Wurzeln sind irrational oder natürlich - 'Beweis'

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo Leute,
„Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine natürliche Zahl oder ein nichtabbrechender Dezimalbruch“

Soweit so bekannt - allerdings habe ich eine seltsame Begründung gesehen und finde sie (zu) elegant. Ist sie streng mathematisch haltbar?

Ein abbrechender Dezimalbruch hat als Endziffer 1,…,9. Quadriert man diese Zahl erhält man die Endziffern 1,4,9,6,5,6,9,4,1 - also bestimmt keine Null, wie man es für eine natürliche Zahl gebraucht hätte.
Wenn man jetzt noch Periode9 auschließt, ist das doch schlüssig?

Wer weiß was?
jartUl

#2

Hallo,

es gibt noch andere rationale Zahlen, die in der Dezimalbruchdarstellung periodisch sind.

Der klassischer Beweis geht analog zum Beweis, dass die Wurzel aus 2 irratonal ist. Nimm natürliches n, sag, dass Wurzel (n) = a/b (a, b teilerfremd, quadriere und erzeuge einen Widerspruch, nämlich dass n gemeinsamer Teiler von a und b ist oder b = 1.

Gruß Bombadil2

#3

Hallo JartUl.

„Die Wurzel aus einer natürlichen Zahl ist entweder eine
natürliche Zahl oder ein nichtabbrechender Dezimalbruch“

Ein abbrechender Dezimalbruch hat als Endziffer 1,…,9.
Quadriert man diese Zahl erhält man die Endziffern
1,4,9,6,5,6,9,4,1 - also bestimmt keine Null, wie man es für
eine natürliche Zahl gebraucht hätte.

So weit ist Deine Ueberlegung richtig. Allerdings hast Du „nur“ nachgewiesen, dass sich keine Wurzel als abbrechende Dezimalzahl schreiben laesst.

Aufgrund des Titels Deines Postings vermute ich, dass Du nachweisen wolltest, dass keine Wurzel rational sein kann. Diesen Beweis hast Du noch nicht erbracht, weil rational nicht gleichbedeutend ist mit abbrechend in dezimaler Darstellung. Natuerlich ist jede in dezimaler Darstellung abbrechende Zahl rational, aber nicht jede rationale Zahl ist auch abbrechend. Ein einsichtiges Beispiel ist zum Beispiel

\frac{1}{3} = 0{,}\bar{3} = 0{,}333\cdots