Hallo,
die Kubikzahlen von 1,4,5,6,9 haben an der letzten Stelle wieder dieselbe Zahl (z.B. 9³=729), während bei den übrigen Zahlen 2,3,7,8 die letzte Stelle der Kubikzahl 10-x ist (z.B. 7³=343 mit der letzten 3 = 10-7). Ist das Zufall? Oder steckt da ein bestimmtes Gesetz hinter?
Oliver
Zahlen von Kubi
Hallo, Oliver!
Hast du die 10 selbst vielleicht vergessen?
10 = 0(10), „modulo 10“, und 0^3 = 0 = 10^3(10)
Der zweite Teil deiner Frage erschließt sich aus
(10 - x)^3 = 1000 - 300*x^+ 30x^2 - x^3 = -x^3(10).
Zum 1ten Teil:
Fragt man, für welche Zahlen x^3 = x(10), also, die 3te Potenz hat die gleiche endzifer, also:
x^3 - x = 0(10), so ergibt sich ja:
x^3 - x = x*(x+1)*(x-1) modulo 10, also muß die 5 irgendwo als Teiler auftreten (nach Euklid; denn eine der 3 aufeinanderfolgenden Zahlen ist ja notwendig gerade: Produkt n*10!!!), also
5 t x oder
5 t x+1 oder
5 t x-1
also: möglich ist (und notwendig eben einer der Fälle)
x=0; x=5; x=6; x=4; x=9; x=1.
Ist dir schon aufgefallen daß es auch Ziffern 0
Danke für die Erläuterung. Muss ich mir als nicht studierter Mathematiker mal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen. Mathe ist manchmal schon sehr interessant…
Hallo Oliver,
es sei Dir auch noch verraten, daß das Kubikwurzel-Rechenkunststück ein alter Hut ist (d. h. wenn der Typ aus der RTL-Show diese Methode ausgetüftelt hat, wie es in der Sendung dargestellt wurde, dann hat er das Rad neu erfunden). In Martin Gardners Buch „Mathematischer Karneval“ (Ullstein, 1985) ist das Verfahren beschrieben, zusammen mit einem weiteren, um die fünfte Wurzel schnell im Kopf ausrechnen zu können:
[…] Den gleichen Trick [gemeint ist das Auswendiglernen einer Tabelle mit „Schlüsselzahlen“] benützen die Rechenkünstler, wenn nach der fünften Potenz [eigentlich ist hier doch die Wurzel gemeint?] _gefragt wird. Das scheint viel schwieriger zu sein als die Frage nch der dritten Wurzel. Tatsächlich aber ist es leichter und viel schneller durchzuführen. Der Grund dafür ist, daß die letzte Ziffer jeder fünften Potenz einer ganzen Zahl immer gleich der letzten Ziffer der zu potenzierenden Zahl ist. Auch dafür ist es notwendig, eine Tabelle auswendig zu lernen (siehe Abbildung 44). Nehmen wir an, es ruft jemand die Zahl 8 587 340 257. Sobald sie 8 Milliarden hören, wissen Sie, daß dies, wie die Tabelle zeigt, zwischen 9 und 10 liegt. Auch hier sagt man zunächst die kleiner Zahle, die 9. Nun kann man alles ignorieren, was er an Zahlen spricht, bis zur letzten Ziffer, 7, bei der man sofort das Ergebnis 97 angeben kann. Es ist sehr zu empfehlen, diesen Trick nicht öfters als zwei- oder dreimal hintereinander vorzuführen, weil sich bald herausstellt, daß sich die letzten beiden Ziffern immer gleichen. Die berufsmäßigen Rechnekünstler arbeiten mit dritter und fünfter Potenz viel größerer Zahlen, indem sie das hier angegebene System weiter ausbauen, während ich mich auf die Erklärung von Potenzen zweistelliger Zahlen beschränkt habe.
Abbildung 44 (ich hab nur die linke und rechte Spalte wiedergegeben, die fehlende mittlere Spallte ist „x^3“):_
x Schlüsselzahl für x^5
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1 100 Tausend
2 3 Millionen
3 24 Millionen
4 100 Millionen
5 300 Millionen
6 777 Millionen
7 1 Milliarde 500 Millionen
8 3 Milliarden
9 6 Milliarden
10 10 Milliarden
[Zitat Ende]
Mit freundlichem Gruß
Martin
Hallo Martin,
auch nicht schlecht. Da hat man doch noch etwas, um für ein bißchen Staunen zu sorgen.
Oliver