Zerlegung einer Matrix

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo!

Meine Frage ist, ob es für jede beliebige reguläre Matrix A eine Matrixzerlegung A = D + E gibt, sodass D eine reguläre Diagonalmatrix ist und E eine Matrix, bei der alle Diagonalelemente 0 sind.

Umgekehrt aufgespannt könnte die Frage demnach auch lauten: Gibt es eine reguläre Matrix A, sodass die Matrix D, welche den und nur den Diagonalteil von A symbolisiert, singulär ist?

Ich wäre um Links oder mathematisch hinreichende Erklärungen dankbar, da ich selbst bei Google nicht fündig wurde.

Gruß
BlueBlobb

#2

Hallo BlueBlobb

Die Frage lautet: Kann eine reguläre Matrix eine Null in der Diagonalen haben? Selbstverständlich, z.B. ist A = [1 1; 1 0] regulär und kann nicht in D + E zerlegt werden.
Gruß
Egon

#3

Hallo Egon,

erst einmal danke für die gute Antwort! Manchmal ist die Lösung einfach zu einfach, um selbst darauf zu stoßen :smile:.

Jedoch hätte ich dennoch eine weitere Frage:
Was ist, wenn nun nicht mehr die Zerlegung der Matrix A, sondern von P · A betrachtet wird, wobei P eine beliebige Permutationsmatrix ist.
Ich nehme also nun an, dass die Reihenfolge der Zeilen der regulären Matrix A beliebig geändert werden darf. Die entstehende Matrix muss ja aufgrund von det§ ≠ 0 und det(A) ≠ 0 selbst ebenfalls regulär sein.

Meine persönliche Vermutung ist, dass in diesem Falle stets eine Zerlegung P · A = D + E mit den geforderten Eigenschaften für D und E existiert, ich kann es allerdings nicht begründen.

Wäre nett, falls diese Frage auch noch geklärt werden kann.

Gruß
BlueBlobb

#4

Korrigier mich, wenn ich sage:
1 1
1 0
ist invertierbar (also regulär), hat aber eine singuläre Diagonalmatrix…

#5

Hallole,

unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Diagonalmatrix
ist die singuläre Diagonalmatrix beschrieben.

Ohne weitere Einschränkungen ist die Zerlegung A = D + A immer möglich. Die interessantere Frage ist, ob das bei konkreten Rechnungen auch hilft; dafür müßte die Matrix A diagonal dominiert sein.

MfG
G. Aust

#6

ich denke du meinst folgendes: Siehe Link

Abschnitt: „2 × 2 real matrices as complex numbers“

Dort sieht man glaube ich genau die von dir gewünschten Berechnungen zwecks Nutzung der 2x2-Matrizen quasi als komplexe (i*i=-1), duale (eps*eps=0) und binäre (E*E=1) Zahlen auf einmal. Wobei mindestens alle Rechnungen möglich sind die auf den reellen Zahlen möglich sind. Natürlich sind mit komplexen, binären und dualen Zahlen jeweils nach unterschiedlichen Regeln bestimmt unterschiedliche Rechnungen möglich und genau so verhält es sich dann auch mit den M2R-Matrizen.

#7

PS: Falls du dich tatsächlich für die Nutzung von 2x2-Matrizen als allgemein hyperkomplexe Zahlen erster Ordnung (im Gegensatz zu Quaternionen) interessierst, könnte ich dir da sicherlich helfen (schreib mir hier einfach was) ich bin da mitlerweile Experte drin nachdem ich das nämlich aus reinem Interesse alles ausprogrammiert habe. ^^ Höhere Dimensionen interessieren mich einfach. Deshalb fasziniert mich auch die Relativitätstheorie so sehr, da ist mehr dran als man auf den ersten Blick sieht.