Hallo Mathegenies,
ich hab 5 Bsp zum lösen bei den ich mich nicht wirklich gut auskenne. Eine Erklärung, bzw Lsg hab ich auch nicht bekommen.
Ich hab die Fragen als PDF in diesem Link:
www.bestaltmed.at/slicer/Mathefragen.pdf.zip
Könnt ihr mir bitte helfen?
Lg,
Chris
Zunächst einmal geht es in keinem dieser Beispiele um Differenzialgleichungen oder Kurvendiskussion - ich verstehe also die Überschrift nicht…
Zweitens wäre es nett gewesen, dazu zu sagen, was denn an Vorwissen vorhanden ist bzw. worum es geht (Schule? Studium? was ist denn phpCod?)
Drittens sind das natürlich nicht nur 5 Beispiele, sondern deutlich mehr… Wenn ich das hier alles erkläre, dann wird’s ziemlich lang!
Bei den Aufgaben 2 bis 4 setze ich voraus, dass die Ableitungsregeln bekannt sind; Ableitungen mit dem Limes berechnen wäre da _etwas_ umständlich…
Parallel heisst: die Steigung muss gleich sein. Die Steigung der Geraden kann man direkt ablesen, wenn man die Gleichung in die Form y = mx + c bringt; die Steigung des Funktionsgraphen von f erhält man aus der Ableitung. Im Beispiel (a): f’(x) = 3x^2 - 12x + 6 und g: y = -3x + 6. Also hat die Gerade die Steigung -3. Das soll gleich der Steigung des Graphen von f sein, also hat man die Gleichung 3x^2 - 12x + 6 = -3 zu lösen.
Wenn die Tangente zur x-Achse parallel ist, dann hat sie natürlich die Steigung m = 0. Also ist der Ansatz hier f’(x) = 0. Im Beispiel (a): f’(x) = 2x^2 + 2x - 4, also muss man die Gleichung 2x^2 + 2x - 4 = 0 lösen.
Zwischen dem gesuchten Winkel alpha und der Steigung m besteht der Zusammenhang tan alpha = m. Die Steigung erhält man andererseits aus der 1. Ableitung. Also ist tan alpha = f’§. Im Beispiel (a): f’(x) = 6x^2 - x + 5, also f’§ = f’(-1) = 12, also tan alpha = 12, also ist alpha 85,2°.
Tja, hier ist leider der Limes gefragt… das zieht sich! Da gibt es im Wesentlichen 2 Methoden: mit x und x0 oder die h-Methode. Die erstere wird häufiger verwendet, also erkläre ich mal die - falls die andere verlangt ist, einfach nochmal nachfragen…
Also, nach Definition ist die erste Ableitung an der Stelle x0:
f’(x0) = lim_(x gegen x0) (f(x) - f(x0)) / (x - x0)
Mit der gegebenen Funktion hier also
f’(x0) = lim_(x gegen x0) ( (2x^3 - 6x^2 + 5x) - (2x0^3 - 6x0^2 + 5x0) ) / (x - x0)
Den Grenzwert kann man nicht sofort berechnen (wenn man x0 für x einsetzt, steht 0/0 da!), also muss man den Bruch noch vereinfachen. Dafür gibt es wieder verschiedene Methoden; ich erklären es mal mit Hilfe von binomischen Formeln (eine Alternative wäre z. B. die Polynomdivision).
Erst mal lösen wir im Zähler die Klammern auf und fassen dann jeweils gleiche Potenzen zusammen, also
f’(x0) = lim_(x gegen x0) ( 2 (x^3 - x0^3) - 6 (x^2 - x0^2) + 5 (x - x0) ) / (x - x0)
Dann teilen wir den Bruch in eine Summe von drei Brüchen auf:
f’(x0) = lim_(x gegen x0) ( 2 (x^3 - x0^3) / (x - x0) - 6 (x^2 - x0^2) / (x - x0) + 5 (x - x0) / (x - x0) )
Im letzten Bruch kürzt sich der Faktor (x - x0) sofort, im zweiten kann man die dritte binomische Formel benutzen, im ersten eine ähnliche binomische Formel, die man in Standard-Formelsammlungen findet. Dann bleibt:
f’(x0) = lim_(x gegen x0) ( 2 (x - x0) (x^2 + x x0 + x0^2) / (x - x0) - 6 (x - x0) (x + x0) / (x - x0) + 5 )
Im ersten und zweiten Summanden kann man dann auch kürzen:
f’(x0) = lim_(x gegen x0) ( 2 (x^2 + x x0 + x0^2) - 6 (x + x0) + 5 )
Dann kann man den Limes ausführen (x0 für x einsetzen):
f’(x0) = 2 (x0^2 + x0 x0 + x0^2) - 6 (x0 + x0) + 5
Zusammenfassen:
f’(x0) = 6 x0^2 - 12 x0 + 5
Dies war zu zeigen.
Hallo Chris,
da verlangst Du aber ein bisschen viel in der sowie hektischen Vorweihnachtszeit. Wenn ich dazu komme, werde ich vielleicht das ein oder andere zurückmelden können, nur zur Zeit geht es wirklich nicht.
Die Rückmeldung allein tut es aber m.E. auch nicht wirklich, da damit Deine Probleme, es nicht zu verstehen, auch nicht nennenswert gemildert werden.
Viele Grüße
funnyjonny
Zu 1:
Tut mir Leid, ich öffen keinen Link - geschweigedenn werde ich eine unbekannte Datei laden.
Bitte kopieren Sie ihre Frage auf die www-Seite.
Frank
Zu 5:
2(x+h)^3-6(x+h)^2+5(x+h) - 2x^3 +6x^2-5x ausmultiplizieren und vereinfachen
h ausklammern
durch h dividieren (h vor der Klammer weglassen)
h=0 setzen
Hallo,
bei 2a) musst Du erst wissen, wie die Steigung der gegebenen Geraden ist. Wenn Du sie nach y umstellst, kannst du am Faktor vor dem x die Steigung ablesen.
Als g:y = -3x + 6.
Die Steigung beträgt somit -3.
Dann ermittelst Du, wo die Funktion f(x) die Steigung -3 hat. Dazu brauchst du die Ableitung f´(x). Diese lautet: f´(x) = 3x^2-12x+6.
Den Funktionsterm musst du nun gleich -3 setzten. Du erhältst die Gleichung
3x^2 - 12x + 6 = -3 |+3
3x^2 - 12x + 9 = 0 |:3
x^2 - 4x + 3 = 0 |p-q-Formel
x1/2 = 2 ±wurzel aus (4 - 3)
x1/2 = 2 ± 1
x1 = 1
x2 = 3
An diesen beiden Stellen hat die Funktion die gleiche Steigung wie die gegebene Gerade g. Nun musst die noch die Gleichungen der beiden Tangenten ausrechnen. Dazu setzt du zunächst die 1 in f(x) ein und er ergibt sich:
f(1) = 1 - 6 + 6 + 1 = 2. Somit hast du für die erste Tangente die Steigung m = -3 und einen Punkt P( 1/ 2), durch den die Tangente verläuft.
Mit der Punkt-Steigungsform der Geradengleichung erhältst du dann:
t1: y - 2 = -3 (x - 1) bzw.
t1: y = -3x + 5
Den gleichen Weg machst du bei der zweiten Tangente. Diese verläuft durch P(3/f(3)). f(3) = 27 -54 + 18 +1;
f(3) = -8. Mit dem Punkt P(3/-8) und der Steigung m = -3 erhältst du dann die zweite Tangente:
t2: y + 8 = -3(x - 3) bzw.
t2: y = -3x + 1.
Die Aufgaben b,c und d gehen nach dem gleichen Muster.
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo Walter,
danke für die AW.
In Bsp.: 1.3 ist doch die AW + oder - 10 m/s oder?
Ausgerechnet mit dem Steigungsdreieck.
Wie kommt man auf die Lsg 1.5 mit dem Ergebnis -3/2 m/s?
Besten Dank,
Chris
Hallo,
bei der Aufgabe 3 musst Du wissen, wo die Funktionen die Steigung Null haben, denn die x-Achse hat die Steigung 0.
Also: Erste Ableitung bilden und dann 0 setzen.
Als Muster die Aufgabe a): f’(x) = x^2 + 2x - 4.
Null setzen: x^2 + 2x - 4 = 0
Mit p-q-Formel lösen: x1/2 = 1 ±Wurzel(1+4)
Also: x1 = 1 - Wurzel(5) = -1,236
und: x2 = 1 + Wurzel(5) = 2,236.
Nun werden die beiden x-Werte jeweils in die Ausgangsfunktion eingesetzt und man erhält zwei y-Werte y1 und y2. Die beiden Punkte sind somit P1(x1/y1) und P2(x2/y2).
So geht das bei allen vier Aufgaben.
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo,
bei der Aufgabe 1 stehen die Antworten ja teilweise schon an der Aufgabenstellung:
a) Momentangeschwindigkeit
b) An den Stellen t = 0 und t = 3 ist die Steigung vom Betrag her am größten.
c) An der Stelle 1 etwa 6 und an der Stelle 2 etwa -6.
d) Für 0
Hallo funnyjonny,
vielen vielen dank für die Erklärung.
Aber wie kommt man auf die Formel für t1 (t1: y - 2 = -3 (x - 1) )
und was sagt mir t1 dann aus?
Liebe Grüße,
Chris
Hallo Walter,
danke für die AW.
In Bsp.: 1.3 ist doch die AW + oder - 10 m/s oder?
Ausgerechnet mit dem Steigungsdreieck.
--------> : Nein; man braucht die Steigung der TANGENTEN!!; also nach Augenmaß wohl + oder - 5 m/s
Wie kommt man auf die Lsg 1.5 mit dem Ergebnis -3/2 m/s?
--------> : Ja hier habe ich wohl nicht genau auf die Zeitskala hingesehen: Man braucht das schon skizzierte Steigungsdreieck und muss dann ablesen: (10 – 7) / (2-1) = 3.
Besten Dank,
Chris
Hallo Chris,
t1 steht für Tangente Nr. 1 (so wie in Deinen Aufgaben vor der Geradengleichung g steht, habe ich für Tangente Nr. 1 t1 gewählt.) Die Tangente ist erstens parallel zu der in der Aufgabe gegebenen Geraden g und berührt außerdem die Funktion f(x), und zwar im errechneten Punkt P (1/2).
Eine Geradengleichung, bei der ein Punkt P(xp/yp) und die Steigung m gegeben ist, kann man mit Hilfe der Punkt-Steigungsform der Geraden berechnen. Sie lautet allgemein:
g: y - yp = m (x - xp)
Für yp setzt man den y-Wert des Punktes ein, für xp die x-Koordinate und für m den Steigungswert.
In Deiner Aufgabe ist yp = 2; xp = 1 umd m = -3.
Also: g: y - 2 = -3(x - 1)
Nach y aufgelöst bekommt man dann die Hauptform der Geradengleichung y = -3x + 5.
Ich hoffe, das hilft Dir weiter.
Viele Grüße
funnyjonny
Hallo,
vielen vielen danke für die AW. Nur bei 1.3 bzw 1.5 kenn ich mich noch nicht wirklich aus.
Braucht bei beiden ein Steigungsdreieck oder etwas anderes.
Wie kann ich diese berechnen?
Gibt es beim Limes auch diese Formel oder habe ich die falsch mitbekommen?
f’(x0) = lim_(x gegen x0) (f’(x) - f’(x0)) / (x - x0)
Vielen Dank,
Chris
Danke funnyjonny,
ich hätte gedacht dass g schon die Funktion und somit die Hauptform der Geradengleichung ist.
Liebe Grüße,
Chris
Hallo,
danke für die AW.
Könntest du mir vll die Herleitung des Ergebnisses von c (1.3) und e (1.5) genauer erklären?
Liebe Grüße,
Chris
Nur bei 1.3 bzw 1.5 kenn ich
mich noch nicht wirklich aus.
Braucht bei beiden ein Steigungsdreieck oder etwas anderes.
Wie kann ich diese berechnen?
Wie kann man was berechnen? Die Steigung? Mit Hilfe des Steigungsdreiecks, wie du ja selbst schon sagst…
m = (Delta y) / (Delta x)
Gibt es beim Limes auch diese Formel oder habe ich die falsch mitbekommen?
f’(x0) = lim_(x gegen x0) (f’(x) - f’(x0)) / (x - x0)
Genau die Formel habe ich doch oben hingeschrieben und verwendet???
Hallo Björn,
danke für die AW. Sry ich hab mich vll falsch formuliert.
Wie kann man was berechnen? Die Steigung? Mit Hilfe des
Steigungsdreiecks, wie du ja selbst schon sagst…m = (Delta y) / (Delta x)
bei 1.3 hab ich 2 AW / Ergebnisse bekommen: - oder + 5 m/s , - oder + 6 m/s.
Ich würd aber mit den Steigungsdreieck auf + oder - 10 m/s ((10-0)/(1-0))kommen. Stimmt das?
Bei 1.5 hab ich die AW 3 oder -8/3 bekommen.
Ich würd sagen -8/3 da das Steigungsdreieick ((6-10)/(2.5-1)) --> davon die mittlere Geschwindigkeit = (-4*2)/(1.5*2) oder?
Gibt es beim Limes auch diese Formel oder habe ich die falsch mitbekommen?
f’(x0) = lim_(x gegen x0) (f’(x) - f’(x0)) / (x - x0)
Die Formel von mir beinhaltet jeweils eine Ableitung von fx und fxo -->(f’(x) - f’(x0)) und unterscheidet sich daher von der Vorherigen (f(x) - f(x0)). Aber ich glaub das hab ich falsch abgeschrieben?
Danke nochmals für die Erklärungen,
Chris
bei 1.3 hab ich 2 AW / Ergebnisse bekommen: - oder + 5 m/s , -
oder + 6 m/s.
Wie hast du die Ergebnisse bekommen? (richtig ist übrigens 5)
Ich würd aber mit den Steigungsdreieck auf + oder - 10 m/s
((10-0)/(1-0))kommen. Stimmt das?
Nein. Wie gesagt: du musst die Steigung der Tangenten (mit Hilfe von Steigungsdreiecken) bestimmen; du hast das Steigungsdreieck hier aber anscheinend an den Funktionsgraphen selbst gezeichnet?!
Bei 1.5 hab ich die AW 3 oder -8/3 bekommen.
Ich würd sagen -8/3 da das Steigungsdreieick ((6-10)/(2.5-1))
–> davon die mittlere Geschwindigkeit =
(-4*2)/(1.5*2) oder?
Das ergibt -8/3, das ist richtig; wie kommst du auf 3?
Die Formel von mir beinhaltet jeweils eine Ableitung von fx
und fxo -->(f’(x) - f’(x0)) und unterscheidet sich daher von
der Vorherigen (f(x) - f(x0)). Aber ich glaub das hab ich
falsch abgeschrieben?
Ja, das hast du falsch abgeschrieben. f’(x0) will man ja gerade ausrechnen - es ergäbe also wenig Sinn, wenn in der Formel rechts auch f’(x0) stehen würde!
Hallo,
danke für die Antwort.
bei 1.3 hab ich 2 AW / Ergebnisse bekommen: - oder + 5 m/s , -
Wie hast du die Ergebnisse bekommen? (richtig ist übrigens 5)
Das Ergebnis hab ich von anderen wer weiss was Mitgliedern bekommen.
Die Tangente hab ich leider nicht eingezeichnet. Da ich nur einen Freund helfe der dringend Hilfe benötigt. Deshalb weiß ich nicht wie ich auf + oder - 5 m/s komme?
Liebe Grüße,
Chris