Winkel Dreieckkonstuktion 3D berechnen

Wissenschaft Mathematik
#6

Hallo Roland,

die Frage ist jetzt nicht ernst gemeint, oder?

Man kann die beiden Schnittebenen übrigens durchaus von Hand berechnen. Wie immer ist die Wahl eines guten Koordinatensystems dabei sehr von Vorteil.

Hier nur das Ergebnis: Wenn ich eine Leiste genau in Nord-Süd-Richtung auf einen waagerechten Tisch lege, dann definiere ich ein Koordinatensystem so, dass die x-Achse horizontal in Richtung Osten, die y-Achse horizontal in Richtung Norden und die z-Achse vertikal in die Höhe zeigen soll. Die Leiste benötigt vier (paarweise zur xz- und yz-Ebene spiegelsymmetrische) Schnitte, wobei die orthogonal auf den vier Schnittebenen stehenden Einheitsvektoren gegeben sind durch (±0.809, ±0.5, –0.309). Jede der 30 Leisten wird natürlich identisch hergestellt, d. h. mit gleicher Länge und gleichen Schnitten. Weil der Ikosaeder ja komplett symmetrisch ist.

Gruß
Martin

(Ich habe den Artikel wegen eines Fehlers beim Rechnen bearbeitet. Jetzt ist das Ergebnis korrekt.)

#1

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Ich möchte gerne die Schnittwinkel berechen. Also wie werden die Enden der Latten so geschnitten wie auf dem Bild.
Wenn das Projekt größer werden sollte gibt es dazu evtl. eine Software?

Danke

#4

Ja, das ist einigermassen kompliziert und man braucht mindestens gute Kenntnisse und Übung in der Anwendung der Winkelfunktionen, sowie ein sehr gutes räumliches Denken.
Sonst wird das nichts.

Alternativ kann man sich das auch von einem Abbund-Fachmann ausrechnen lassen.
Aber das kostet natürlich.
Man muss nur den Holzquerschnitt und ein Längenmass vorgeben.

Frag doch einfach mal unverbindlich z.B. hier nach.

#2

Ja, das gibt es. Vor allem im Bereich Holzbau/ Zimmerei.

die Suchbegriffe heissen
Abbund und
Schifterschnitt

#8

Hallo Roland,

blos nicht den Ursprung ins Zentrum legen, das wäre unnötig kompliziert. Säg nur beherzt eine der Ecken ab, sauber mit der Schnittebene orthogonal zur fünfzähligen Symmetrieachse. Das abgesägte Gebilde stellst Du dann auf den Tisch, wo es wie das das Gerüst eines (ziemlich flachen) Fünfeck-Zeltes aussieht. Eine der fünf Leisten lässt Du auf Deinen Bauch zeigen (Richtung „Süden“). In dieser Zeltposition weißt Du über die beiden Schnittebenen des oberen Endes dieser Leiste Bescheid: Sie stehen senkrecht auf der Tischplatte und sind um 36° nach links und rechts von der Nord-Süd-Richtung abgewinkelt. Damit kannst Du die Orthonormalenvektoren dieser Ebenen angeben: (±cos 36°, sin 36°, 0)

Jetzt kommt der Clou: Du kippst das ganze Zeltgerüst – gedanklich – in den Tisch hinein, so dass die vordere Leiste waagerecht auf den Tisch zu liegen kommt (wohin dann genau die vier anderen Leisten zeigen ist uninteressant). Der passende Drehwinkel ist natürlich der Neigungswinkel der „Zeltstangen“, als das „Zelt“ noch aufrecht stand. Dieser Winkel ist leicht zu berechnen (≈31.717°). Von dieser Kippung sind natürlich auch die Schnittebenenvektoren (±cos 36°, sin 36°, 0) betroffen und genau das ist das Interessante daran: Die Lösung ergibt sich einfach als Matrix-Vektor-Produkt der Rotationsmatrix R für die In-den-Tisch-Kippung und den Vektoren (±cos 36°, sin 36°, 0). Das ist mathematisch ein Klacks. Die Rotationsmatrix lautet

    ( 1   0    0 )
R = ( 0  cos  sin)
    ( 0 -sin  cos)

mit den oben erwähnten ≈31.717° als Drehwinkel.

Das war mein Lösungsweg.

Gruß
Martin

#5

Hallo,

ein Ikosaeder aus 30 Leisten.
Tja, käme man mit einem einzigen Typ Leiste aus ?
Fand u.a. das hier

http://www.f-lohmueller.de/pov_tut/geo/geom_700d.htm

Grüße Roland

#3

Danke schonmal, ist ja etwas kompliziert^^

Wenn jemand mehr weis, am besten einafch auf das Bild beziehen wäre Top

#7

Hallo Martin,

die sog. „Rolandsche Vermutung“ trifft also zu ?
:satisfied:
Nicht übel, denn ich weiß nicht, ob ich mich jemals mit dem Ikosaeder und seiner Symmetrie beschäftigt habe. Ich hatte mich mit dem Gedanken getragen, die Lösung mit der Wahl eines Koordinatensystems mit Ursprung im Ikosaeder-Zentrum und dem Pröbeln über die Eckkoordinaten zu finden … irgendwann die Woche …

Grüße Roland