Wie kommt man von der Allgemeinen Form der Parabelgleichung auf die Scheitelpunktform?
Indem man in der Formelsammlung nachsieht, wie man den Scheitelpunkt berechnet und diesen in die Scheitelpunktform nach Formelsammlung einsetzt
Wie kommt man von der Allgemeinen Form der Parabelgleichung
auf die Scheitelpunktform?
Wie kommt man von der Allgemeinen Form der Parabelgleichung
auf die Scheitelpunktform?
Am besten ziehst du das Problem von hinten auf.
Die Scheitelpunktsform einer Parabel mit der Öffnung a und dem Scheitel bei x0, y0 lautet:
y = a(x-x0)^2 +y0
(Beachte: wenn die Parabel nac unten geöffnet ist, ist a negativ; zur Scheitelkoordiante +x0 gehört in der Gleichung -x0)
Ausmultiplizieren ergibt:
y = ax^2 - 2ax0x + ax0^2 + y0
= a * x^2 + (-2ax0)*x + (axo^2+y0)
Ein Vergleich mit er allgemeinen Form
y = a*x^2 + b*x + c
liefert:
a=a; b = - 2ax0; c = ax0^2+y0
bzw. umgekeht:
x0 = -b/(2a) ; y0 = c - ax0^2 = c - b^2/(4a)
zum Bleistift:
y = 2x^2 + 12 x + 23
x0 = -12/(2*2) = -3; y0 = 23 - 12²/8 = 5
also:
y = 2(x+3) + 5
Wie kommt man von der Allgemeinen Form der Parabelgleichung
auf die Scheitelpunktform?
Hallo Susi,
in dem Video ist es sehr anschaulich erklärt:
http://oberprima.com/mathematik/quadratische-ergaenz…
lg dirk
hi susiii
nehmen wir ein bsp:
1/2x^2-4x+6
und die gleichung willst du in die parabelform bekommen.
klammer zuerst „1/2“ aus
=> 1/2(x^2-8x+12)und dann kümmerst du dich nur um die klammer
=> 1/2((x-4)^2-16 + 12)
=> 1/2((x-4)^2-4)
äußere klammer auflösen
=> 1/2(x-4)^2-2
fertig ist… .
alles klaro??
lg ralf
Wie kommt man von der Allgemeinen Form der Parabelgleichung
auf die Scheitelpunktform?
Mit Hilfe der quadratischen Ergänzung umformen.
Sorry, da kann ich leider nicht weiterhelfen.
Aber du hast ja schon gute Antworten bekommen
Wie kommt man von der Allgemeinen Form der Parabelgleichung
auf die Scheitelpunktform?
Hallo Susii,
Die Herleitung beruht auf der 1. binomischen Formel
( x +e )^2 = x^2 + 2xe + e^2
Wenn man jetzt die Parabelgleichung sich anschaut
f(x) = a*x^2 + b*x + c
kann man das „a“ ausklammern
f(x) = a* ( x^2 + (b/a)*x + (c/a) )
weiß man, dass (b/a) = 2*e bzw. e= b/(2a) sein muss.
Dann muss auch e^2 = (b^2) /( 4a^2) sein.
Wir erhalten jetzt für die Funktion (wieder ausgeklammert)
f(x) = a* ( x + b/(2a) )^2 // Scheitelpunkt
- a*(b^2)/(4a^2) // e^2 muss wieder abgezogen werden
- a* (c/a) // also die Konstante c
Zum Schluss müssen „nur noch“ die Sachen ohne „x“
zusammen gerechnet werden:
c - a*(b^2)/(4a^2) = [(4a^2)*c - a*(b^2)] /(4a^2)
Dort kann jetzt ein „a“ weg gekürzt werden
= [4*a*c - (b^2)] /(4a)
und man bekommt die Scheitelpunktsformel heraus:
f(x) = a*( x + b/(2a) )^2 + [4*a*c - (b^2)] /(4a)
Ich hoffe dir ist damit geholfen.
Freundliche Grüße,
Benjamin
Wie kommt man von der Allgemeinen Form der Parabelgleichung
auf die Scheitelpunktform?
Hallo Susiii,
die Antwort auf deine Frage findest du recht gut erklärt unter:
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Erg%C3%A4n…
Es gibt auch eine eigene Formel zur Berechnung der Scheitelpunktform (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Scheitelpunktform#Schei…), jedoch heißt es bei Wikipedia auch: „In der Schule wird diese Formel aufgrund ihrer Größe meistens nicht gelehrt.“
Ich persönlich würde auch eher zur Quadratischen Ergänzung raten. Falls du noch Fragen hast, einfach wieder melden. Bis dahin
viele Grüße
Benjamin
Hallo,
das Stichwort ist „quadratische Ergänzung“ kannst du googlen oder bei Wikipedia nachschauen.
http://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Erg%C3%A4n…
lg Letzter Richter
Wie kommt man von der Allgemeinen Form der Parabelgleichung
auf die Scheitelpunktform?
Mit der sog. quadratischen Ergänzung. Allerdings reicht die allgemeine Form f(x)=ax²+bx+c völlig aus, um alle Aufgaben zu berechnen.