Mein Enkel hat in der Schule Potenzrechnen und die Zahl Pi kennt er auch. Auf einem T-Shirt entdeckte er die Eulersche Formel oder besser Identität, wie ich jetzt gelernt habe. Den Wert für e bekam er aus seiner Formelsammlung. Wie man aber leicht erkennt , kommt bei (rund) 2,7 hoch 3,14 nichts mit -1 raus. Nun ja, da gibts ja noch das „i“. Könnte man es so vereinfacht sagen, weil das „i“ da steht darf man keinen Zahlenwert einsetzen, sondern muss einen Winkel (180°) nehmen. Warum, kriegt er später, wenn Trigonometrie dran ist. Oder gibt es eine einfachere Erlärung?
Das i ist auch eine Zahl, die man nicht einfach weglassen darf, auch wenn diese Komponente senkrecht zum Zahlenstrahl (reelle Zahlen) steht.
Eine einfache Erklärung zur Eulerschen Formel wüsste ich nicht. Am anschaulichsten ist die Entwicklung aus der Taylorreihe (hier und hier), das ist aber schon höhere Mathematik als Trigonometrie.
Ich meinte nicht, dass man das „i“ weglassen soll, sondern das man wegen des "i"s für Pi keinen Zahlenwert -3,14- eingeben kann.
Natürlich kannst du pi als Zahlenwert einsetzen, denn e^(ipi) entspricht cos(pi) + isin(pi) = -1. Und der Logarithmus von i zur Basis e ist i*pi/2.
Hallo,
nein, damit interpretierst Du die Bedeutung des „i“ völlig falsch. Der Buchstabe i symbolisiert hier eine besondere Zahl, die sogenannte imaginäre Einheit. Sie hat die spezielle (und sie auch definierende) Eigenschaft, dass ihr Quadrat den Wert –1 hat, d. h. es gilt i2 = –1. Weil es unter den reellen Zahlen natürlich keine gibt, die mit diesem Feature aufwarten kann, trauten sich innovative Mathematiker vor langer Zeit, die Zahl i einfach zu „erfinden“ – und waren überrascht, wie gut sie damit rechnen konnten.
Dass Dir bzw. Deinem Enkel das eigentümliche i jetzt ausgerechnet noch als Teil des Exponenten von eiπ begegnet, macht die Sache selbstredend nicht leichter zu verstehen. Vielleicht glaubt Dir Dein Enkel aber (d. h. ohne einen Beweis dafür zu verlangen), wenn Du ihm sagst, dass man ei x als Abkürzung für cos(x) + i sin(x) lesen darf. Diese Summe kann man für alle erdenklichen (reellen) x-Werte einfach mit dem Taschenrechner ausrechnen. Für x = π liefert das dann tatsächlich
ei π = cos(π) + i sin(π) = –1 + i·0 = –1
Gruß
Martin
PS: Bitte beim Ausrechnen von cos(π) und sin(π) mit dem Taschenrechner darauf achten, dass dieser auf das Bogenmaß („rad“) eingestellt ist.
Ich bedanke mich für die Mühe und inzwischen habe ich den augezeigten Gedanken-Lösungsweg nachvollziehen können, auch wenn ich meinem Enkel nun (noch) nichts von sin oder so erzählen brauche. Er sieht e und Pi als Zahl und fragt sich wie nun i das zu minus 1 machen kann. Lassen wir das …
Darf ich die Aufgabe vielleicht mal ein wenig ändern, indem kein Pi und kein e mehr vorkommt, und es als ganz „einfache und normale“ Aufgabe sehen:
Was ist das Ergebnis für 2,8 hoch i mal 3 ?
Er sieht e und Pi als Zahl und fragt sich wie nun i das zu minus 1 machen kann.
Schwierig! Auch wenn eiπ optisch nur geringfügig anders aussieht als eπ: Der Unterschied zwischen beiden Ausdrücken ist absolut wesentlicher Natur! Die Wirkung des kleinen, unscheinbaren „i“ ist so stark, dass – Deinem letzten Beitrag nach zu urteilen – Dein Enkel (noch) nicht über das mathematische Vorwissen verfügt, welches für ein echtes Verständnis der fachlich korrekten Antwort auf seine Frage meiner Meinung nach erforderlich ist.
Was ist das Ergebnis für 2,8 hoch i mal 3 ?
smile… vergiss es! Die Vorschrift (oder auch Definition) zur Berechnung einer Potenz az mit komplexem Exponent z lautet ez ln(a) und damit bist Du so schlau wie vorher.
Aber wenn Du es unbedingt wissen willst:
2.83 i = e3 i ln(2.8)
= e3 ln(2.8) i
= cos(3 ln(2.8)) + i sin(3 ln(2.8))
= –0.9986 + 0.0527 i
(gerundet) Wie Du siehst liegt der Realteil des Ergebnisses wie erwartet recht nahe bei –1, bei vergleichsweise kleinem Imaginärteil (so nennt man die Zahl vor dem i).
Gruß
Martin
Herzlichen Dank - absolut überzeugend, auch wenn ich es nur ansatzweise nachvollziehen kann !!