Yonis Rätsel Nr.14:

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Vier Heuschrecken sitzen auf der Wiese. Sie bilden die Form eines perfekten Quadrats. (Sie sitzen auf den Ecken des Quadrats)

Eine Heuschrecke kann sich nur in einer bestimmten Art und Weise bewegen: Sie kann nur in einer geraden Linie über ein weitere Heuschrecke hüpfen und genau so weit hinter der übersprungenen landen, wie sie vorher von dieser entfernt war.
Frage:
Können die Heuschrecken sich so bewegen, daß sie ein größeres Quadrat bilden?

Ich habe schon alles Mögliche probiert und bin bis jetzt noch nicht auf eine Lösung gekommen.

#2

Spoiler
Hallo!

Dürfen sie alle gleichzeitig abspringen?

Grüße

Andreas

#3

Ne, das steht zwar nicht dabei, aber ich geh mal davon aus, sonst wäre die Aufgabe trivial einfach.

#4

tipp
mit diagonalen und nicht immer nur senkrechten geraden arbeiten!!!

#5

hilft nix :wink:

#6

Quadratlatschen
Da stimme ich Dir zu, denn umgekehrt wird ein Schuh daraus.

Viele Grüße
Stefan

#7

Noch 'n Tipp

Können die Heuschrecken sich so bewegen, daß sie ein größeres
Quadrat bilden?

Können die Heuschrecken sich so bewegen, dass sie ein kleineres Quadrat bilden?

Andreas

PS: Ich bin so auf die Lösung gekommen.

#8

Hallo Andreas!

Das ist doch kein Tipp. Wenn sie ein größeres bilden können, können sie im Umkehrfall auch ein kleineres bilden, ist doch logisch.

Grüße

Andreas

#9

Ist das Rätsel überhaupt lösbar?
Hallo!

Ich nehme an, die Frage ist nicht, OB sie es können, sondern WIE sie es können, oder?

In dem Fall habe ich folgende Frage:

Nehmen wir an, das Quadrat sei so groß, wie ein Kästchen auf kariertem Papier. Es gibt gerade und schräge Sprünge. Die schrägen kann man vektoriell aufteilen in senkrechte und waagerechte Vektoren. Wenn jede Heuschrecke sich auf einem der Schnittpunkte der Linien befindet, dann führt, wenn ich mich nicht täusche, jeder Sprung dazu, dass sie sich am Ende wieder auf einem der Schnittpunkte befindet. Mathematisch ausgedrückt ist die Entfernung der Heuschrecken zueinander, in senkrechte und waagerechte Vektoren aufgeteilt, immer ein Vielfaches der Kästchenbreite. Also ist ein Quadrat kleiner als ein Kästchen nicht möglich. Im Umkehrschluss auch kein größeres. Dann aber wäre das Rätsel nicht lösbar, also muss ich einen Denkfehler gemacht haben. Wo ist er?

Oder ging es darum, zu beweisen, dass es nicht möglich ist?

Verwirrte Grüße

Andreas

#10

Ja super, dann sag uns die Lösung, denn wenn sie ein kleineres Quadrat bilden können, dann braucht man diesen Lösungsweg nur umkehren, denn die Bedingungen bleiben bei der Umkehrung ja erhalten.

#11

Die Frage ist tatsächlich, ob es möglich ist.

Wenn ja, wäre eine Lösung schön, wenn nein, dann sollte schon schlüssig sein warum.

Zu Deinen Ausführungen:
So ganz habe ich Deine Beweisführung nicht vollziehen können.
Solltest Du aber recht haben, daß der ursprüngliche Abstand der Heuschrecken nicht verkleinert werden kann, dann könnte man ja auf keinen Fall ein kleineres Quadrat herstellen. Das würde aber auch bedeuten, daß es kein größeres gäbe, denn die Züge haben die gleiche Bedingung, wenn man sie rückwärts anwendet.
Das wäre interessant.
Erklär doch nochmal wie Du darauf kommst.

#12

Hallo Andreas,

Also ist ein Quadrat kleiner als ein Kästchen
nicht möglich.

genau dahin zielte mein Hinweis: Man kann sich viel leichter klarmachen (mit genau deiner Argumentation), dass es unmöglich ist, ein kleineres Quadrat zu erreichen. Also kann man auch kein größeres erreichen. (Denn könnte man das, könnte man auch den Weg zum größeren rückwärts anwenden, um zu einem kleineren zu kommen.)

Es ging bei dem Rätsel also tatsächlich darum, das „ob“ zu beantworten (und natürlich einen Beweis zu liefern).

Andreas

#13

Hallo Andreas,

Das ist doch kein Tipp. Wenn sie ein größeres bilden können,
können sie im Umkehrfall auch ein kleineres bilden, ist doch
logisch.

eben. Aber wenn es unmöglich ist, ein kleineres zu bilden, bedeutet das gleichzeitig, dass es unmöglich ist, ein größeres zu bilden.

Aber mittlerweile bist du ja selbst dahintergekommen. Hat mein Das-ist-doch-kein-Tipp dann doch geholfen? :smile:

Andreas

#14

Hallo Andreas!

Dein Tipp war natürlich richtig. Ich bin allerdings schon auf die Idee gekommen, bevor du ihn gepostet hast. Ich wollte ihn sogar erst selber posten, habe es aber nicht getan, weil es mir simpel erschien.

Wahrscheinlich glaubst du mir das jetzt nicht und denkst: Hinterher kann das jeder sagen.

Macht nichts.

Grüße

Andreas

#15

Hallo!

Erklär doch nochmal wie Du darauf kommst.

Übertragen wir die Position jeder Heuschrecke in ein Koordinatensystem.

Der Abstand jeder Heuschrecke zu jeder anderen ist auf der X-Achse ein Vielfaches der Kantenlänge (Ein Vielfaches von A kann auch 1 x A sein oder 0 x A). Für die Y-Achse gilt das gleiche.

Wenn eine Heuschrecke springt, dann ist der Abstand zur Übersprungenen auf der X-Achse nach dem Sprung genauso groß, wie vor dem Sprung. Für die Y-Achse gilt das gleiche.

Wenn also vor dem Sprung der Abstand auf der X-Achse zu jeder anderen ein Vielfaches der Kantenlänge ist, dann ändert sich daran mit dem Sprung nichts. Für die Y-Achse gilt das gleiche.

Der Abstand jeder Heuschrecke zu jeder anderen ist auf der X-Achse also IMMER ein Vielfaches der Kantenlänge. Für die Y-Achse gilt das gleiche.

Als kann ein Quadrat nicht kleiner sein, als ein Vielfaches der Kantenlänge des Ausgangsquadrates und damit nicht kleiner, als dieses.

Und im Umkehrschluss nicht größer.

Quantenphysiker würden sagen: „Die Koordinaten der Heuschrecken können nur diskrete Werte annehmen.“

Grüße

Andreas

#16

Hallo,

Erklär doch nochmal wie Du darauf kommst.

ich versuch’s mal ein kleines bisschen formaler, vielleicht hilft es dir:

Nimm dir ein kartesisches Koordinatensystem und setz die Heuschrecken in ein Einheitsquadrat mit den Ecken (0,0) und (1,1). Dann beobachte, was mit den Koordinaten passiert, wenn du Sprünge ausführst. Schnell wird klar (und ebenso schnell ist es per Induktion bewiesen), dass nur ganzzahlige Koordinaten erreichbar sind.

Also ist die minimale Entfernung zweier Heuschrecken, um ein Quadrat zu bilden, eine Längeneinheit. (Man könnte zwar einwenden, dass sich Heuschrecken auch am selben Punkt treffen könnten, aber da bei einem Sprung die Entfernung zwischen den beteiligten Heuschrecken erhalten bleibt, werden mindestens zwei Heuschrecken sich nie treffen können; außerdem wäre ein Quadrat mit Kantenlänge 0 kein richtiges Quadrat mehr.)

Also können die Heuschrecken nicht so springen, dass sie ein kleineres Quadrat als das Ausgangsquadrat erreichen. (Und entsprechend können sie kein größeres erreichen.)

Andreas

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#17

Na, dann ist das Rätsel ja gelöst.
Danke, Gott sei dank, ich habe nämlich schon verzweifelt versucht und versucht. Nun brauch ich mich ja nicht mehr anstrengen.