Geraden auf Quadrik im R^3

Wissenschaft Mathematik
#1

Liebes Forum,
ich habe eine Aufgabe zu Quadriken im R^3. Das Thema ist ganz neu, wir haben begonnen, Quadriken im R^2 zu klassifizieren.
Die Quadrik Q ist dargestellt als Menge aller (x,y,z) mit x^2+y^2-z^2=49.
Ich habe nun zwei Punkte, die auf Q liegen:
A=(7,0,0) und B=(20,15,24)

Aufgabe a:
Ich soll zwei Geraden g1 und g2 bestimmen, die beide Teilmenge der Quadrik sind und sic in A schneiden.
A ist also von beiden der Stützpunkt.
Ich habe versucht, durch ein LGS aus den Parameterdarstellungen der Geraden, auf die Richtungsvektoren zu schließen, indem ich die Quadrikgleichung nutze, aber damit komme ich nicht zum Ziel, dieser Ansatz ist falsch.

Aufgabe b:
Ich soll zwei Geraden g1 und g2 bestimmen mit:
A liegt auf g1
B liegt auf g2
beide Geraden sind Teilmenge der Quadrik
die Geraden schneiden sich
Hier erhoffe ich mir, dass ich sie lösen kann, wenn ich aI bewältigt habe.

Ich würde mich wieder sehr über eure Hilfe freuen.
Herzlich
Catrin

#2

Hi,
nur mal so als Brainstorming (Quadriken sind überhaupt nicht mein Ding): Bei Aufgabe a) alle Geraden, die durch A gehen: q(λu+A)=0, aber ohne Analysis sehe ich gerade nicht, wie man auf konkret zwei (verschiedene) u kommt, die Gerade als λu+v geschrieben.

Habt ihr denn Darstellungen für die Geradenscharen bei gegebenem Quadriktyp? Oder speziell die Ebenenschnitte eines hyperbolischen Hyperboloids. Ich kann mich nur dunkel an viele sinh und cosh erinnern.

Vielleicht hilft es ja die Normalform zu benutzen?

q((x,y,z)) = x^2/7^2 + y^2/7^2 - z^2/7^2 - 1

Wir sehen also ein 7-fach vergrößertes Einheitshyperboloid.

#3

Ich habe hier noch ziemlich genau die Antwort auf Aufgabe a) gefunden: https://math.stackexchange.com/questions/1923297/lines-through-a-point-on-the-quadric

Allerdings ist die Frage, ob Du einfach so auf die Tangentialebene E an A kommen darfst (bzw. wie).

Die Variante mit der Segre-Einbettung war bestimmt noch nicht Thema?

#4

Guten Morgen und danke :slight_smile:
Letztlich sollen wir zwei Geraden bestimmen, wie, ist freigestellt. Vor dem Hintergrund, dass wir die Quadriken (mal sehen, ob die meinen Freundinnen werden) erst grundlegend eingeführt haben, gehe ich nicht davon aus, dass da kompliziertere Verfahren benutzt werden sollen. Zumindest nicht bei a) Dafür sprechen die Koordinaten des Schnittpunktes. Beim genauen Hinschauen ist mir aufgefallen, dass ja y^2 und z^2 immer gleich sein müssen, wenn x=7 ist. Damit kann man zwei Geraden finden. Mal sehen, ob das so reicht.
Bei b) ist es schwieriger, da bin ich noch dran.
Herzliche Grüße
Catrin

#5

Du hast recht, einfach mal die Geradengleichung in q einsetzen und scharf hinschauen:

q(λu + A) = λ^2 (u_x^2 + u_y^2 - u_z^2) + 14λu_x = 0

Also u=(0,1,1) erfüllt das für alle λ.

Als zweite Gerade wählt man vielleicht u=(0,-1,1), oder sogar die, die in b) gefordert ist.

#6

Ja, genau so.
Ich bin bei b) trotzdem noch nicht weitergekommen😅. Aber ich bleibe dran👍

#7

Naja, naiv geht man genauso vor, die zweite Gerade erfüllt:

λ^2(u_x^2 + u_y^2 - u_z^2) + λ(40u_x + 30u_y - 48u_z) = 0

um Teilmenge der Quadrik zu sein und durch Punkt B zu gehen.

Wenn beide Geraden sich schneiden sollen, setzt man sie nochmal gleich.

#8

Ich muss ja zwei verschiedene Parameter wählen. Kann aber in beiden Gleichungen kürzen und beim Gleichsetzen die Terme mit den quadratischen Anteilen rausschmeißen. Bin dann bei
1/s(40x+30y-48z)=1/t(14x)
Aber letztlich kriege ich da ja ein und denselben RV raus für die Geraden, dann schneiden sie sich nicht. So kann es nicht gehen, denke ich.

#9

Die Richtungsvektoren und die Stützvektoren der beiden Geraden sind andere. Die λ bleiben gleich (Dein s und t). Oder anders ausgedrückt, es gibt ein λ, was gleichzeitig beide Geradegleichungen erfüllt.

#10

Supi, dann wird mein Stützvektor (x,y.z) und den jeweils gegebenen Punkt stecke ich in die Differenz der Punkte für die Richtungsvektoren und wähle den gleichen Parameter?

#11

Hast Du denn schon irgend eine Gerade g2? Falls ja, mit gleichsetzen meinte ich:

λ(0,1,1) + (7,0,0) = λ(u_x,u_y,u_z)+(20,15,24)

und damit

λ(u_x,u_y-1,u_z-1) = (13,15,24)

Womit man dann eben (hoffentlich) genau ein λ findet, was das erfüllt.

#12

Ich meine mich zu erinnern, daß durch einen Punkt einer Quadrik immer genau zwei Geraden gehen (im Komplexen zumindest), von daher braucht man nicht viel probieren, wenn man eine g2 gefunden hat. (Ich bin aber kein Differentialgeometer, also prüfe das lieber nochmal nach)

#13

Ich hab
λ(-u_x,1-u_y, 1-u_z)= (13,15,24)
Setzte ich das wieder in Q ein?

#14

in q eingesetzt kommt da wieder 0 raus. Q (die Quadrik) ist ja gerade die Nullstellenmenge von q (dem Polynom). Und nach Konstruktion sind beide Geraden aus der Quadrik, und schneiden sich.

Nein, also mit dem Gleichsetzen kommt das λ raus (und dann eben der Punkt im R^3), bei dem sich beide Geraden schneiden.

Ich überlege gerade, ob man das nicht einfach benutzt, um g2 anzugeben. Der eine Punkt von g2 ist ja B, der andere dieser Schnittpunkt (nennen wir ihn C). dann wäre der Richtungsvektor B-C. Ist aber wahrscheinlich genauso schwer, wie g2 einfach so durch Raten zu bestimmen.

#15

Also nochmal zu g2, es gilt das Gleichungssystem

u_x^2 + u_y^2 = u_z^2
40u_x + 30u_y = 48u_z

zu lösen. (Triviallösung (0,0,0) ist natürlich ausgeschlossen)

#16

Wie begründest du, dass du
λ^2(u_x^2 + u_y^2 - u_z^2) + λ(40u_x + 30u_y - 48u_z) = 0
in ein GS aufsplittest?
u_x^2 + u_y^2 = u_z^2
40u_x + 30u_y = 48u_z

#17

Für λ ungleich 0 wird die Gleichung oben dann 0, wenn u_x^2 + u_y^2 - u_z^2 = 0 und 40u_x + 30u_y - 48u_z=0. Es ist zwar ein Polynom in λ aber wir wollen ja dessen Koeffizienten ausrechnen.

#18

Ich komme auf nichts gescheites. Da ich zwei Gleichungen für drei Unbekannte habe, wähle ich mir mein x frei? Habe es mit 1 versucht, dann erhalte ich y und z, die jedoch keinen Sinn als Koordinaten eines Richtungsvektors für g2 ergeben. Irgendwo hab ich einen Denkfehler

#19

Ich muss nochmal System hineinbringen:
Ich gehe davon aus, dass ich mir zu meiner g1 aus a) eine passende g2 suche, dessen Stützvektor B ist. Mit dem Gleichungssystem berechne ich den Richtungsvektor von g2? Ich habe allerdings nur zwei Gleichungen für 3 Unbekannte. In der Wahl einer Koordinate dürfte ich jedoch nicht frei sein. Hier komme ich nicht weiter.

#20

Du hast alles richtig aufgeschrieben, aber ich gebe zu bedenken, daß es in Aufgabe a) auch so war. u_y bestimmt u_z, u_x war offensichtlich 0.

Genauso habe ich es für b) gemacht. Gleichung zwei nach u_z umgestellt, dann oben eingesetzt, aber irgendwie sind die Koeffizienten zu häßlich, sowas würde doch kein Übungsleiter rausgeben (oder ich habe mich verrechnet, was durchaus wahrscheinlich ist), hier mein System:

176/576 u_x / u_y + 351/576 u_y / u_x = 60/48

u_x = 1 gesetzt, u_z ergibt sich ja, macht:

351/576 u_y^2 - 60/48 u_y = -176/576.

Könnte man lösen, sieht aber grottenhäßlich aus, vom Prüfen (einsetzen in q) mal ganz abgesehen.