Zahlenreihe bis 1.000.000

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

mein Sohn hat eine Aufgabe mit nach Hause gebracht, für deren Lösung mir die zündende Idee fehlt:
Es sollten alle Zahlen von 1 bis unendlich in Gedanken hintereinander geschrieben werden und dann
a) die Ziffer an der Stelle 5.888.890 ermittelt werden (Lösung ist 1, soweit sind wir schon)
b) ermittelt und begründet werden, welche Ziffer bis zur 5.888.890. Stelle am häufigsten (Lösung = 1) und am wenigsten (Lösung = 0) vorkommt. Da denke ich, dass wir die richtige Lösung und damit auch die richtige Begründung haben.
c) die Anzahl der unter b) ermittelten Ziffern (hier 0 und 1) bis zur 5.888.890. Stelle ermitteln.
An der Aufgabenstellung c) sind wir gemeinschaftlich gescheitert. Sicher gibt es eine ähnlich simple Lösungsstrategie wie für a), wo man einfach sagen konnte, es gibt 9 einstellige Zahlen, 90 zweistellige Zahlen, 900 dreistellige Zahlen, … usw.
Gibt es einen derartigen Algorithmus auch für 0 und 1?

#2

Ohne Kontext (in welche Klasse geht Dein Sohn) ist es schwierig zu erahnen, ob Ihr wirklich die Ziffern jeder Zahl hintereinanderweg schreiben sollt. Also

12345678910111213141516 … ist das so richtig?
Und die 10te Stelle hier wäre 1?

Dann haben fängt also die Zahl 1.Mio an der von Dir genannten Stelle (5.888.890) an.

Bis zu der Stelle kommen aber alle Ziffern gleich häufig vor, da von 1…999.999 alle Ziffern genau 1/10tel einnehmen, mit Ausnahme der (führenden) 0.

Betrachte das ganze also so als sollten nur die Zahlen bis 999.999 betrachtet werden, rechne aus, wie viele Stellen es inclusive führnder Nullen gäbe (viel einfacher als ohne) und Du hast die Häufigkeit jeder Ziffer bis dahin. Die Anzahl dieser Stellen - der oben angegbenen gibt die Anzahl der „weggefallenen“ Nullen wieder.

Gruß
achim

#3

Hallo,

das ist durchaus machbar. Vielleicht hilft Euch mein folgender Lückentext.

Ich definiere folgende Zeichenketten (ZK):
• ZKa: Alle Zahlen von 0 bis 999999 sechsstellig hintereinandergeschrieben.
• ZKb: Alle Zahlen von 1 bis 999999 sechsstellig hintereinandergeschrieben.
• ZKc: Alle Zahlen von 1 bis 999999 hintereinandergeschrieben.

„Sechsstellig“ bedeutet, dass Zahlen wie z. B. 726 durch die passende Anzahl führender Nullen sechsstellig gemacht werden: „000726“.

Was wissen wir über ZKa? Nun, wir können z. B. direkt angeben, dass ZKa genau ____ Zeichen lang ist (weil zusammenkomponiert aus einer Million sechsstelliger Zahlen). Außerdem ist klar, dass ZKa alle Ziffern „0“ bis „9“ in derselben Anzahl enthält. Diese Anzahl muss folglich ein Zehntel von ____ sein, also ____.

ZKb enthält die Ziffern „1“ bis „9“ ebenfalls jeweils ____ mal, aber ____ Nullen weniger (ZKb fehlt ja die Start-„000000“ von ZKa), also nur ____ Stück. Damit ist ZKb auch ____ Zeichen kürzer als ZKa und ergo ____ Zeichen lang.

Natürlich enthält auch ZKc die Ziffern „1“ bis „9“ jeweils ____ mal, aber eine ganze Menge Nullen weniger. Wieviele Nullen genau es weniger sind als die ____ von ZKb, kann man sich leicht überlegen; es sind ____________ weniger. Damit wissen wir, dass ZKc exakt ___________ Nullen enthält. Entsprechend ist ZKc auch um diesen Wert kürzer als ZKb, also nur __________ Zeichen lang.

____ ist nun just 1 weniger als die Zahl 5888890 aus der Aufgabenstellung. Den Rest bekommt ihr alleine hin.

Viel Spaß beim Nachdenken und Lückenfüllen – spicken ist natürlich verboten ;–)

Gruß
Martin
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In die Lücken gehören der Reihe nach folgende Zahlen/Kurzrechnungen:
6 000 000
6 000 000
600 000
600 000
6
599 994
6
5 999 994
600 000
599 994
9 · 5 + 90 · 4 + 900 · 3 + 9000 · 2 + 90000 · 1 = 9 · 12345 = 111105
599 994 – 111105 = 488889
5999994 – 111105 = 5888889
5888889