Winkel mit dem sich zwei Parabeln schneiden

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich versuche schon seit einer Weile folgende Aufgabe zu lösen, doch ich komme irgendwie auf kein zufriedenstellendes Ergebnis.
Die Aufgabe setzt sich aus verschiedenen Teilaufgaben zusammen und ist folgende:

Eine Stadtsilhouette wird von einer kegelförmigen Kirche geprägt. Der Querschnitt durch die Spitze ist fast ein gleichschenkliges Dreieck. Die beiden Schenkel sind aller keine geraden Linien, sondern können durch zwei zur y-Achse symmetrische Parabeln angenähert werden.

Die eine Parabel hat die Gleichung f(x)=0,04x2 - 3,52x +74,5 mit D=[0;n1] n1=35,43
a) Zeige, dass die linke Nullstelle der Parabel gleich n1 ist!
(die Aufgabe habe ich ohne Probleme lösen können)

b) Bestimme die Höhe der Kirche!

(da die Parabel ja die y-Achse bei 74,5 schneidet, habe ich diesen Wert als Höhe angenommen)

c) Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden „Schenkel“ des „Querschnittdreiecks“?

(hier komme ich nicht weiter!)

Mein Ansatz: Als erste brauch die an der y-Achse gespiegelte Parabel von f(x), (nennen wir sie g(x)) um zusammen mit der x-Achse das „Querschnittdreieck“ zu konstruieren.
g(x) = 0,04x2 + 3,52x +74,5

Um nun den Winkel zu bestimmten, unter dem sich die beiden Parabeln f(x) und g(x) schneiden, benötige ich zu jeder Parabel eine Tangente durch den Schnittpunkt beider Parabeln mit der Y-Achse. Dieser Punkt ist P(0|74,5).

Die Tangenten bilde ich doch, wenn ich von den beiden Parabeln die Ableitungen bilde
f´(x) = 0,08x - 3,52 und g´(x) = 0,08 + 3,52
und für diese dann aus dem Punkt P die Ableitung X=0 setze.
f´(0) = -3,52 und g´(0) = 3,52  => Tangentensteigung
So bekomme ich die Steigung der Tangente.
Diese setze ich jetzt in die allg. Tangentengleichung ein
tf(x) = -3,52x + b und tg(x) = 3,52x + b 
Da der Punkt P (0|74,5) ja auch ein Element der Tangenten ist, setze ich die Werte für x und y in die Tangentengleichung ein.

tf(0) = -3,52x + b = 74,5 -> b=74,5 und tg(0) = 3,52x + b = 74,5 -> b=74,5
Somit komme ich auf b.
Und jetzt kann ich die Tangentengleichung bilden.
tf(x) = -3,52x + 74,5 und tg(x) = 3,52x + 74,5

Wie kann ich jetzt am einfachsten den gesuchten Schnittwinkel berechnen?

Vielen Dank für eure Hilfe!

#2

Tangente… klingt wie Tangens :smiley:
Hallo,
Die Ableitung hast du ja jetzt schon. Nun geh mal ganz zurück bevor ihr Ableitungen oder den ganzen Krams hattet. Da habt ihr bestimmt mal Steigungsdreiecke gemalt. Nun zeichne mal das Steigungsdreieck im Punkt (0,74.5). Wie Groß das Steigungsdreieck ist, ist hier prinzipiell irrelevant.
Wichtig ist nur das Verhältnis zwischen dem Schenkel in x-Richtung und dem in y-Richtung. Nun suchst du den Winkel im Dreieck den du brauchst und wählst die trigonometrische Funktion (sin,cos,tan,arcsin,arccos,arctan) deines Vertrauens.

Versuch nie dir alles auf einmal vorzustellen. Selbst im Studium geht die Malerei weiter.

mfg
armer Tor

#3

Hallo,

Die beiden Schenkel sind aller keine geraden Linien, sondern können durch zwei zur :y-Achse symmetrische Parabeln angenähert werden.

Die eine Parabel hat die Gleichung f(x)=0,04x2 - 3,52x +74,5 mit D=[0;n1] n1=35,43

Und sie ist gewiss nicht symmetrisch zur y- Achse

Ansonsten findest du die allgemeine Lösung des Problems „Winkel mit dem sich zwei Geraden schneiden" hier

Übrigens: liegt die Kirche vielleicht in Limburg? Bescheidener wäre f(x)=-0,04x2 - 3,52x +74,5

Gruß

Peter

#4

Hallo,

Die beiden Schenkel sind aller keine geraden Linien, sondern können durch zwei zur :y-Achse symmetrische Parabeln angenähert werden.

Die eine Parabel hat die Gleichung f(x)=0,04x2 - 3,52x +74,5 mit D=[0;n1] n1=35,43

Und sie ist gewiss nicht symmetrisch zur y- Achse

so weit ich den Text verstanden habe, war auch nicht gemeint, dass die o.g. Parabel symmetrisch zur y-Achse sein soll, sondern beide Parabeln zueinander.
D.h. wenn du die Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)=0,04x^2-3,52x+ 74,5 an der y-Achse spiegelst, erhältst du eine Parabel mit der Funktionsgleichung f(x)=0,04x^2+3,52x+ 74,5.

Gruß
Pontius

#5

Hallo,

wenn die Parabeln symmetrisch zur y-Achse sind, brauchen wir nur eine Parabel und nur einen Winkel (bzw. dessen Betrag!), den wir dann doppelt nehmen.
Da die 1. Ableitung die Steigung (y/x) der Tangente an dem zu untersuchenden Punkt angibt, kommen wir mit dem arccotan auf den halben Schnittwinkel an der Turmspitze (alternativ: 90-arctan). Mal zwei, und das war’s.

Gruß
RudiRichtiRatlos

#6

@Pontius: Genauso ist es auch gemeint und steht ja auch im Text :smile:

#7

Super, da hing es also :smiley: manchmal denkt man doch zu kompliziert -.- hab´s vielen Dank!