Sam Loyd Michael Gardner
Nr. 154 Das Hindernissrennen
Rechteckiges Feld 1km x 3/4 km.
Startpunkt und Ziel liegen in den diagonalen Ecken.
Pferd benötigt für die Strecke (1km + 3/4km)3 Minuten.
Bei dem Ritt direkt über das Feld erfährt es einen Geschwindigkeitsverlust von 25 %.
An welcher Stelle der langen Seite des Feldes müsste der Reiter den direkten Weg zum Ziel wählen, wenn er das Rennen in kürzester Zeit beenden will?
helle
hi
Pferd benötigt für die Strecke (1km + 3/4km)3 Minuten.
das macht eine geschwindigkeit von 9.722m/s = v1
-25%: 7.292 m/s = v2
An welcher Stelle der langen Seite des Feldes müsste der
Reiter den direkten Weg zum Ziel wählen, wenn er das Rennen in
kürzester Zeit beenden will?
nun, optimierungs aufgabe:
die 1km seite ist die x achse, die 0.75 km seite ist die y achse.
das pferd beginnt bei (0|0)
nun will ich die gesamtzeit ausrechnen, abhäning vom wendepunkt, dieser hat die koordinaten W(x|0).
die zeit abhäning von dieser x koordinate ist nun folgende:
zeit für die erste teilstrecke:
x/v1
zeit für die zweite teilstrecke:
sqrt((1000-x)^2+0.75^2)/v2
zusammen als funktion t(x):
t(x)=x/v1+sqrt((1000-x)^2+0.75^2)/v2
der wert soll nun minimiert werden.
für das bestimmt man am einfachsten die ableitung der funktion t(x)
(die erste ableitung t’(x) der funktion gibt die jeweilige steigung der funktion t(x). beim wendepunkt (beim minimum) ist die steigung null, somit hat man die nullstelle der funktion zu bestimmen)
t’(x)= 0.1029 - (0.1371 (1000 - x))/Sqrt[0.5625 + (1000 - x)^2]
die nullstelle ist nun bei etwa 999.149 meter. dies ist nun die x koordinate des wendepunkts.
ich hoffe ich habe alles richtig gerechnet=P
die berechnungen sind natürlich nicht exakt, sondern nur numerisch angenähert (mit jeweils 4 relevanten stellen).
lg niemand
spoiler - Rechenanleitung
wendepunkt, dieser hat die koordinaten W(x|0).
die nullstelle ist nun bei etwa 999.149 meter. dies ist nun
die x koordinate des wendepunkts.
ich hoffe ich habe alles richtig gerechnet=P
also eigentlich hast du den richtigen Lösungsweg. hab die Ableitung nicht nachgerechnet aber irgendwo muss ein Fehler sein, das hättest du aber auch merken können. wenn der Wendepunkt bei 999metern ist, heißt das, das er 1 meter vor der kante plötzlich querfeldein läuft. Also in der Realität läuft das Pferd dann weniger als 1m neben der straße wodurch es langsamer wird…
Wenn ich deinen Wendepunkt nachrechne sind es auch 3,42728 minuten. also länger.
den exakten Punkt berechnet man mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz, aber ich rechne nicht gerne 
Man muss nur den winkel ausrechnen. Der Brechungsindex n ist in dem Fall 1,3333… und dann vom ziel zurückgehen.
kleine, aber interessante info, das ganze wurde als experiment gemacht. ein ertrinkender im Wasser und die leute können erst am Strand entlangrennen und dann auf das Meer rausschwimmen. Menschen hatten den idealen punkt selten. Hunde hatten ihn dagegen immer exakt getroffen.
Hallo,
die nullstelle ist nun bei etwa 999.149 meter. dies ist nun
die x koordinate des wendepunkts.
ich hoffe ich habe alles richtig gerechnet=P
eigentlich nicht.
Nach meiner Berechnung ist die X-Koordinate 149,58m, also die Strecke
welche zuerst an der Längsseite gelaufen wird ehe zum Eckpunkt direkt
abgebogen wird.
Die benötigte minimale Zeit beträgt dann 2,8482min.(170,89s)
Der Lauf direkt über die Diagonale würde 2,8571min (0,4375km/min)
dauern (1,25km) und über die Rechteckseiten bei v=0,58333km/min
also 3,0min für 1,75km (1750m)
Mach mal die Probe mit Deinem X-Wert und mit meiner Angabe.
Gruß VIKTOR
also eigentlich hast du den richtigen Lösungsweg.
danke=P
hab die
aber irgendwo muss ein Fehler sein, das hättest du aber auch merken können.
ouu, danke, eigentlich logisch, neben dem rechnen sollte man manchmal auch noch ein bischen überlegen=P
den exakten Punkt berechnet man mit dem Snelliusschen
Brechungsgesetz, aber ich rechne nicht gerne
sehr interessanter ansatz, da muss man zuerst mal drauf kommen!!
Man muss nur den winkel ausrechnen. Der Brechungsindex n ist
in dem Fall 1,3333… und dann vom ziel zurückgehen.
ich glaube in diesem fall funktioniert dies nicht, denn der winkel mit dem wir mit dem pferd auf den rasen auftreffen ist 90°, also schon ein widerspruch in sich, glaubst du das würde wirklich funktionieren?
naja, ich rechne es trozdem mal. (als entschädigung für das falsche resultat:smile:
a1=90°
n=1.33333333
sin(a1)/sin(a2)=n
a2=arcsin(sin(a1)/n)
a2=48.59°
die distanz zwischen wendepunkt und ende der langen strecke beträgt
(1000-x)=750*tan(a2)
x wärde dann
x = 149.6m
das könnte schon eher sein.
lg niemand