Hallo Manni!
Die Bowlingkugel hat den Radius r, die Masse m, das
Trägheitsmoment J = 2/5 m r², die Gleitreibungszahl f und zu
Anfang die Geschwindigkeit v(0) und die Winkelgeschwindigkeit
ω(0)=0.
Solange sie gleitet,keine Winkelgeschwindigkeit.
… und so habe ich das auch geschrieben: ω(0) bedeutet „zum Zeitpunkt t=0“, also beim Abwurf.
Dadurch erfährt die Kugel eine Rotationsbeschleunigung, so
dass ihre Winkelgeschwindigkeit wie folgt von der Zeit
abhängt:
Der Rotationsbeschleunigung steht die Rotationsträgheit der
Kugel entgegen: J*epsilon
Quatsch. Genauso wie man aus der Grundgleichung der Mechanik (F=ma) die Beschleunigung ausrechnen kann (a=F/m), kann man bei der Rotation verfahren: α = M/J (Bei mir heißt die Rotationsbeschleunigung alpha). Und genau das habe ich getan.
Eine Kugel kann entweder gleiten oder rollen, aber nicht
beides gleichzeitig.
Sie kann aber auch beim Gleiten rotieren. Ob man das dann „rollen“ nennt, ist eine ganz andere Frage.
Gleichzeitig erfährt die Kugel durch die Gleitreibung eine
Verzögerung:
Die Kugel hört in dem Moment auf zu rutschen und rollt nur
noch, wenn ihre Umfangsgeschwindigkeit mit ihrer
Momentangeschwindigkeit übereinstimmt:
Richtig, aber das tut sie beim Abwurf und einige Zeit danach
nicht.
Die Gleitreibung wirkt von dem Moment an, da die Kugel Kontakt zur Bahn hat (also von Anfang an). Mit allen Konsequenzen.
ω(t) r = v(t)
…aber nur beim Rollen.
Du hast meine Herleitung schon gelesen, oder etwa nicht? Diese Gleichung ist die Rollbedingung! (Der Zusatz „nur beim Rollen“ macht daher überhaupt keinen Sinn).
5/2 f t g / r * r = v(0) - f g t
7/2 f g t = v(0)
t = 2/7 v(0)/(fg)
von da an ist keine Gleitreibung mehr wirksam, die die
Rotationsgeschwindigkeit oder die translatorische
Geschwindigkeit der Kugel ändern könnte.
Es ist beim Rollen keine Gleitreibung vorhanden, aber die
Rollreibung und die hast Du nicht berücksichtigt.
Wenn Du meiner Herleitung gefolgt wärst, wäre Dir nicht entgangen, dass ich mich ausschließlich mit der Zeitspanne befasst habe, bis die Rollbedingung erfüllt ist. Dass danach die Rollreibung wirksam ist, steht völlig außer Frage, ist aber für diese Überlegungen vollkommen unerheblich.
Die Rollreibung ist das Produkt aus dem Gewicht und dem
Hebelarm der Rollreibung x(angenommen).
Dieses Moment G*x (kp*m)
Seit Menschengedenken wird die Einheit „kp“ für die Kraft nicht mehr verwendet!
Zu diesem Zeitpunkt beträgt die Geschwindigkeit
v(t) = v(0) - f g * 2/7 v(0)/(fg) = 5/7 v(0).
Man kommt zu dem überaus überraschenden Ergebnis, dass die
Endgeschwindigkeit unabhängig von solchen Details wie
Kugelradius, Masse, Reibungskoeffizient oder ähnlichem ist!
Hier müßten Dir beim Niederschreiben die Alarmglocken geläutet
haben!
Jegliche Bewegung ist i m m e r mit Reibung verbunden.
Ich habe nicht gesagt, dass es nicht mit Reibung verbunden wäre (die ganze Herleitung beschäftigt sich mit Reibung!), sondern dass die Endgeschwindigkeit vom Reibungskoeffizienten unabhängig ist. Das ist etwas ganz anderes.
In
diesem Fall die Rollreibung. Nach Deiner Theorie müßte es egal
sein, ob eine Kugel auf einer polierten Bowlingbahn oder auf
einer rauhen Asphaltbahn rollt. Das kann nicht sein.
Weil nicht sein kann, was nicht sein darf? In dem Satz, den Du kritisierst, steht nicht drin, wie der Bremsvorgang abläuft. Ich bezog mich nur darauf, dass die Geschwindigkeit auf 5/7 ihres Anfangswerts abnimmt. Ob sie das abrupt auf 5 cm Strecke tut und dann weiterkullert, oder ob sie 5 m auf einer Bowlingbahn braucht, um auf 5/7 ihrer Anfangsgeschwindigkeit abgebremst zu werden, steht in dem Satz nicht drin. Im Gegenteil, ich habe das sogar weiter unten erläutert.
Für die Energie bedeutet das:
(im Falle des Rollens)
E_ges = E_trans + E_rot
Quatsch! Die Gesamtenergie ist die Summe aus tranlatorischer kinetischer Energie und Rotationsenergie. Ich muss da nichts mehr abziehen, um die Gesamtenergie auszurechnen.
Das bedeutet, dass 2/7 der Energie in Form von Reibungswärme
verloren geht - ebenfalls unabhängig davon, wie groß der
Reibungskoeffizient etc. ist!
Das kann wegen Deiner fehlenden Berücksichtigung der
Rollreibung nicht richtig sein.
In der Phase, in der die Kugel noch nicht rollt, spielt die Rollreibung keine Rolle.
Auf den ersten Blick scheint das der Inuition zu
widersprechen, doch wird eine Kugel, die sehr intensiv mit der
Unterlage reibt, schon sehr bald die Rollbedingung erfüllen,
während eine glatte Kugel eine sehr weite Strecke gleitet.
Genau: Das war doch mein Einwand. Sie gleitet zuerst und dann
rollt sie. Andererseits hast Du die Wirkung der Reibung doch
ausgeschlossen.
An welcher Stelle habe ich die Wirkung der Reibung ausgeschlossen?
Das ist ein Widerspruch.
Es wäre einer, wenn ich die Wirkung der Reibung leugnen würde…
… und genau diesen Fehler begehst Du:
Sie kann aber keine Rotationsenergie erlangen, solange sie
gleitet.
Solange sie gleitet, erfährt sie die Gleitreibungskraft. Die Gleitreibungskraft greift an der Kugel exzentrisch an, übt also ein Drehmoment aus. Das Drehmoment bewirkt eine Rotationsbeschleunigung der Kugel. Ist das so schwer zu verstehen?
Insgesamt erfolgt also in beiden Fällen gleich viel
Reibungsarbeit.
Leider Nein. Der Energieabbau durch Reibung beim Gleiten ist
um ein Vielfaches höher, als beim Rollen.
Wenn Du meinen Text gelesen hättest, wüsstest Du, dass ich mitnichten Gleiten und Rollen miteinander vergleiche, sondern den gesamten Vorgang mit starker bzw. schwacher Gleitreibung.
Durch den Übergang vom Gleiten zum Rollen wird überhaupt erst
soviel Energie frei, daß eine Winkelbeschleunigung bei vorh. J
und G*x wirksam werden kann.
Keine Ahnung, was Du damit sagen möchtest! Was meinst Du damit, dass Energie „frei“ wird? Warum beim Übergang vom Gleiten zum Rollen? Wie kann überhaupt eine Kugel anfangen zu Rollen, wenn es zuvor keine Winkelbeschleunigung gab? Eine Winkelbeschleunigung gibt es immer, wenn die Summe der Drehmomente ungleich Null ist. Da sich die Kugel offensichtlich bis zur Erfüllung der Rollbedingung nicht im Momentengleichgewicht befindet, erfährt sie eine Winkelbeschleunigung.
Ich hoffe, ich konnte zur Klärung des Sachverhalts beitragen.
Das hast Du dankenswerter Weise. Aber die endgültige richtige
Lösung liegt noch nicht vor.
Ich werde versuchen, meine Gedanken in einer Skizze zu
formulieren. Sollte es mir nicht gelingen, diese Skizze ins
Forum zu stellen (ein früherer Versuch zu einem anderen Thema
ging schief), möchte ich sie Dir mailen, wenn Du einverstanden
bist.
Nur zu. Aber über elementare Physik möchte ich mich nicht streiten müssen.
Michael
)