X + ln(x) = 0

Wissenschaft Physik
#1

Habe gerade versucht die Kurvendiskussion von f(x)=x+ln(x) zu machen und bin dabei auf folgendes Problem gestoßen:
Um die Nullstellen berechnen zu können muss ich die Funktion f(x) Null setzen:
f(x) = 0
x + ln(x) = 0
ln(x) = -x
So, und da stehe ich auch schon an. Egal ob ich mit der Exponentialfunktion oder anders arbeite, ich schaffe es nicht diese Gleichung (für einen Maturanten verständlich) zu lösen. Graphisch, näherungsweise,… ist es klar, doch rechnerisch?

Für jegliche Hilfe bin ich dankbar! Vielleicht stehe ich auch nur auf der Leitung?

LG,
Mone.

#2

keine lösung
hi,
das wirst du kein glück haben. ln(x) 1 läuft die gerade y = x der kurve y = ln(x) immer mehr davon.

m.

#3

Hallo.

Schon mit dem Fixpunktverfahren (=Newtoniteration mit der Fkt. x(k+1)=f(x(k)) ) x(k+1)= x(k) - f(x(k))/f’(x(k)) probiert ?? Im Bronstein Seite 744 steht leider nur die Fkt. x^2-log(x)-2=0 als Beispiel mit g(x)=x^2-2 und h(x)=log(x) x=e^(x^2-2) g(x)=x h(x)=e^(x^2-2)
e^x^2 = x*e^2 g(x)=e^x^2 h(x)=x*e^2 verwendet…

HTH
mfg M.L.

#4

Hallo nochmal.

Unter http://www.math-it.de/Mathematik/Analysis/FunctionPl… lässt sich die besagte Funktion (‚x+ln(x)‘ eingeben) zeichnen und besitzt bei etwa 0,4… eine Nullstelle.

HTH
mfg M.L.

#5

Hallo,

hier gilt es, etwas um die Ecke zu denken, besser „um die Kurve“:

Erster Gedankenblitz: x - ln(x) fragt eigentlich nach dem Schnittpunkt der Funktionen f=x und g=ln(x).

Definitionsbereich von ln(x) ist x>0. x1 _immer_ kleiner ist als die Steigung von x, dann kann es keinen Schnittpunkt geben.

Die Steigung von x ist 1. Die Steigung von ln(x) ist … na?.. 1/x, genau. Die Steigung von ln(x) bei x=1 ist also genauso groß wie die Steigung von x, nämlich 1. Für x->oo geht die Steigung von ln(x) gegen 0, streng monoton. Zu keiner Zeit ist sie also größer als 1. Damit hast du gezeigt, daß es kein x gibt für das ln(x)-x = 0 wahr ist.

Zusammengfaßt nochmal:

a) Die Nullstelle wäre der Schnittpunkt von ln(x) und x
b) Bei x=1 ist ln(x) 1 ist die Steigung von ln(x) immer kleiner als die von x.
e) Für x 0, mithin gibt es keine Nullstelle.

Grüße,
Jochen

#6

Hallo

hi,
das wirst du kein glück haben. ln(x) 1 läuft die gerade y = x der
kurve y = ln(x) immer mehr davon.

Wenn ich mich nicht irre, betrachtest Du die Funktion x-ln(x) und die hat keine Nullstelle. Die Funktion x+ln(x) aber sehr wohl, wie man sich graphisch schnell überzeugen kann.
Leider kommt mir im Moment auch keine bessere Idee, als dass man die Lösung aproximieren kann (z.b. Newtonverfahren).

Gruss Urs

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#7

Hallo Jochen,

Vierter Geistesblitz: Es geht um die Funktion x+ln(x), nicht x-ln(x).

Da ln(x) im Intervall ]0;1] stetig ist und die Funktionswerte von „minus unendlich“ bis 0 gehen, muß irgendwo in diesem Intervall ln(x) = -x sein.

Satz von Wieheißterdochgleich: Gegeben zwei stetige Funktionen f und g. Wenn f(a) g(b), ex. ein c mit a

#8

sorry
urs hat natürlich recht; da war ich wohl zu schnell.

#9

Hallo.

Der Wieheißterdochgleich ist der „Mittelwertsatz der Differentialrechnung“. Mal bgesehen davon hat sich der Lapsus mit + und - bereits aufgeklärt :wink:

mfg M.L.

*** Freude ***
ENDLICH: der Web Application Server 6.40 RC1 läuft unter SUSE Linux 9.0 („Fanfare“) :smile:)

#10

Danke :smile: owt
…

#11

Aua! Und Danke!! owT
Gruß,
Jochen

#12

Danke!
Auf das Netwonsche Näherungsverfahren bin ich auch gekommen. Da dies bei uns nicht im Lehrplan steht (und auch kein anderes Näherungsverfahren) dachte ich, dass es ev. einen anderen Weg gibt, um auf die Nullstelle zu kommen.

Herzlichen Dank für die tw. tollen (wenn auch nicht für meine Funktion zutreffenden) Antworten!

LG,
Mone.