Natürlich. Die Unternehmen suchen immer „bis gestern“. Aber wenn man genau Dich für diese Stelle haben will, dann wartet man auch. So blöd sind die Firmen ja auch nicht, dass die nicht wüssten, dass Arbeitnehmer auch Kündigungsfristen haben 
Die schreiben halt mal ihre Wünsche in die Ausschreibung rein und notfalls wird aber gewartet. Wenn ich mich richtig erinnere reden wir von einem Wald-und-Wiesen-Bürojob können die Unternehmen ihren Bedarf durchaus gut kalkulieren und haben die Möglichkeit zu warten.
Also schreib mal ein paar Bewerbungen und guck mal was rauskommt.
Davon abgesehen: wenn ein Unternehmen (remember: wir haben Fachkräftemangel!) mich nur sofort einstellt nicht jedoch nach Ablauf meiner Kündigungsfrist, dann überlege ich durchaus, ob ich dort arbeiten will. Denn wenn die meine Einstellung so kurzfristig planen, fliege ich dann bei der nächsten Flaute auch direkt wieder raus?
Und wie gesagt: es gibt immer die Möglichkeit eines Aufhebungsvertrags, denn die Erfahrung zeigt ja auch, dass so ein „Kündigungswunsch“ durchaus auf Beidseitigkeit beruht. Also wenn Du in dem Job unzufrieden bist, ist in den seltensten Fällen Dein Arbeitgeber hellauf begeistert von Dir und Deiner Arbeit.
Ob sich das mit der von @Pierre geschilderten Klage so schlau ist weiß ich in der Tat nicht. Ich bin sicher, dass er recht hat, dass Du erfolgreich dagegen klagen könntest. Aber: das kostet Zeit, Geld und Nerven. Und ich weiß nicht ob’s bei einem neuen Arbeitgeber so gut ankäme, wenn Du sagtest „Ja, ich verklage mal eben meinen alten Arbeitgeber, damit ich ein paar Wochen vorher bei Euch anfangen kann. Haltet mir solange mal den Vertrag offen, ich weiß ja noch nicht zu welchem Termin ich dann wirklich gehen darf.“ Die Situation von Pierre ist da ne etwas andere, da geht’s um ne Vertragsveränderung in einem bestehenden Arbeitsverhältnis, da kann man sowas bei Bedarf in aller Ruhe ausfechten.
