Komplexe Zahlen

[lana1990]

Hallo, ich wollte fragen, ob mir jemand freundlicher Weise sagen kann, ob meine Ergebnisse richtig sind.
Also die Aufgabe lautet:

1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + yi mit x, y ∈ R dar:

2. (1-i)^3-(1+i)^3

3. 1/(1+4i)+1/(4-i)

4. (i+1)/(i-1)

5. (1/2-(((Wurzel aus 3)/2)i))^3
   Die Ergebnisse sind:

6. -4i

7. 25/289-(51/289)i

8. -i

9. -1

10. Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen z_1, z_2, z_3, z_4 als Punkte der Ebene
    z_1 =1+(√3)*i, z_2 =i+i^2 +i^3 +i^4 +i^5, z_3 =( 1+3(√7)*i)/4, z_4 =−2−(3/2)*i
    und berechnen Sie ihre Beträge.
    Die Ergebnisse sind:
    z_1 und z_4 habe ich schon gezeichnet, die anderen beiden kann ich leider nicht in das Koordinatensystem zeichnen und wie man die Beträge berechnet, habe ich nicht ganz verstanden. Wäre nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 2 der 4 zeigen könnte.

11. Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
    12[(2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)] = 17 + 6i .
    Die Ergebnisse sind:
    Ich habe das ganze aufgelöst, dabei kam raus:
    60x+12i^2+6i+36y-24iy=17
    Wie erhalte ich jetzt alle reellen Lösungen?

12. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden L_1 und L_2, falls i)L_1 ={(x,y)∈R^2 |2x+y=6}, L_2 ={(x,y)∈R^2 |7x−2y=10},
    ii)L_1 ={(x,y)∈R^2 |3x+(√3)*y=0}, L_2 ={(x,y)∈R^2 |x−(√3)*y=1}.
    Können Sie jeweils auch den Kosinus des Schnittwinkels berechnen?
    Die Ergebnisse sind:
    Also Schnittpunkte i) (2/2), ii) (0,25/-(√3)/4)
    Wie berechne ich den Kosinus eines Schnittwinkels?
    Wäre nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 1 der beiden zeigen könnte.

Liebe Grüße und danke im Voraus
Lana

[Anonym_b43a4cae6f13]

1. -4i

Stimmt.

2. 25/289-(51/289)i

Da bekomme ich 5/17 - 3/17 i raus. Warum 289? Das
wäre ja 17^2? Beide Brüche haben doch (nach erweitern
mit dem konjugiert komplexen) jeweils den Nenner 17,
kann man also direkt addieren.

3. -i

Stimmt.

4. -1

Stimmt.

z_2 kann man vereinfachen, es bleibt z_2 = i.
Bei z_3 sehe ich das Problem nicht, das ist doch einfach 1/4 + 3 Wurzel(7)/4 i ?

Die Beträge berechnet man, indem man mit dem komplex konjugierten multipliziert und dann die Wurzel zieht, also z. B.:
|z_1| = Wurzel((1+(√3)*i)(1-(√3)*i))
= Wurzel(1 + 3) = 2.

Ich habe jetzt nicht nachkontrolliert, ob dein Zwischenergebnis stimmt. Jedenfalls kann man es noch vereinfachen:
60x-12+6i+36y-24iy=17
Dann schaut man sich jetzt Real- und Imaginärteil dieser Gleichung getrennt an, also:
60x - 12 + 36y = 17 und 6 - 24y = 0.
Das sind zwei reelle lineare Gleichungen für x und y - also einfach lösbar.

Für den Schnittwinkel gibt es verschiedene Möglichkeiten. Wenn du Vektoren kennst, dann ist das einfachste die Formel cos phi = (a * b) / (|a| |b|), wobei * für das Skalarprodukt steht und a und b die Richtungsvektoren der beiden Geraden sind.

Ansonsten könnte man z. B. auch mit tan alpha = m (Steigung) die Steigungswinkel der beiden Geraden bestimmen; der Schnittwinkel ist dann die Differenz von beiden (darauf achten, dass das Ergebnis kleiner gleich 90° ist!).

[lana1990]

Hallo, 1. und 4. hab ich verstanden. vielen dank dafür,
bei der 2. verstehe ich nicht wie Sie bei z_2 auf i vereinfachen und ich weiß nicht, wie man hier den Betrag berechnen soll. Können Sie mir bitte das nochmals erklären?
Bei der 3. hab ich 60x+12i^2+6i+36y-24iy=0
Das müsste eigentlich richtig sein. Wie teile ich denn hier in Real- und Imaginärteil auf?
Liebe Grüße
Lana

[Manfred_Hanke]

Hallo Lana,

1. (1-i)^3-(1+i)^3 = -4i

Stimmt.

2. 1/(1+4i)+1/(4-i) = 25/289-(51/289)i

Da bekomme ich ein anderes Ergebnis:
\frac{1\cdot(1-4i)}{(1+4i)\cdot(1-4i)} + \frac{1\cdot(4+i)}{(4-i)\cdot(4+i)} = \frac{1-4i}{1+16} + \frac{4+i}{16+1} = \frac{5}{17} - \frac3{17}i

3. (i+1)/(i-1) = -i

Stimmt.

4. (1/2-(((Wurzel aus 3)/2)i))^3 = -1;

Stimmt.

2. Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen als Punkte der Ebene

Was verstehst Du denn nicht? z Du brauchst eigentlich bloß die Zahlen auszurechnen und als Punkte (x = Realteil, y = Imaginärteil) einzuzeichnen.
z2 = i -1 -i +1 +i = 0 + 1*i => (x|y) = (0|1)
z3 = 0.25 + ~1.98*i

und berechnen Sie ihre Beträge.

Der Betrag von z = x + iy entspricht dem Abstand des Punkts in der komplexen Zahlenebene vom Ursprung und ist nach Pythagoras die Wurzel aus (x^2 + y^2).

3. Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
   12[(2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)] = 17 + 6i .
   60x + 12i^2 + 6i + 36y - 24iy = 17

Genau. Wenn Du noch i^2 = -1 einsetzt, hast Du
(60x - 29 + 36y) + (6 - 24y)*i = 0
Wenn x und y reell sein sollen, stehen in der Gleichung schon direkt Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl, die jeweils 0 sein müssen. Also:
(I): 60x - 29 + 36y = 0
und (II): 6 - 24y = 0
Aus (II) folgt y = 1/4, was man in (I) einsetzen kann:
60x - 20 = 0 => x = 1/3

Wie berechne ich den Kosinus eines Schnittwinkels?

Z.B. mit dem Skalarprodukt, falls Du das kennst. Ich würde die Geradengleichungen so umformen, dass man jeweilige Richtungsvektoren ablesen kann:
L_1: y = 6 - 2x \Rightarrow \vec v_1 = (1; -2) (wenn x um 1 größer wird, wird y um 2 kleiner)
L_2: y = 3,5x - 5 \Rightarrow \vec v_1 = (2; 7) (wenn x um 2 größer wird, wird y um 7 größer)
Damit ergibt sich:
\cos\sphericalangle(\vec v_1, \vec v_2) = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|} = \frac{1\cdot2 - 2\cdot7}{\sqrt{1+4}\cdot\sqrt{4+49}} = \frac{-12}{\sqrt{265}}

Schöne Grüße,

Manfred

[Anonym_b43a4cae6f13]

Bei z_2: i^2 = -1 benutzen; dann hat man
z_2 = i - 1 - i + 1 + i = i.
Das konjugiert komplexe davon ist -i.
Also ist der Betrag Wurzel(i*-(-i)) = 1.

Ebenso bei 3.: i^2 = -1 benutzen, dann ist
60x+12i^2+6i+36y-24iy = 60x-12+6i+36y-24iy
Das kann man zusammenfassen zu
(60y-12+36y) + (6-24y)i.
Das vordere ist der Realteil, der hintere Faktor vor dem i ist der Imaginärteil.

[baxbert]

Hallo,

das ist ein großes Aufgabenpensum. Meiner Meinung nach sollten die Experten arbeitsteilig vorgehen. Hier meine Rückmeldung zum ersten Aufgabenblock. Die Ergebnisse zu 1, 3 und 4 sind richtig. Das Ergebnis zu 2 ist falsch. Mein Ergebnis (gerundet): 0,294 - 0,1761*i.

Gruß

Baxbert

[Planck]

Hallo,

Aufgabe 1:
ich hab folgendes ausgerechnet:
a) -6i
b) (5-3i)/17
c) -i
d) -1

Aufgabe 2:
Komplexe Zahlen lassen sich am besten in der Form z=a+bi zeichnen, wobei a der Wert auf der x-Achse ist (Realteil) und bi der teil auf der y-Achse (Imaginärteil). Also muss man die komplexen Zahlen nur in diese Form bringen. Dies ist für z1, z3 und z4 eigentlich schon der Fall. Bei z2 gilt muss man wissen, dass i^2=-1 ist. Dann folgt daraus:

i^3=-i
i^4=1
i^5=i

Damit ist z2=0+i, also eine Senkrechte, die auf der y-Achse liegt und bis 1 hoch geht (das wäre der höchste Punkt des Einheitskreises).
Der Betrag berechnet sich aus: |z|=wurzel(a^2+b^2), also |z1|= 2 und z2=1 und die anderen beiden schaffst du schon.

Aufgabe 3:
Dein Term ist soweit richtig, aber kann man noch weiter umformen in eine Form, die wir für die Lösung nutzen können.

60x+36y+(6-24y)i=29

Jetzt interpretieren wir: Gesucht die reellen Lösungen, das heißt alle Lösungen wo kein i vorkommt. Sowohl x als auch y dürfen also kein i enthalten. Die rechte Seite der Gleichung ist 29 oder 29+0i, also muss links die Lösung so sein, dass kein i mehr drin ist. Darum muss (6-24y)=0 sein, damit das i verschwindet. Das ist die einzige Möglichkeit, da wir für y nur etwas einsetzen dürfen, was kein i enthält. Daraus folgt dann, dass y=1/4 und dann

60x+9=29

und dann ist x=1/3 und damit die einzige reelle Lösung

Aufgabe 4:
Ich schlage vor die Gleichungen nach y umzustellen. Ich mach es mal für i)

(I) y=-2x+6
(II) y=3,5x-5

Nun gibt es eine nette Formel im Tafelwerk, dessen Herkunft ich nicht weiter erläutere:

tan(Psi)= |(m2-m1)/(1+m1*m2)|
(Der Betrag ist gemeint)
wobei m1 und m2 die Anstiege der Geraden (I) und (II) sind, also m1=-2 und m2=3,5. Einsetzen und ausrechnen und man erhält für i) Psi= 42,51°

Ich hoffe ich konnte dir helfen.

Liebe Grüße

[lana1990]

Vielen Dank.
Die beste Antwort von allen, hab sofort alles verstanden.
Echt nett.

[lana1990]

Habs jetzt doch geschafft, hab mich glaube ich etwas blöd angestellt.
Vielen Dank.

[lana1990]

Danke, habs raus.

[lana1990]

Vielen Dank, hat mir sehr geholfen.

[Peter_Saalfeld]

Hallo Lana,
Du hast mir ziemlich viel Arbeit aufgehängt! Also der Reihe nach:
Aufgabe 1:
1.: richtig.
2.: Statt 25: 85
3. - i/2+1/2
4.: richtig

Aufgabe 2:
z2= i; z3=1/4+3/4i*√7
Der Betrag geht nach Pythagoras: Wurzel aus Realteil^2+Imaginärteil^2
z.B. Betrag von 4+3i ist 5.

Aufgabe 3:
Es handelt sich um eine komplexe Funktion: Für jedes gegebene x berechnet sich ein zugehöriges y. Deine Teillösung ist richtig, aber 12i^2= -12,
nach y auflösen, Nenner konjugiert komplex erweitern (Nenner=12*25=300),
Zähler = 180x+120xi-99+40i, Imaginärteile weglassen, Realteil von y ist dann:
Y(real)=6x/10-33/100 (wenn ich mich nicht verrechnet habe).

Aufgabe 4:
(2/2) richtig. (0,25/-1/4*√3): richtig.
Eine Gerade hat die Steigung -2, die andere +7/2,
" " " den Steigungswinkel 116,565°, die andere 74,0546°,
sie schneiden sich also unter 42,51°, cos42,51°= 0,7371.
Die beiden anderen Geraden haben die Steigungen -3/√3 und 1/√3.
Die Steigungswinkel sind 179,95° und 30°.
Sie schneiden also unter 149,95°, cos149,95°= -0,86559

Ich denke, ich habe mir ein kleines Danke verdient.
Viele Grüße, Peter ([email protected])

[Diether_2c2c7e]

Hallo Lana,

Hallo, ich wollte fragen, ob mir jemand freundlicher Weise
sagen kann, ob meine Ergebnisse richtig sind.

Hast Du schon probiert, ob Dein Taschenrechner mit komplexen Zahlen rechnen kann? Dann kannst Du Deine Ergebnisse auch selber prüfen.

Also die Aufgabe lautet:

1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x +
   yi mit x, y ∈ R dar:
2. (1-i)^3-(1+i)^3
3. 1/(1+4i)+1/(4-i)
4. (i+1)/(i-1)
5. (1/2-(((Wurzel aus 3)/2)i))^3

Die Ergebnisse sind:

1. -4i

Richtig

2. 25/289-(51/289)i

2. = (1-4i)/( (1+4i)*(1-4i) ) + (4+i)/( (4-i)*(4+i) )
   = (1-4i)/(1-16i^2) + (4+i)/(16-i^2)
   = (1-4i)/17 + (4+i)/17
   = 5/17 - 3/17 i

3. -i

Richtig

4. -1

Richtig

2. Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen z_1, z_2, z_3,
   z_4 als Punkte der Ebene
   z_1 =1+(√3)*i, z_2 =i+i^2 +i^3 +i^4 +i^5, z_3 =( 1+3(√7)*i)/4,
   z_4 =−2−(3/2)*i
   und berechnen Sie ihre Beträge.
   Die Ergebnisse sind:
   z_1 und z_4 habe ich schon gezeichnet, die anderen beiden kann
   ich leider nicht in das Koordinatensystem zeichnen und wie man
   die Beträge berechnet, habe ich nicht ganz verstanden. Wäre
   nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 2 der 4 zeigen
   könnte.

Du musst die Werte erst einmal in die Form x + yi bringen. Dann kannst Du sie zeichnen und den Betrag mittels |x+yi| = (x^2+y^2)^0,5 berechnen.
Also: z_2 = i, damit |z_2| = 1

3. Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
   12[(2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)] = 17 + 6i .
   Die Ergebnisse sind:
   Ich habe das ganze aufgelöst, dabei kam raus:
   60x+12i^2+6i+36y-24iy=17
   Wie erhalte ich jetzt alle reellen Lösungen?

Umgeformt ist dies: 60x + y(36 - 24i) = 29 - 6i
Da x und y reel sein sollen, muss gelten
60x + 36y = 29 und -24y = -6
Nun hast Du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

4. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden L_1 und
   L_2, falls i)L_1 ={(x,y)∈R^2 |2x+y=6}, L_2 ={(x,y)∈R^2
   |7x−2y=10},
   ii)L_1 ={(x,y)∈R^2 |3x+(√3)*y=0}, L_2 ={(x,y)∈R^2
   |x−(√3)*y=1}.
   Können Sie jeweils auch den Kosinus des Schnittwinkels
   berechnen?
   Die Ergebnisse sind:
   Also Schnittpunkte i) (2/2), ii) (0,25/-(√3)/4)
   Wie berechne ich den Kosinus eines Schnittwinkels?
   Wäre nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 1 der beiden
   zeigen könnte.

Schau mal bei Wikipedia unter Schnittwinkel nach. Dort wird erklärt, wie man den Tangens ermittelt, daraus erhälst Du den Winkel und kannst den Kosinus berechnen. Oder Du nimmst den dritten Treffer bei Google (http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/schnittwin…), dann hast Du direkt den Kosinus.

Viele Grüße
Diether

[lana1990]

Vielen, vielen Dank.
Echt super Erklärung.

[Marie_Luise_Herrmann]

Hallo Lana,

Zur ersten Aufgabe:
Die Lösungen zu 1.,3. und 4. sind richtig; bei 2 kommt 5/17 - 3/17 i heraus.

Zur zweiten Aufgabe:
Z_2 lässt sich doch vereinfachen i^2 = -1, was sind dann i^3 und i^4?
Wenn du die komplexen Zahlen als Pfeile gezeichnet hast, kannst du doch erkennen, wie du die Länge des Pfeils (das ist der Betrag der komplexen Zahl) berechnen kannst; benutze den Satz von Pythagoras.

Zur dritten Aufgabe:
Deine Gleichung kannst du noch weiter vereinfachen mit i^2 = -1. Forme die Gleichung dann so um, dass du auf der einen Seite nur Glieder mit x und y hast. Dann kannst du die Imaginär- und die Realteile beider Seiten gleichsetzen und du erhältst die Lösungen y = 1/4 und x = 1/3.

Zur vierten Aufgabe:
Deine Schnittpunkte sind richtig. Den Schnittwinkel erhältst du leicht, wenn du die Geraden vektoriell betrachtest; berechne dann den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren. Du kannst aber auch die Steigung der beiden Geraden verwenden.

[joku]

Hi,

schön, dass Du selbst schon fleißig warst und hier nicht einfach nur „macht mal…!“ schreibst.

Ich habe auch mal ein Bisschen gerechnet:

1. -4i
2. -i
3. -1

Die sind richtig.

2. 1/(1+4i)+1/(4-i) läuft m. E. anders:

Erweitern mit (1-4i) bzw. (4+i)
= (1-4i)/((1+4i)(1-4i)) + (4+i)/((4-i)(4+i))
= (1-4i)/17 + (4+i)/5 | HN = 85
= 5*(1-4i)/85 + 17*(4+i)/85
= (5 - 20i + 68 +17i)/85
= (73 - 3i)/85
= 73/85 - (3/85)i

2. Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen z_1, z_2, z_3,
   z_4 als Punkte der Ebene
   z_1 =1+(√3)*i,
   z_2 =i+i^2 +i^3 +i^4 +i^5,

=i - 1 - i + 1 + i = i (Pfeil nach oben)

z_3 =( 1 + 3(√7)*i)/4,

= 1/4 + (3/4)*(√7)*i

z_4 =−2 −(3/2)*i

wie man
die Beträge berechnet, habe ich nicht ganz verstanden.

Die Komplexen zahlen kann man sich als Pfeile (Vektoren) vom Ursprung zum jeweiligen Endpunkt vorstellen.
Betrag = Wurzel( Realteil² + Imaginärteil²)
Satz des Pythagoras.

Beispiel: |z_1| = |1 + (√3)*i| = Wurzel(1² + (√3)²) = √4 = 2

12[(2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)] = 17 + 6i

12[2x + 2xi + i -1 + 3x - 2xi +3y -2yi] = 17 + 6i
12[5x +3y -2yi] + 12i -12 = 17 + 6i
60x +36y -24yi = 29 -6i
Daraus ergibt sich y=1/4 wenn man das einsetzt:
60x +9 = 29
60x = 20
x=3

Für Aufgabe 4 bin ich denn doch zu müde.
Der Winkel jeder Gerade gegenüber der Waagerechten berechnet sich mit tan(Alpha) = Steigung. Der Schnittwinkel ist die Differenz des Winkels der ersten Geraden minus der zweiten.
Davon dann den Kosinus berechnen.
Aber wozu braucht man den Kosinus so eines Winkels?

Liebe Grüße
Jochen

[lana1990]

Vielen Dank, hab die 4. auch schon geschafft

[lana1990]

Vielen Dank.

[wbs]

Hi Lana,

zu Aufgabe 1:

=> 1/(1+4i)+1/(4-i) = 5/17-(3 i)/17 (Rest passt)

zu Aufgabe 2:

Z_2 = i+i^2 +i^3 +i^4 +i^5 = i (Lage des Punktes sollte Klar sein, da nur ein Im-Anteil existiert)

Z_4 = -2-1,5i vgl. wolframalpha

Also ich lege dir deine Seite http://www.wolframalpha.com/ ans Herz. Mit der Homepage arbeite ich in meinem Studium als Maschinenbaustudi auch viel. Dort kannst du alle Rechnungen überprüfen und auch gucken wo in der komplexen Ebene der Punkt liegt. Achtung: Dezimalkomma ist durch einen Punkt zu ersetzen!

Zum Thema Beträge und Winkel bei Komplexenzahlen habe ich mir für eine Klausur eine Formelsammlung gemacht. Teil mir deine Email-Adresse mit und ich mail sie Dir. Dann sollten alle weiteren Fragen geklärt sein. Falls nicht einfach melden.

So, Zeit ins Bett zu gehen.

Ach eine abschließende Frage habe ich noch: Wozu brauchst du die Rechnung: Abi oder Studium.

Ich hoffe ich konnte Dir ein bissl behilflich sein.

Netten Gruß
Jan

[textor_wolf]

Liebe Jana,
du hast leider nicht gesagt, wie du auf 1) gekommen bist. ZB über Binominalkoeffizienten zu gehen, wäre hier Mega umständlich. Wir machen das mit der Eulerdarstellung; ( 1 - i ) ist doch ein Vektor, der auf ( - 45 ° C ) zeigt.

a := ( 1 - i ) = 2 ^ 1/2 exp ( - i Pi / 4 ) ( 1a )

a ³ = 2 ^ 3/2 exp ( - 3 i Pi / 4 ) ( 1b )

Jetzt müssen wir uns die ganzen Winkelfunktionen überlegen

cos ( 3 Pi / 4 ) = - 2 ^ -1/2 ( 1c )

sin ( 3 Pi / 4 ) = 2 ^ -1/2 ( 1d )

a ³ = - 2 ( 1 + i ) ( 1e )

b := 1 + i = a * ( 1f ) ( komplex konjugiert )

b ³ = ( a ³ ) * = 2 ( i - 1 ) ( 1g )

Dein Ergebnis ist also richtig.
Bei der 2) gibt es auch wieder einen Trick.

a := 4 - i ( 2a )

b := 1 + 4 i = i a ( 2b )

1 / a = a * / | a | ² = ( 4 + i ) / 17 ( 2c )

1 / b = 1 / i a = - i / a = ( 1 - 4 i ) / 17 ( 2d )

1 / a + 1 / b = ( 5 - 3 i ) / 17 ( 2e )

Es gibt sogar eine Probe; eine notwendige Bedingung. Der Zähler von ( 2cd ) hat je Norm sqr ( 17 ) ; in ( 2e ) ist es sqr ( 34 ) also das sqr ( 2 ) fache. Warum? Die Plutimikation mit i in ( 2d ) bedeutet, dass du um 90 ° drehst; hier muss Pytagoras gelten. Überhaupt muss dein Ergebnis schon rein deshalb falsch sein, weil du 17 ² hast - woher?

Die 3) machen wir wieder mit dem Euler.

a := i + 1 = 2 ^ 1/2 exp ( i Pi / 4 ) ( 3a )

b := i - 1 = 2 ^ 1/2 exp ( 3 i Pi / 4 ) ( 3b )

a / b = exp ( - i Pi / 2 ) = ( - i ) ( 3c )

ist richtig

Die ( 4 ) geht auch mit dem Euler, wenn du bitte bedenkst

cos ( Pi / 3 ) = 1/2 ( 4a )

sin ( Pi / 3 ) = 1/2 sqr ( 3 ) ( 4b )

a := exp ( - i Pi / 3 ) ( 4c )

a ³ = exp ( - i Pi ) = ( - 1 ) ( 4d )

Ist richtig.
So ich schick jetzt schon mal ab; die restlichen mach ich im Laufe des Tages. Versprochen.