Hallo Experten,
Mir ist bekannt, dass sich unter Annahme des Auswahlaxioms beweisen lässt, dass auf jeder Menge eine Wohlordnung existiert. Dieser Beweis ist jedoch nicht konstruktiv. Gibt es dennoch ein Beispiel für eine Konstruktion einer solchen Wohlordnung auf einer überazählbaren Menge (zB den reellen Zahlen), oder kann man beweisen, dass eine solche Konstruktion nicht möglich ist?
Mit freundlichen Grüßen,
IGnow
Moin
Mir ist bekannt, dass sich unter Annahme des Auswahlaxioms
beweisen lässt, dass auf jeder Menge eine Wohlordnung
existiert.
Ja, nennt sich Wohlordnungssatz und man kann sogar sich ueberlegen, dass der satz aequivalent zum Auswahlaxiom ist.
Gibt es
dennoch ein Beispiel für eine Konstruktion einer solchen
Wohlordnung auf einer überazählbaren Menge (zB den reellen
Zahlen), oder kann man beweisen, dass eine solche Konstruktion
nicht möglich ist?
Wohlordnungssatz sagt ja gerade, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Die reellen Zahlen sind es per se mit ihrer natuerlichen Ordnung nicht, man muss also eine Ordnungsrelation angeben, die die Wohlordnung „schafft“, es gibt dabei zwei Probleme
Es gibt kein kleinstes Element (das laesst sich sicher einfach beheben)
Eindeutigkeit des Nachfolgers ist nicht gegeben (da muss man arbeiten)
Wird Mal einen Blick hier rein:
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewto…
da haben sich Leute genau um Punkt 2 Gedanken gemacht.
Gruss
Paul
Hi Paul,
Wohlordnungssatz sagt ja gerade, dass jede Menge wohlgeordnet
werden kann. Die reellen Zahlen sind es per se mit ihrer
natuerlichen Ordnung nicht, man muss also eine
Ordnungsrelation angeben, die die Wohlordnung „schafft“
Und genau das war meine Frage 
Das es bis heute nicht gelungen ist eine solche Wohlordnung zu konstruieren ist mir bekannt. Mir geht es aber um die prinzipiell Unmöglichkeit, also ob man beweisen kann, dass eine Wohlordnung auf |R nicht konstruierbar ist.
Wird Mal einen Blick hier rein:
Diesen Link hatte ich selber schon durchstöbert, allerdings ist das da eher eine philosophische Diskussion weil sich jemand infinitesimal kleine Größen nicht vorstellen kann.
Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass berreits bewiesen wurde, dass eine Wohlordnung auf |R nicht mithilfe von ZFC konstruierbar ist. Leider weiss ich nicht ob das jetzt bedeutet, dass eine Konstruktion einer solchen Wohlordnung einen Wiederspruch verursacht oder ob durch das hinzufügen weiterer Axiome zu ZFC es irgendwann vielleicht doch möglich wird, also ZFC einfach nicht mächtig genug ist. Falls also jemand exakter formulieren kann, was mit „eine Wohlordnung auf |R ist mit ZFC nicht konstruierbar“ gemeint ist, wäre ich sehr dankbar.
MfG IGnow
Moin,
Ich habe mittlerweile herausgefunden, dass berreits bewiesen
wurde, dass eine Wohlordnung auf |R nicht mithilfe von ZFC
konstruierbar ist. Leider weiss ich nicht ob das jetzt
bedeutet, dass eine Konstruktion einer solchen Wohlordnung
einen Wiederspruch verursacht oder ob durch das hinzufügen
weiterer Axiome zu ZFC es irgendwann vielleicht doch möglich
wird, also ZFC einfach nicht mächtig genug ist. Falls also
jemand exakter formulieren kann, was mit „eine Wohlordnung auf
|R ist mit ZFC nicht konstruierbar“ gemeint ist, wäre ich sehr
dankbar.
diese Aussage (die ja auch auf Wikipedia zu finden ist), ist ja mit einem Literaturhinweis versehen. Wenn’s Dich wirklich interessiert, ab zur Bibliothek . Wenn ich’s nicht vergesse, werde ich naechste Woche, wenn mein U*laub vorbei ist, da auch selbst einen Blick reinwerfen…
Gruss
Paul