Also wenn ich mich gut an eine vorlesung erinnere die ich mal
hatte, dann war das irgendwie so:
eq. der ebene: P=ax+by+cz+d
und P(Xi) = a xi + b yi + c zi + d
Die gesuchte Ebene hat die Form E:ax+by+cz+d=0
Der Abstand eines Punktes Pi(xi|yi|zi) zur Ebene ist
d(Pi,E)=axi+byi+czi+d
wenn man davon ausgeht, dass der Normalenvektor der Ebene ein Einheitsvektor ist. Davon kann man aber ohne weiteres ausgehen.
Nun minimiert man die Summe der Abstandsquadrate
s(a,b,c,d)=\sum\limits_{i=1}^m\ (ax_i+by_i+cz_i+d)^2
Dabei ist m die Anzahl der Punkte.
Im Minimum muss die Ableitung (der Gradient) 0 sein, also
\nabla s(a,b,c,d)=\begin{pmatrix}
\sum 2x_i(ax_i+by_i+cz_i+d)\
\sum 2y_i(ax_i+by_i+cz_i+d)\
\sum 2z_i(ax_i+by_i+cz_i+d)\
\sum 2(ax_i+by_i+cz_i+d)\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}0
Die 2er fliegen raus, und man sortiert nach a,b,c und d.
\ \begin{pmatrix}
\sum x_i ^2 & \sum x_i y_i & \sum x_i z_i & \sum x_i\
\sum x_i y_i & \sum y_i ^2 & \sum y_i z_i & \sum y_i\
\sum x_i z_i & \sum y_i z_i & \sum z_i ^2 & \sum z_i\
\sum x_i & \sum y_i & \sum z_i & m\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix}\stackrel{!}{=}0
Wenn du dieses Gleichungssystem löst kriegst du a,b,c und d raus.
Gruß
hendrik
