Über die Fehler der Gegenwärtigen Prinzipien der Infinitesimalrechnung
Ding Xiaoping
Beijing, China
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Abstrakt Die Prinzipien der Infinitesimalrechnung von I. Newton und G. Leibniz sind schwer zu rechtfertigen, daher haben Mathematiker um A-L. Cauchy die aktuellen Prinzipien der Infinitesimalrechnung etabliert. Auch das aktuelle Prinzip der Infinitesimalrechnung ist ein speziöses System, und dieser Artikel erklärt es kurz unter vier Aspekten.
Schlüsselwörter Infinitesimalrechnung, Zahlenformmodell, reelle Zahl
MSC (2010) Fachklassifikation
- Einleitung
Nach der Etablierung der Theorie der reellen Variablenfunktionen und der modernen Analyse erklärte die Mathematikgemeinde das Prinzip der Infinitesimalrechnung zu einem vollständigen und strengen wissenschaftlichen System, aber in Wirklichkeit ist dies nicht der Fall. Ich bin kein Pionier, der die gegenwärtigen Prinzipien der Infinitesimalrechnung nicht akzeptiert. Unter den Pionieren sind A. Robinson und K. Gödel als herausragende Vertreter zu bezeichnen. Gödel sagte: „Nicht standardisierte Analysen in der einen oder anderen Form werden die Analyse der Zukunft. “ [1] Robinson sagte: „Dieses Buch beweist, dass die Ideen von Leibniz vollständig beibehalten werden können.“ [2] Und er sagte auch: „Es gibt einen scharfen Vergleich: Leibniz und seine Anhänger werden streng behandelt, aber der Fehler des Initiators der Grenzwerttheorie ist vergeben." [3]
Tatsächlich ist nicht nur die Wissenschaftlichkeit des gegenwärtigen Prinzips der Infinitesimalrechnung speziös, sondern auch die gesamte gegenwärtige mathematische Grundlage lässt sich nicht rechtfertigen. Dieser Artikel beginnt mit dem Fehler des aktuellen Prinzips der Infinitesimalrechnung. - Fehler der Gegenwärtigen Prinzipien der Infinitesimalrechnung
Jeder, der ein wenig allgemeines Wissen in der Geschichte der Infinitesimalrechnung hat, weiß, dass es für die gesamte Disziplin der Infinitesimalrechnung zuerst die Methode der Infinitesimalrechnung und dann das Prinzip der Infinitesimalrechnung gibt. Je effektiver die Methode der Infinitesimalrechnung ist, desto mehr man will den Mechanismus dahinter knacken – das Prinzip der Infinitesimalrechnung.
Hinter allem, was gut funktioniert, muss ein objektiver Mechanismus geben, der nicht vom Willen der Menschen abhängt, und die Methode der Infinitesimalrechnung ist keine Ausnahme. Das Prinzip der Infinitesimalrechnung ist nicht als ein vollständiges und rigoroses wissenschaftliches System etabliert, da das Zahlenformmodell der gegenwärtigen mathematischen Wissenschaft das Prinzip der Infinitesimalrechnung nicht beschreiben kann. Das ist weder die Schuld der Pionieren noch die Schuld der gegenwärtigen Mathematiker .
Nach dem aktuellen Zahlenformmodell liegt die grundlegende Schwierigkeit bei der Etablierung des Prinzips der Infinitesimalrechnung in der Handhabung von in + . Wenn entfernt wird, kann als Differentialquotient geschrieben werden. Aber so gibt es keine Brücke zwischen Integral und Differential (oder Ableitung); Wenn beibehalten wird, kann nicht als Differentialquotient geschrieben werden. Es gibtauch keine Möglichkeit, über Integral in Form von Leibniz zu sprechen. Mit Hilfe des Limits kann man damit umgehen, aber kann noch nicht als Differentialquotient geschrieben werden. Daher haben die Mathematiker um Cauchy grob unwissenschaftliche Methoden benutzt, und alle Absurditäten des Prinzips der Infinitesimalrechnung stammen daraus.
2·1 Die theoretische Grundlage der Grenzwerttheorie ist nicht vollständig
Aus der Perspektive der analytischen Geometrie ist die Trajektorie eines bewegten Punktes, dessen Abstand zu einem Fixpunkt eine feste Länge hat, ein Kreis. In den Koordinaten der analytischen Geometrie entsprechen zwei beliebige Punkte zwei Zahlen oder zwei Arrays, d.h. zwischen zwei beliebigen Punkten oder zwei Zahlen können unendlich viele Punkte oder Zahlen (Arrays) eingefügt werden. Auf dieser Weise kann eine geometrische Figur oder ein Intervall eine Länge (Maß) haben. Auf dieser Grundlage überlappen sich die beiden Endpunkte einer beliebigen Seite des regelmäßigen Polygons nicht, egal wie die Anzahl der Seiten unendlich erhöht wird. Nur so behält das regelmäßige Polygon den Umfang bei. Auf diese Weise existiert jedoch „die Trajektorie eines sich bewegenden Punkts mit einem Abstand fester Länge zu einem festen Punkt“ nicht. Die Quelle der Grenzwerttheorie ist „die Grenze eines regelmäßigen Vielecks ist ein Kreis, wenn dieSeitenzahl unendlich steigt.“ In der analytischen Geometrie unter dem aktuellen System der reellen Zahlentheorie existiert der Grenzwert in der Grenzwerttheorie nicht mehr, insbesondere die Tangente und entsprechend die momentane Änderungsgeschwindigkeit. Das dem Integral entsprechende Kurventrapezoid existiert nicht, aber die einzige Sekante mit unendlich reduzierter Schnittlänge und das Polylinientrapez mit unendlich erhöhter Faltenzahl werden in der analytischen Geometrie dargestellt. Analytische Geometrie ist die Einheit von Zahl und Form, d.h. die analytische Geometrie unter dem gegenwärtigen reellen Zahlensystem negiert die Grenzwerttheorie unter zwei Aspekten: Zahl und Form.
2·2 Fehler in den aktuellen Differential- und Ableitungsprinzipien
- Man definiert künstlich , dann, wird , daher gibt es = , auf diese Weise haben wir das Differentialquotient.
- Abzug von Selbsttäuschung: für , gibt es = = . , ,deswegen gibt es , dann bekommen wir = .
- Wir führen das Unit-Mapping durch, dann bokommen wir = . Dies entspricht der oben genannten Situation .
Für diese drei Methoden soll man unweigerlich fragen: - Warum ist es gezwungen zu definieren ? Was ist die Grundlage?
- Für besondere , haben wir ；Für allgemeine , gibt es noch ?
- Bei Unit-Mapping, ；Im Fall von Non-Unit-Mapping, gibt es noch ?
Im Allgemeinen ist die Ursache und das Ergebnis für , und gleichzeitig ist die Ursache seines Ergebnisses und ist das Ergebnis seiner Ursache. Diese Beziehung hat keinen Anfang und kein Ende. Unsere Welt ist wie dies, und es spiegelt sich in der Mathematik wieder in . Daher, es sei denn . Ansonsten muss man zustimmen ： . Daher, . Manche Leute sagen, sei eine primitive Variable. Also wird es immer geben, deshalb . Fragen wir uns: Wie geht man mit der Ableitung der impliziten Funktion um? Wie geht man mit der Ableitung der parametrischen Gleichung um? Wie ist mit der Substitutionsmethode des zweiten Typs des unbestimmten Integrals umzugehen?
Wie oben erwähnt, handelt es sich immer noch um eine univariate Situation, und für multivariate Kalküle ist es noch absurder. „Angenommen, die m-äre Funktion sei naher Punkt 1 . definiert, Wenn existiert, damit für ausreichend kleine , gibt es so eine Beziehung + . Sagen wir einfach, dass die Funktion an der Stelle differenzierbar ist, und rufen das Gesamtdifferenz der Funktion am Punkt , bezeichnet als . Hier sind wir uns einig , .“ [4] Eigentlich, brauchen wir nur jedes in mit differenzierbarer Funktion ersetzen, , ,Nun, nach der Kettenregel zur Ableitung zusammengesetzter Funktionen gibt es , Hier, ≠ . Daher ist es absurd zu vereinbaren oder definieren. Nehmen wir den sogenannten „Cauchy-Abzug“, brauchen wir , . So gibt es =…= . Auf diese Weise ist die ursprüngliche multivariate Funktion zu einer unscheinbaren univariaten Funktion geworden, was offensichtlich absurd ist.
2·3 Probleme im aktuellen Integrationsprinzip
In dem von den Mathematikern um Cauchy angeführten aktuellen Prinzip der Infinitesimalrechnung muss zunächst die Differenzierung durch die Ableitung definiert werden, die gegen wissenschaftliche Prinzipien verstößt. Die Ableitung ist nicht das Verhältnis zweier Momentangrößen, sondern durch die Suche nach Inkrementen, die Berechnung des Verhältnisses und Namm der Grenze berechnet. Durch erzwungene Definition ist die Ableitung wieder das Quotient von und . Aber und sind keine Momentangröße. Zweitens sind das unbestimmte Integral und das bestimmte Integral keine einheitlichen Integrale. Das bestimmte Integral ist die Grenze der Summe. Das unbestimmte Integral ist der inverse Prozess der Ableitung für eine Weile und dann der inverse Prozess der Differentiation für andere Weile. Das bestimmte Integral wird nur mit Mitteln von unbestimmtem Integral berechnet. Ist das vernünftig?
1677 stellte Leibniz fest: "Bei einer Kurve, derenOrdinate ist, kann man die Fläche unter der Kurve finden. Leibniz geht davon aus, dass eine Kurve (Sekantenkurve) gefunden werden kann, mit Ordinate z und , d.h., . Die Fläche unter der ursprünglichen Kurve ist also: .“ [5]. In kanonischer Form geschrieben, „ “ [6] . Wenn b eine willkürliche Zahl ist, wird man die ursprüngliche Funktion erhalten. Hier ist natürlich noch eines zu beachten,„ “ stellt nur die einfachste Akkumulation dar. Es ist völlig anders als Cauchys „ “.
Im Prinzip der Leibniz- Infinitesimalrechnung bedeutet „ “ Differenzierung, „ “ die Differenz zwischen zwei benachbarten und erforscht die operative Beziehung zwischen „ “ und „ “. [7] d.h. Differenzierung ist die Punkt-zu-Punkt Mikronisierung eines bestimmten Intervalls und das Integral ist die Akkumulation der Mikronisierungsergebnisse. Differentiation und Integration sind die Umkehroperationen zueinander, es gibt keine zwei Integrale, die sich wesentlich unterscheiden, und die Ableitung ist die Differenzierung. Dies ist das wahre Grundprinzip der Infinitesimalrechnung.
Vergleicht man die beiden, ist es nicht schwer festzustellen, dass das von Cauchy vertretene gegenwärtige Prinzip der Infinitesimalrechnung kein vernünftiges Prinzip ist. Der Grund dafür ist, dass das sogenannte Prinzip eine Gruppe von Gesetzen ist, die den inneren Zusammenhang der Sache widerspiegeln, in besonderen Fällen ein einziges Gesetz. Das Prinzip der Infinitesimalrechnung besteht darin, das Gesetzessystem des inneren Zusammenhangs der Infinitesimalrechnungsmethode zu erklären.
Erstens, im aktuellen Prinzip der Infinitesimalrechnung, das von Cauchy repräsentiert wird, gibt das unbestimmte Integral nur die ursprüngliche Funktionsverarbeitungsmethode in der Infinitesimalrechnungsmethode per Definition nach und zeigt nicht die interne Verbindung zwischen Differentiation und sogar der Ableitung und dem Integral, und es macht auch die original zwei Aspekte desselben Dings – unbestimmtes Integral und bestimmtes Integral –zwei Dinge. Wenn es einen Zusammenhang gibt, rechnet das letztere nur mit Hilfe des ersteren.
Zweitens ist in dem von Cauchy repräsentierten gegenwärtigen Prinzip der Infinitesimalrechnung zwar zugegeben, dass die Ableitungsfunktion oder Ableitung die momentane Änderungsrate ist, die Ableitungsfunktion oder Ableitung der Differentialquotient, aber die Differenzierung ist keine momentane Größe, also es gibt keine momentane Änderungsrate der momentanen Mengen. Es gibt nur die Echtzeit-Änderungsrate für die Berechnung des Inkrements, die Berechnung des Verhältnisses und die Festlegung des Limits. Integral kann also nicht der umgekehrte Vorgang der Differenzierung sein, daher stellt die Differenzierung nichts anderes als ein hergestelltes Monster dar. Ihre sogenannte Verwendung wird nur für ungefähre Berechnungen mit viel geringerer Genauigkeit als die Serienmethode.
Drittens sind die meisten sogenannten Differentialgleichungen bekanntlich Ableitungsgleichungen. Der größte Teil des Lösungsprozesses beinhaltet die Trennung der Variablen, d.h. die Methode der Differenzierung, und die anschließende Integration der beiden Enden. Die grundlegendste Wahrheit, die diese effektive Methode den Menschen vermittelt, ist, dass Integration der umgekehrte Prozess der Differenzierung ist. Vergessen Sie nicht, dass „Integration an beiden Enden“ die Integration der beiden Enden des Differentials ist! Dies ist das Integral im Sinne von Leibniz, während das Integral im Sinne von Cauchy nur der Umkehrprozess der Ableitungsfunktion ist. Das von Cauchy vertretene aktuelle Integrationsprinzip zeigt den inneren Zusammenhang von Differentialgleichungen nicht, allenfalls gibt es einen scheinbaren und unvollständigen inneren Zusammenhang .
2·4 Fehler im Prinzip der Lösung von Differentialgleichungen
Die gewöhnliche Differentialgleichung wird nach der Trennung der Variablen in die Form umgewandelt. Dann werden die beiden Enden integriert (beachten Sie, dass die beiden Enden hier nicht mit dem unbestimmten Cauchy-Integral identisch sind), auf diese Weise erhält man die allgemeine Lösung: . Aber das stimmt nicht mehr, wenn ernstgenommen. Die ursprüngliche Gleichung bestimmt die funktionale Beziehung von , und ihre Hauptgleichung kann geschrieben werden als . Wenn zugelassen wird, also haben wir = , kann durch Integral erhalten werden. Aber durch bekommt man nicht . Denn nach der Definition von Infinitesimalrechnung ist der Lineare Hauptteil von and ; Das gleiche gilt, + , also, , , und ≠ , deshalb , d.h., durch Intergral bekommt man kein aus .
Natürlich sagen einige Leute, dass das bestimmte Integral auch der inverse Prozess der Differentiation ist, und der inverse Prozess der Ableitung und der Differentiation sind beide +C, weil „Cauchy die Tatsache vorgeschlagen hat, dass, obwohl die Definitionen der beiden Operationen unabhängig voneinander sind, die Integration in diesem Sinne der umgekehrte Prozess der Differenzierung ist.“[8] Nein! Das Ergebnis des inversen Prozesses der Ableitung und des Differentials kann +C sein, aber der inverse Prozess selbst kann nur eines von Ableitung und Differential sein, da Ableitung und Differential nicht die dasselbe Sache sind. Handelt es sich um den inversen Differenzierungsprozess, gibt es = =
. Dann, wenn die zweite Art der Substitutionsmethode zur Integration verwendet wird, gemäß der grundlegenden Definition von Differential gibt es = = + ,denn + , der lineare Hauptteil, also das Differential, ist , deshalb = = = Das ist offensichtlich absurd.
Wie können theoretisch chaotische Prinzipien zu korrekten Ergebnissen führen? Dies liegt daran, dass die Form von zwar richtig ist, aber hier und die entsprechende Differentialdefinition unterscheiden sich von den entsprechenden Definitionen und Prinzipien in der aktuellen Infinitesimalrechnung. Stellen Sie sich vor, dass im aktuellen Integrationsprinzip von Cauchy das unbestimmte Integral der umgekehrte Prozess zu der Ableitungsfunktion ist. Angesichts der Ableitungsgleichung ist ein solches unbestimmtes Integral machtlos. Stattdessen muss es zuerst differenziert und dann integriert werden in der Infinitesimalrechnung im Leibniz-Sinn. Das ist an sich absurd.
2·5 Strukturelle Verzerrung des aktuellen Prinzips der Infinitesimalrechnung
Das gegenwärtige Prinzip der Infinitesimalrechnung wird nicht nur im univariaten Stadium verzerrt, sondern auch während der Evolution vom univariaten zum Plural. Als vollständiges Prinzip der Infinitesimalrechnung muss es von einem Variant zu mehreren Variaten und auch von erster Ordnung zu höherer Ordnung gehen.
Obwohl Doppelintegral, Kurvenintegral und Flächenintegral ebenfalls multivariate Integrale sind, handelt es sich nicht um multivariate Integrale, sondern um spezielle Integrale. Nehmen Sie im Folgenden die ternäre Funktion als Beispiel zur Veranschaulichung:
Für , Gesamtdifferential ist , sein multivariates unbestimmtes Integral ist
. Das heißt, die multivariate Originalfunktion.
Streng genommen ist das Kurvenintegral kein multivariates unbestimmtes Integral und wenn es nichts mit dem Pfad zu tun hat, ist es eine andere Geschichte.
Integral höherer Ordnung und Mehrfachintegral sind zwei völlig unterschiedliche Konzepte. Die Integration höherer Ordnung ist der umgekehrte Vorgang zur Differenzierung höherer Ordnung (nach dem aktuellen Prinzip der Infinitesimalrechnung, Ableitungen höherer Ordnung), und das Wesen mehrerer Integrale sind mehrere einzelne Integrale. Bei einer geometrischen Teilung sollte das Mehrfachintegral der gekrümmte Volumenanteil nach dem Kurvenintegral und dem Flächenintegral sein.
Das gegenwärtige Prinzip der Infinitesimalrechnung unterscheidet nicht nur zwischen dem Allgemeinen und dem Besonderen, sondern spricht auch nur vom bestimmten Integral, selbst wenn es speziell ist (die entsprechende Gleichung ist nur ein Spezialfall), und die wissenschaftliche Infinitesimalrechnung erfordert eine multivariate primitive Funktion , und das Summationsproblem ist nur eine spezifische Anwendung des primitiven Funktionsproblems. Um die Stokes-Formel zu demonstrieren, spricht die aktuelle Infinitesimalrechnung auch von der ursprünglichen Funktion des Gesamtdifferentials, was schließlich erfreulich ist, aber hat die Primäre und sekundäre Beziehung umkehrt.
Für , wenn ihre partielle Ableitung existiert und stetig ist, dann hat ihre gemischte partielle Ableitung nichts mit der Ableitungsordnung zu tun, und ihr totales Differential ist integrierbar, nämlich:
,also = . Es hat also nichts mit der Reihenfolge der Akkumulation zu tun. Das Integral von bis hat nichts mit dem Pfad zu tun.
Für ,wenn sie das Gesamtdifferential von ist, dann gibt es bestimmt 、 、 . Und seine partielle Ableitung existiert und ist stetig, also, =
、 、 、 、 、 . Somit gibt es, 、 、 , = + +
=0 ergibt es Sinn.
Im Allgemeinen ist , was Sie zufällig erhalten, nicht unbedingt das gesamte Differential einer Funktion. Ist dies nicht der Fall, gibt es keine multivariate primitive Funktion. Der sogenannte Integralpfad ist nichts anderes als 、 、 , und sein Wesen besteht darin, die ternäre Funktion in eine univariable Funktion umzuwandeln. Daher wird das ternäre nicht-integrierbare Integral in ein univariables integrierbares bestimmtes Integral umgewandelt. Natürlich können verschiedene Beziehungen zwischen verschiedene Zahlen erzeugen. Dies ist der inhärente Grund, dassdas Integral mit dem Pfad in Beziehung steht, was sich völlig von der Ermittlung der multivariaten Originalfunktion unterscheidet.
Durch die obige einfache Analyse ist es nicht schwer zu erkennen, dass die Struktur des aktuellen Prinzips der Infinitesimalrechnung unvernünftig ist, und auch nach Eingabe des Vielfachen und der höheren Ordnung erscheint der Zusammenhang relativ chaotisch. - Abschließende Bemerkungen
Newton veröffentlichte 1687 „The Mathematical Principles of Natural Philosophy“ mit dem Ziel, mit Leibniz um den „ersten Entdecker“ der Infinitesimalrechnung zu konkurrieren [9]. Wenn Newton selbst zugab, dass sein Prinzip perfekt war, würde er die Veröffentlichung nicht bis 1687 verschieben. Im Gegenteil, Leibniz hat es gewagt, seine Erkenntnisse zu veröffentlichen, weil er Vertrauen in seine Arbeit hat, was natürlich voraussetzt, Wörter wie „relative 0“ [10] nicht als Wahnsinn zu behandeln, und Leibniz’s Prinzip im Kontext der damaligen „Reellen-Zahlen-Theorie“ zu verstehen. Wie von Gödel vorhergesagt hat, beweist das rekonstruierte neue Prinzip der Infinitesimalrechnung, dass das Denken von Leibniz vollkommen richtig ist.
Auch wenn es keine strengen und prägnanten prinzipien im Einklang mit Leibniz’ Denken erfordert, sollten die oben aufgeführten aktuellen Prinzipien mit den oben aufgeführten Fehlern von der Mathematik nicht akzeptiert werden. Denn dieses Prinzip der Infinitesimalrechnung hat der Weiterentwicklung der Infinitesimalrechnung nicht nur keinen Schub gegeben, sondern vielmehr die Weiterentwicklung der Infinitesimalrechnung beschädigt. Mit einem Wort kann man sagen, dass diese Art von Infinitesimalrechnung ihre Bedeutung verloren hat.
Literaturverzeichnis
[1] Robinson, Nicht-Standard-Analyse, Beijing, Science Press, September 1980. Piv
[2] Robinson, Nicht-Standard-Analyse, Beijing, Science Press, September 1980. P2
[3] Robinson, Nicht-Standard-Analyse, Beijing, Science Press, September 1980, P303
[4] Zhang, Zhusheng, New Lectures on Mathematical Analysis (Band 2), Beijing, Peking University Press, Oktober 1990, S. 204-205.
[5] Li, Wenlin, Einführung in die Geschichte der Mathematik, Beijing, Higher Education Press, August 2002, Zweite Auflage, P170.
[6] Li, Wenlin, Einführung in die Geschichte der Mathematik, Beijing, Higher Education Press, August 2002, Zweite Auflage, P170.
[7] Li, Wenlin, Einführung in die Geschichte der Mathematik, Beijing, Higher Education Press, August 2002, Zweite Auflage, S.169.
[8] Saks:《Théorie de ľintégral》.P122.汉译
[9] Wu, Jike, Diverse Vorträge zur Geschichte der Mechanik, Beijing, Higher Education Press, Oktober 2009, S. 36.
[10] (USA) Boyer, Die Geschichte des Konzepts der Infinitesimalrechnung, Shanghai, Fudan University Press, Juni 2007, P212.
Über den Autor: Ding, Xiaoping (1962-) männlich, hat einen Master-Abschluss in Ingenieurwissenschaften der Tsinghua-Universität 1986, einen Master-Abschluss in Naturwissenschaften der Peking-Universität 1988 und einen Master-Abschluss in Philosophie der Minzu-Universität in China. Seit 1984 ist er in der Hochschulbildung und in der wissenschaftlichen Forschung tätig.
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