x), deshalb partiell.
Unterscheidung Ordnung:
Höchster Differentialquotient der in der Dgl. vorkommt.
Aufgabe 1:
Es kommt nur die erste Ableitung vor, deshalb Ordnung 1.
Aufgabe 2:
Die höchste Ableitung ist die 2. Ableitung, deshalb Ordnung 2.
Aufgabe 3:
Es kommt nur die erste Ableitung vor, deshalb Ordnung 1.
Aufgabe 4:
Die höchste Ableitung ist die 2. Ableitung, deshalb Ordnung 2.
Unterscheidung linear / nichtlinear:
Bei einer linearen Dgl. besteht ein linearer Zusammenhang zwischen der gesuchten Funktion und deren Ableitungen. D.h. es dürfen keine Terme wie z.B. exp(y), y³, sin(y) vorkommen wenn y die unbekannte Funktion ist.
Aufgabe 1:
Es kommen keine Terme der oben genannten Form vor, deshalb linear.
Aufgabe 2:
Es kommen keine Terme der oben genannten Form vor, deshalb linear.
Aufgabe 3:
Es kommt der Term exp(y) vor, deshalb nicht-linear.
Aufgabe 4:
Es kommen keine Terme der oben genannten Form vor, deshalb linear.
Unterscheidung homogen / inhomogen:
Bei einer homogen Dgl. sind alle Glieder vom gleichen Grade in der abhängigen Variablen und ihrer Ableitungen.
Aufgabe 1:
Abhängige Variable f ist in allen Gliedern vom Grad 1, deshalb homogen.
Aufgabe 2:
Abhängige Variable T ist nicht in allen Gliedern vom Grad 1, deshalb inhomogen.
Aufgabe 3:
Dgl. ist wegen des Termes „t“ nicht homogen.
Aufgabe 4:
Abhängige Variable y ist in allen Gliedern vom Grad 1, deshalb homogen.
Gruß
Lorenz
spacko
Kannst du das homogen/inhomogen nochmal genauer erklären?! Das mit dem Restterm auf eine Seite bringen. Sonst hab ichs gut verstanden. vielen dank!
und was meinst du mit höchster ableitungsordnung? was is eine ableitungsordnung und wie finde ich diese heraus?
Hallole,
erstmal den Unterschied zwischen gewöhnlicher u. partieller DGl klarmachen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Gew%C3%B6hnliche_Differ…
http://de.wikipedia.org/wiki/Partielle_Differentialg…
Ob die Funktion u. deren Ableitungen in die Gleichung linear oder nichtlinear eingehen, entcheidet darüber ob die Gleichungen bei der Einteilung so einsortiert werden. Weiter nichts. In Gl 3 sorgt der Summand exp( y ) dafür, daß die Dgl nichtlinar ist.
In Gl 3 sorgt der Summand t dafür, daß die Dgl inhomogen ist.
MfG
G. Aust
Zu homogen/inhomogen:
Du bringst alles was von den abzuleitenden Funktionen abhängt auf eine Seite. Wenn auf der anderen Seite der Gleichung 0 steht, ist die Gleichung homogen. Sonst ist sie inhomogen. Beispiel:
y’ = \tan(x) \cdot y + \sin(x)
kann umgestellt werden zu
y’ - \tan(x) \cdot y = \sin(x)
Jetzt hängt die rechte Seite nicht mehr von y (der hier abgeleiteten Funktion) ab und ist nicht 0. Ergo ist die Gleichung inhomogen. Anders die Gleichung
y’ = x^3y
Hier kann man alles, was irgendwie von y abhängt auf eine Seite holen und die andere Seite der Gleichung ergibt dann 0. Ergo ist die Gleichung homogen.
Beim Umstellen solltest du allerdings versuchen eine typische Form beizubehalten (linear, Bernoulli, getrennte Variablen etc.). Was ich damit meine ist:
Die obige Gleichung ist zwar homogen, aber man kann sie natürlich auch so umstellen:
\frac{y’}{y} = x^3
Jetzt hängt die rechte Seite auch nicht von y ab, ist aber nicht 0. Dafür ist die linke Seite aber nicht in einer „anständigen“ Form. Diese Anmerkung soll dir nur klar machen, dass alles was ich hier schreibe sehr informell ist. Wenn du es exakt haben willst, google einfach nach einem „Gewöhnliche Differentialgleichungen“-Skript. Das wiederum wird allerdings schwerer verständlich sein 
Der Ableitungsgrad ist einfach die Anzahl, wie oft abgeleitet wird. Also ist der Ableitungsgrad von y’’ 2 und der von \frac{\partial f}{\partial t} 1.
Grüße,
j4GGy
trotzdem check ich nicht, wieso die erste gleichung nicht 0 wird, die zweite aber schon?!?