Kreise und Tangenten

[Catrin]

Guten Morgen liebe Plattform,
ich benötige Hilfe bei einer Aufgabe zu orthogonalen Kreisen.

Zwei Kreise K_1 und K_2 in der Ebene schneiden sich in zwei Punkten S_1 und S_2 so, dass die Tangenten t_1 und t_2 an die Kreise in diesen Punkten orthogonal zueinander sind. Ich habe die Tangentengleichungen mithilfe von Stütz- und Richtungsvektoren formuliert und dann unter Verwendung der Eigenschaft, dass das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren 0 beträgt, im ersten Aufgabenteil nachgewiesen, dass der Mittelpunkt M_1 des Kreises K_1 auf der Tangente t_2 und der Mittelpunkt M_2 des Kreises K_2 auf der Tangente t_1 liegt.

Unter diesen Bedingungen soll nun ein Punkt A auf Kreis K_1 gewählt werden (er darf nicht einer der Kreisschnittpunkte sein). Die Geraden AS_1 und AS_2 schneiden dann den Kreis K_2 in den Punkten P_1 und P_2. Ich möchte nachweisen, dass die Sehne P_1P_2 einem Durchmesser des Kreises K_2 entspricht.
Zeichnerisch ist das für mich ersichtlich. Ich habe jedoch keine Idee, wie ich an dieses Problem herangehen soll, und bitte um Unterstützung.
Viele Grüße
Catrin

[Metapher]

Hi,

interessantes Problem!
Es gibt zu S₁ und S₂ je 2 Tangenten, je 2 an K₁ und an K₂. Hier mal eine Graphik vorab zur Ausgangssituation. Ich hab die Tangenten farblich markiert und beschriftet
t₁₁ und t₁₂ an K₁
t₂₁ und t₂₂ an K₂

[Catrin]

Hallo Metapher, danke, dass du dich wieder bei mir meldest, das schätze ich sehr.
Die anderen beiden Tangenten habe ich auch in meiner Zeichnung, nur nicht beschriftet:

Irgendwie müsste der Satz des Thales (Umkehrung) doch helfen können, aber ich krieg das nicht geknackt.

[Metapher]

@Catrin

Satz des Thales (Umkehrung)

Irgendwie, ja. Oder die Tatsache, daß ∠S₁ A S₂ und ∠S₁ P₁ S₂ und ∠S₁ P₂ S₂ Umfangswinkel über der Sehne [ S₁S₂ ] sind …

[Catrin]

… wir bezeichnen sie als Peripheriewinkel. Damit sind die drei Winkel gleich groß. Das habe ich nicht selbst erkannt. Wie hilft mir das beim Nachweis, dass P1P2 ein Durchmesser ist?

[Catrin]

das stimmt nicht, was ich da behauptet habe. dann wäre Dreieck AP2S1 gleichschenklig.

[Catrin]

Ich kann damit den Sekantensatz anwenden und erhalte mit dem umgekehrten Strahlensatz, dass S1S2 und P1P2 parallel sind. Aber dass M2 auf P1P2 liegt, ist damit nicht bewiesen.
Sieht jemand einen Zusammenhang, den ich nicht erkenne?
VG
Catrin

[Metapher]

@Catrin

dass S1S2 und P1P2 parallel sind

Die sind nicht parallel! Nur in einem Spezialfall, wenn A auf der Geraden [M1,M2] liegt.

[Catrin]

Dann brauche ich in die Richtung nicht weiter zu denken. Ich stecke in einer Sackgasse.

[Metapher]

In den Zeichnungen oben ist das doch zu sehen

Auf den Kreisen gibt es ja außer S1 und S2 noch 4 weitere Schnittpunkte T11, T12 und T21, T22 mit den Tangenten.
Ich hab in Geogebra den Punkt A verschiebbar gemacht: interessante Konstellationen für P1, P2 gibt es, wenn A auf diesen Punkten liegt. Sie bilden jeweils rechtwinklige Dreiecke.

Aber einen Beweis, warum [P1, P2] immer einen Durchmesser auf K2 bildet, finde ich auch partout nicht bisher.

[Catrin]

Ich auch nicht, trotz der anwendbaren Sätze für Winkel etc.
Und das ist eine Übungsaufgabe im Lehramtsstudium🙈

[Catrin]

Wenn man AM1 zum Durchmesser von K1 verlängert, kann man für zwei Winkel über dem Durchmesser Thales anwenden, dann den Nebenwinkelsatz und über die Umkehrung des Thales auf P1P2 als DM von K2 schließen.

[Metapher]

Ich hab das in GeoGebra mal verallgemeinerbar konstruiert: Der Radius r von Kreis2 ist variabel. Die Schnittpunkte der Tangenten an Kreis1 (grün) mit Kreis2 seien S1 und T1, sowie S2 und T2.

Es gilt für alle Kreise k2 (nicht nur für k1 ⊥ k2): die Strecke [P1,P2] ist für alle Positionen von A gleich lang.

[Abb. 1 - k2 nicht orthogonal zu k1. Die Tangenten an k1 gehen nicht durch M2]

Wenn nun A so gewöhlt wird, daß A mit S1 koinizidiert, dann koinzidiert P2 mit S1 und P1 mit T1

[Abb. 2 - k2 nicht orthogonal zu k1. A in der Nähe zu S1]

Aus [P1,P2] für alle Positionen von A gleich lang ⇒ die Strecke [P1,P2] und der Tangenten-Abschnitt [S1,T1] sind gleich lang.

Das gilt für alle k2, insbesondere auch solche, die orthogonal zu k1 sind. In diesem Fall gehen die Tangenten an Kreis 1 durch den Mittelpunkt M2 - und somit ist die Strecke [S1,T1] ein Durchmesser. also ist auch [P1,P2] ein Durchmesser. q.e.d.

[Abb. 3 - k1 ⊥ k2]

[Metapher]

@Catrin

Wenn man AM1 zum Durchmesser von K1 verlängert,

Yepp, das heißt nämlich, daß P1 mit S1 koinzidiert. Und wenn du den Tangentenabschnitt [S1.T1] betrachtest, der ja wegen der Orthogonalität der Kreise per. def. ein Durchmesser ist: Es koinzidiert ja auch P2 mit T1. Daraus folgt die gleiche Länge der Strecken.

Du brauchts lso gar nicht die Winkel-Argumentation. Der Schlüssel sind die Tangentenabschnitt von Kreis 1 auf Kreis 2.

Gruß
Metapher

[Catrin]

Das ist total spannend. Ich hebe mir das für unsere AG auf und werde aber den Beweis über die Winkelsätze als Lösung benutzen. Ich vermute, das wird so erwartet.
Danke vielmals und ein schönes Wochenende.
Herzlich
Catrin

[Metapher]

Daß bei Positionen von A auf den Schnittpunkten der Tangenten mit k1 (zu denen ja insbesondere auch S1 und S2 gehören) besondere Konstellationen entstehen, war mir klar (→ hier). Aber eine Argumentation mit den Winkelsätzen fand ich nicht.

Bitte poste doch mal

@Catrin

den Beweis über die Winkelsätze als Lösung

Für mich war überraschend - weil man es intuitiv nicht sieht - daß die Strecke P1P2 gleichlang mit dem Tangenten-Abschntit S1T1 (und natürlich S2T2) auf Kreis2 ist. Und daß das für alle Kreispaare gilt, nicht nur für orthogonale Kreise… Klar, man erkennt es aus speziellen Positionen von A (wie auch in deinem Beweis). Es setzt aber voraus, daß P1P2 für alle Positionen die identische Länge hat. Das erkennt man zwar, aber es müsste noch geometrisch bewiesen werden!

Hier auf der Graphik sieht man:
S1T1 und P1P2 liegen immer symmetrisch zur Mittelsenkrechten von S1P1 (und natürlich S2P2) … Und auch das für beliebige Kreispaare.

Darin dürfte vielleicht der einfachste Beweis für die Aufgabenstellung liegen. Denn wenn die Tangenten durch den Mittelpunkt gehen, ist notwendig dann auch P1P2 ein Durchmesser.

[Catrin]

Ich habe über AB Thales für die zwei Perpheriewinkel genutzt, dann den Nebenwinkelsatz bemüht und mit der Umkehrung des Thales darauf geschlossen, dass P1P2 ein Durchmesser sein muss.

[Metapher]

Das schriebst du ja bereits genau so. Mich würde die Argumentation en detail interessieren. Und vor allem die Schlussfolgerung. Z.B. ob du tatsächlch für P1P2 den Durchmesser bewiesen hast und nicht eher für den Tangentenabschnitt (S1T1), der immer gleich dem Durchmesser ist bei orthogonalen Kreisen … und der ja hier mit P1P2 lediglich koinzident liegt.

[Catrin]

Guten Morgen,
ich habe AM1 verlängert, der Schnittpunkt mit K1 ist B.
Dann ist der Winkel AS2B über AB ein rechter Winkel (Thales), der Winkel AS2P1 ebenso (NWS) und damit muss P1P2 ein Durchmesser sein. Der Haken daran ist, dass ich nicht gezeigt habe, dass B, S2 und P1 auf einer Geraden liegen. Was meinst du dazu?

Der Zusammenhang mit der Mittelsenkrechten ist interessant, nur ist mir nicht klar, wie ich aus dem, was wir damit nun wissen, einen ordentlichen geometrischen Beweis, also „rechnerisch“ formulieren könnte.

Herzlich
Catrin

[Metapher]

Hi Catrin

@Catrin

Dann ist der Winkel AS2B über AB ein rechter Winkel

Klar-

Aber

@Catrin

der Winkel AS2P1 ebenso (NWS)

Das ist doch derselbe Winkel, nicht?. Der orthogonale NW ist BS2P2, aber das sagt noch nichts über die Lage von P2 und somit auch nichts über den Durchmesser.

Wenn du von B aus die Geraden durch S1 und S2 ziehst, dann seien auf Kreis 2 die Schnittpunkt Q1 und Q2. Weil A und B auf Kreis1 diametral gegenüberliegen, sind Q1 und P2 koinzident, ebenso Q2 und P1. Das sagt aber nur, daß die Strecken [Q1Q2] und [P1P2] koinzident sind, aber noch nichts darüber, daß sie Durchmesser sind.

Übrigens ist der Winkel AS1P2 immer ein rechter, ebenso AS2P1.

Ich halte immer noch dafür, die Tangentenschnittpunkte als Argument zu nehmen:
Wenn A auf T21 (Schnittpunkt der Tangente an Kreis2 auf Kreis1) liegt, dann koinzidiert P1 mit S1 und liegt daher auf der Tangente von Kreis1, also auch auf einem Durchmesser von Kreis2 und schneidet Kries2 in T11, Ferner steht die Gerade durch S1 und S2 orthogonal auf der Geraden AS2, die die Kreis2 in P2 schneidet. Der Winkel S1S2P2 ein rechter. Somit sind P2 und T11 koinzident. Hier nochmal das Szenarium →

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Lieben Gruß
Metapher