Wie vereinfache ich eine Parametergleichung?

[checkitout]

Als Student zerbrech ich mir schon seit Tagen den Kopf über diese Aufgabe:

Es sei eine Geradenschar mit f_p(x)=(5+6p)(7+6p)+6(5+6p)x mit p,x e N₀ gegeben. Bestimme p für die _f-_Werte 65,854 und 2923.Gesucht ist eine Lösungsmethode des beschriebenen Problems für f e N.

Also für die konkreten Werte das Problem zu bestimmen war mit etwas ausprobieren und MATLAB kein Problem. Doch wie sieht der allgemeine Lösungsweg aus? Ich habe ja einen Freiheitsgrad, der geschlossen werden müsste, da das Problem sonst überbestimmt wäre. Da p,x e N₀ ist, befinden sich der zu betrachtende Bereich nur im ersten Quadranten. Mein Problem ist jetzt: Woher bekomm ich die zweite Bedingung? Bzw. eine Nebenbedingung die mir sofort zeigt, ob eine Zahl durch die Parameterschar darstellbar ist oder nicht.

[Hendrik_70c5fb]

Hallo

Es sei eine Geradenschar mit f_p(x)=(5+6p)(7+6p)+6(5+6p)x mit
p,x e N₀ gegeben. Bestimme p für die _f-_Werte 65,854 und
2923.Gesucht ist eine Lösungsmethode des beschriebenen
Problems für f e N.

Ich nehme mal f_p(x)=65 als Beispiel. Zunächst einmal kannst du f_p(x) als Produkt schreiben: f_p(x)=(5+6p)(7+6p+6x). Die Primfaktorzerlegung von 65 ist 65=5*13. 65 lässt sich also nur auf zwei Arten (modulo Reihenfolge der Faktoren) als Produkt schreiben, nämlich 65=1*65 und 65=5*13. Damit bleiben genau vier Fälle zu untersuchen, nämlich
1.) 5+6p = 1 und 7+6p+6x = 65
2.) 5+6p = 65 und 7+6p+6x = 1
3.) 5+6p = 5 und 7+6p+6x = 13
2.) 5+6p = 13 und 7+6p+6x = 5
Man sieht schnell, dass sich davon nur der 3. Fall mit natürlichen Zahlen erfüllen lässt, weshalb die Lösung in diesem Fall eindeutig ist, p=0, x=1.

2923 hat ebenfalls nur zwei Primfaktoren, das läuft also auch auf vier zu untersuchende Fälle hinaus. 854 hat drei Primfaktoren, da musst du dir überlegen auf welche Art und Weise man das als Produkt mit zwei Faktoren schreiben kann.

Viel Erfolg!

hendrik

[Helferlein1980]

Hallo Checkitout und Hendrik,

Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht?!

Was Hendrick schreibt ist richtig, aber nur eine spezielle Lösung des Problems. Keine allgemeine Lösung.

Deswegen:

gegeben war: f_p(x)=(5+6p)(7+6p)+6(5+6p)x mit p,x e N₀

Bestimme p für die beliebigen Werte für f=A und f=B. mit A,B seien Natürliche Zahlen.

Na setzen wir mal die Zahlen ein, denn ich weiß, dass aus der Aufgabenstellung gilt:

A=(5+6p)(7+6p)+6(5+6p)x

und

B=(5+6p)(7+6p)+6(5+6p)x

Und das ist nichts anderes als ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten!

Da ich dir nicht alles vorrechnen will, musst du selber das Gleichungssystem lösen. Die Lösung müsste sein:

p=\frac{5A-4B}{6(B-A)}

Alles klar?

Nun musste nur noch x ausrechen und einsetzen, dann hast du das Gleichungssystem allgemein gelöst.

viele Grüße aus berlin

Es sei eine Geradenschar mit f_p(x)=(5+6p)(7+6p)+6(5+6p)x mit
p,x e N₀ gegeben. Bestimme p für die _f-_Werte 65,854 und
2923.Gesucht ist eine Lösungsmethode des beschriebenen
Problems für f e N.

Also für die konkreten Werte das Problem zu bestimmen war mit
etwas ausprobieren und MATLAB kein Problem. Doch wie sieht der
allgemeine Lösungsweg aus? Ich habe ja einen Freiheitsgrad,
der geschlossen werden müsste, da das Problem sonst
überbestimmt wäre. Da p,x e N₀ ist, befinden sich der zu
betrachtende Bereich nur im ersten Quadranten. Mein Problem
ist jetzt: Woher bekomm ich die zweite Bedingung? Bzw. eine
Nebenbedingung die mir sofort zeigt, ob eine Zahl durch die
Parameterschar darstellbar ist oder nicht.

[Hendrik_70c5fb]

Hallo Helferlein

Na setzen wir mal die Zahlen ein, denn ich weiß, dass aus der
Aufgabenstellung gilt:

A=(5+6p)(7+6p)+6(5+6p)x

und

B=(5+6p)(7+6p)+6(5+6p)x

Wenn du das als Gleichungssystem betrachtest, gehst du davon aus, dass p immer denselben Wert hat. Das kann aber bei den gegebenen f-Werten gar nicht sein.
Ich denke, jeder f-Wert lässt sich nur mit einem (oder mehreren) bestimmten p-Wert(en) erreichen.

Gruß

hendrik

[Helferlein1980]

Hallo lieber Hendrik,

Wenn du das als Gleichungssystem betrachtest, gehst du davon
aus, dass p immer denselben Wert hat. Das kann aber bei den
gegebenen f-Werten gar nicht sein.

Dach kann eben doch.

Ich denke, jeder f-Wert lässt sich nur mit einem (oder
mehreren) bestimmten p-Wert(en) erreichen.

Und das ist FALSCH!

Es hängt etwas von der Aufgabenstellung ab! Interpretieren wir den Satz:

Bestimme p für die f-Werte 65,854 und 2923.

so, dass wir sagen für 65,854 UND 2923 (gleichzeitig). (Das ist meine erste Rechnung)

Oder interpretieren wir den Satz so, das wir sagen: rechner erstmal die Funktion für 65,854 aus. Und dann probiere doch mal mit 2923 einen neuen Versuch.

Dann geht es so:

f(x)=35+72p+36p^2+30x+36px

Einsetzen:

65,854=35+72p+36p^2+30x+36px

Umstellen liefert uns:

36p^2+(72+36x)p+30x-30,854=0

Diese Gleichung noch nach p auflösen wund wir haben es.

Allgemeine Lösung wäre:

A=35+36p^2+72p+30x+36px

Umstellen

0=36p^2+(72+36x)p+30x+35-A

Dividieren

0=p^2+(2+x)p+\frac{30x+35-A}{36}

Lösungsformelnutzen:

p_{1}=-\frac{2+x}{2}+\sqrt{\left(\frac{2+x}{2}\right)^2-\frac{30x+35-A}{36}}

p_{2}=-\frac{2+x}{2}-\sqrt{\left(\frac{2+x}{2}\right)^2-\frac{30x+35-A}{36}}

Gruß

[Hendrik_70c5fb]

Hallo Helferlein,

Bestimme p für die f-Werte 65,854 und 2923.

Dieses Komma von checkitout hast du als Dezimalzeichen interpretiert. Ich bin dagegen davon ausgegangen, dass es sich um die Werte 65 und 854 und 2923 handelt.

Gruß

hendrik