Guten Tag,
was muss ich berücksichtigen, wenn ich berechnen will, wie viele gleichgroße Glasmurmeln in einen Kubikmeter passen? Da die Murmeln rund sind, können sie ja versetzt weniger Raum einnehmen. Es fehlt mir die Vorstellung, wie ich da am besten heran gehe um zum Ergebnis zu kommen. Ich würde das Ergebnis gerne für Murmeln mit zwei Zentimeter Radius wissen und auch nachvollziehen können, wie sich das für andere Größen berechnen läßt.
Herzlichen Gruß
Frank
Hi…
was muss ich berücksichtigen, wenn ich berechnen will, wie
viele gleichgroße Glasmurmeln in einen Kubikmeter passen? Da
die Murmeln rund sind, können sie ja versetzt weniger Raum
einnehmen. Es fehlt mir die Vorstellung, wie ich da am besten
heran gehe um zum Ergebnis zu kommen.
Das ist ein relativ schwieriges geometrisches Problem. Wenn, wie in Deinem Fall, die einzelnen Kugeln sehr viel kleiner sind als der auszufüllende Raum, kann man davon ausgehen, daß ca. 1/4 des Gesamtvolumens auf die Zwischenräume entfällt.
Etwas mehr Theorie dazu:
http://de.wikipedia.org/wiki/Theorie_der_endlichen_K…
genumi
Hi,
bei kfz Anordnung (dichteste Packung), also so, wie vor Burgen, Festungen etc. die Kanonenkugeln bei alten Kanonen angeordnet liegen, liegt die Raumausfüllung bei 74%.
Formel siehe Link.
lg O
Hallo Frank !
Die Wissenschaft hat sich natürlich ausführlich mit Kugelpackungen beschäftigt und haufenweise gerechnet und experimentiert.
Die kubische Kugelpackung ( siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Dichteste_Kugelpackung ) ist die optimale Packung, dabei füllen die Kugeln 74% des Volumens aus. Diese erreicht man aber nur wenn alle Kugeln händisch an die richtige Stelle gelegt werden.
Im Experiment mit zufälligen Kugelpackungen (also Kugelpackungen wo die Kugeln nicht manuell an bestimmte Plätze gelegt werden sondern sich zufällig mit mehr oder weniger Schütteln anordnen müssen) hat sich folgendes herausgestellt:
Die dichteste zufällige Kugelpackung füllt 64 % des Volumens aus.
Die dünnste zufällige Kugelpackung füllt 55 % des Volumens aus.
Die Dichte hängt dabei hauptsächlich von der Reibung zwischen den Kugeln ab: je mehr Reibung desto breiter ist die Dichtestreuung und desto weniger dicht die Kugelpackung im Durchschnitt, je weniger Reibung desto schmaler ist die Dichtestreuung und desto dichter die Kugelpackung im Durchschnitt (z.B. bei einer Emulsion mit Reibung gegen Null liegt die durchschnittliche Dichte nahe bei 64%).
Quelle: http://www.wissenschaft-online.de/artikel/957659
(Übrigens: Die Grösse der Kugeln und des Gefässes spielen dabei keine Rolle sofern nur mindestens ein paar Kugeln in das Gefäss passen.)
Deine Kugeln werden also eine Dichte von 74% bei händischem Anordnen in der dichtesten Packung oder zwischen 55% und 64% bei zufälliger Anordnung haben, daraus kannst du dir dann die Kugelanzahl ausrechnen.
mfg
Christof
Vielen Dank für die Antworten.
Hätte nicht gedacht, dass das so ein spannendes Problem ist.
Gehe ich dann recht in der Annahme, dass bei einem üblichen Murmeldurchmesser von 16 mm und einer Annahme von einer Packungsdichte von 60 Prozent, ca. 146484 Murmeln in einen Kubikmeter passen?
Herzlichen Gruß
Frank
Hallo Frank !
Ich komme auf einen anderen Wert:
1 Murmel mit 16 mm Durchmesser hat einen Radius von 8 mm und laut Kugelvolumenformel (V = (4 / 3) * Pi * r^3) ein Volumen von etwa 2.144,66 mm^3.
Wenn diese Kugeln in einem Kubikmeter (== 1.000.000.000 mm^3) 60% des Volumens einnehmen beträgt ihr Gesamtvolumen also 600.000.000 mm^3. Dieses Gesamtvolumen dividiert durch das Volumen einer einzelnen Kugel ergibt etwa 279.765.
Bei 60% Raumfüllung sind also 279.765 Kugeln im Gefäss.
mfg
Christof
Gehe ich dann recht in der Annahme, dass bei einem üblichen
Murmeldurchmesser von 16 mm und einer Annahme von einer
Packungsdichte von 60 Prozent, ca. 146484 Murmeln in einen
Kubikmeter passen?
Ganz genau 146.484,375. Vorausgesetzt, die Murmeln sind würfelförmig.
Gruß
Wow, danke!
Ich habe jetzt noch etwas weiter gesucht und fand eine Packungsdichte von 74 % basierend auf der Keplerschen Vermutung, die nur erreicht werden kann, wenn die Murmeln auf eine bestimmte Weise gepackt werden. Bei zufälliger Anordnung soll dann immerhin 65 % möglich sein. Somit enthält der Kubikmeter bei 74 % Packungsdichte 345042,94 Murmeln und bei 65 % sind es 303078,26.
Vielen Dank für die Hilfe.
Herzlichen Gruß
Frank