Hallo.
Ich brauche nur eine ganz simple Antwort auf die Frage: Was ist der Unterschied zwischen Wurzel-und Quotientenkriterium und wann benötige ich welches? Da ich kein großer Mathematiker bin steige ich durch die Erklärungen im Netz nicht wirklich durch. Ich wäre für eine Antwort a la „Sendung mit der Maus“ sehr dankbar 
moin;
prinzipiell sind die beiden Kriterien hinreichende Bedingungen für die Konvergenz von Reihen, wobei das Wurzelkriterium „stärker“ ist.
Das heißt: Wenn der Quotient
\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1
ist, das Quotientenkriterium also „fehlschlägt“, kann immer noch
\lim_{n\to \infty}\left|\sqrt[n]{a_n}\right|
gelten, andersrum jedoch nicht.
Allerdings lassen sich beide auf die Konvergenz der geometrischen Reihe
\sum_{k=0}^{\infty}q^k
zurückführen, die für |q|\left|\frac{q^{n+1}}{q^n}\right|=\left|\sqrt[n]{q^n}\right|=|q|
gilt. Die beiden Kriterien sind also recht ähnlich, da sie die „Ähnlichkeit“ einer Reihe mit der geometrischen Reihe aufzeigen; allerdings kannst du mit dem Wurzelkriterium (das leider bei vielen Reihen schwieriger anzuwenden ist) teilweise auch dann noch eine Konvergenz nachweisen, wenn das mit dem Quotientenkriterium nicht gelungen ist.
Weitere Unterschiede fielen mir zur Zeit nicht ein, ich hoffe, das war genug von der Sendung mit der Maus 
mfG
Guten Tag,
die vorherige Antwort ist nicht gerade glücklich. Im Prinzip ja, aber…
Wenn im Quotientenkriterium der Grenzwert existiert, dann ist es gleichwertig zum Wurzelkriterium. Es kann also nicht passieren, dass im QK der Grenzwert 1 ist, und im WK etwas von 1 verschiedenes herauskommt.
D.h. der Unterschied entsteht, wenn es gerade keinen Grenzwert gibt, so dass der oberste Häufungspunkt, also der limsup, der Quotienten untersucht werden muss. Eine Beispielsummandenfolge ist
1,3/2,1/4,3/8,1/16,3/32,…,
deren Quotienten abwechselnd 3/2 und 1/6 sind. Der oberste Häufungspunkt der Quotienten ist also größer als 1, so dass das QK keine Aussage machen kann.
Im WK existiert jedoch der Grenzwert der Wurzelfolge und er ist 1/2, so dass die Konvergenz der entsprechenden Reihe folgt.
MfG Lutz Lehmann