Hallo,
dT/dt = [(TU-T)/G + p]/C
wobei für unsere Betrachtung C zunächst mal weggelassen werden kann.
Wenn die Temperatur konstant ist, dann gilt
[dT/dt]const = [(TU-T)/G + pconst]/C = 0
und wenn das Zimmer geheizt wird, dann gilt
[dT/dt]heiz = [(TU-T)/G + pheiz]/C > 0
Und das führt zu pheiz > pconst.
Hier ist der erste Fehler: Du berücksichtigst nicht, dass (TU-T) in der ersten Gleichung auf Grund der Abkühlung kleiner („negativer“) ist als in der zweiten. Dadurch wird der direkte Vergleich beider Gleichungen mit dem Rückschluss auf das Verhältnis von pheiz zu pconst unzulässig. Dein Schluss stimmt zwar prinzipiell, die Begründung ist aber falsch.
in Worten: bei ansonsten gleichen Bedingungen kostet Heizen
mehr Energie als die Temperatur konstant zu halten.
und genau hier machst du deinen zweiten Fehler. Du vergleichst hier Leistungswerte miteinander. Es hat niemand bezweifelt, dass das Aufheizen der Wohnung mehr Leistung erfordert als das Halten der Temperatur (*). Es geht aber um Energie. Die bekommst du, indem du deine obigen Gleichungen über der Zeit integrierst.
Für die erste Gleichung bedeutet das - da (TU-T) konstant ist - dass die Leistung mit t multipliziert werden muss.
Bei der zweiten Gleichung liegt der Fall komplizierter, da T - und damit auch (TU-T) - eine Funktion der Zeit ist.
Ein direkter Vergleich deiner beiden Gleichungen besagt lediglich, dass bei gleichen Startbedingungen (also gleichem (TU-T) und der anderen Parameter) die Temperatur im Innern steigt, wenn pheiz > pconst.
Das ist
eigentlich so simpel, dass mich Eure Fragen verwundern.
Und ich dachte, der Unterschied zwischen Energie und Leistung sei simpel zu verstehen.
Dabei wird empfohlen, die Heizung
nicht vollständig auszuschalten.
Das würde ich auch nicht empfehlen. Eine Absenkung um einige Grad ist aber sinnvoll.
Das kann unter bestimmten
Bedingungen tatsächlich sinnvoll sein - nämlich dann, wenn die
Wärmeleitfähigkeit der Wände mit sinkender Temperatur stark
ansteigt (z.B. weil Wasser auskondensiert).
Da muss es dann aber schon sehr kalt werden (gutes Lüftungsverhalten vorausgesetzt).
Der eigentliche Grund, die Heizung nie ganz auszuschalten ist
natürlich der Schutz von Möbeln und Bausubstanz vor Schäden
durch Kondenswasser (das z.B. gern zur Schimmelbildung führt)
oder gar Frost.
Nun ja, so weit muss man ja nun wirklich nicht gehen.
(*) tatsächlich braucht das Wiederaufheizen der Wohnung praktisch keine nennenswert höhere Leistung. Wie deine Gleichungen ergeben, nähert sich bei abgekühlter Wohnung und pheiz = pconst die Temperaturdifferenz assymptotisch dem ursprünglichen Wert. Was übrigens ein weiterer Beweis dafür ist, dass das Auskühlen lassen weniger Energie benötigt. Selbstverständlich hat niemand Lust, unendlich lange bis zum Erreichen der Zieltemperatur zu warten, weswegen beim Aufheizen eine höhere Leistung gewählt wird.
Gruß, Niels