Lineare Algebra

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo, ich wollte fragen, ob mir jemand freundlicher Weise sagen kann, ob meine Ergebnisse richtig sind.
Also die Aufgabe lautet:

  1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + yi mit x, y ∈ R dar:

  2. (1-i)^3-(1+i)^3

  3. 1/(1+4i)+1/(4-i)

  4. (i+1)/(i-1)

  5. (1/2-(((Wurzel aus 3)/2)i))^3
    Die Ergebnisse sind:

  6. -4i

  7. 25/289-(51/289)i

  8. -i

  9. -1

  10. Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen z_1, z_2, z_3, z_4 als Punkte der Ebene
    z_1 =1+(√3)*i, z_2 =i+i^2 +i^3 +i^4 +i^5, z_3 =( 1+3(√7)*i)/4, z_4 =−2−(3/2)*i
    und berechnen Sie ihre Beträge.
    Die Ergebnisse sind:
    z_1 und z_4 habe ich schon gezeichnet, die anderen beiden kann ich leider nicht in das Koordinatensystem zeichnen und wie man die Beträge berechnet, habe ich nicht ganz verstanden. Wäre nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 2 der 4 zeigen könnte.

  11. Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
    12[(2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)] = 17 + 6i .
    Die Ergebnisse sind:
    Ich habe das ganze aufgelöst, dabei kam raus:
    60x+12i^2+6i+36y-24iy=17
    Wie erhalte ich jetzt alle reellen Lösungen?

  12. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden L_1 und L_2, falls i)L_1 ={(x,y)∈R^2 |2x+y=6}, L_2 ={(x,y)∈R^2 |7x−2y=10},
    ii)L_1 ={(x,y)∈R^2 |3x+(√3)*y=0}, L_2 ={(x,y)∈R^2 |x−(√3)*y=1}.
    Können Sie jeweils auch den Kosinus des Schnittwinkels berechnen?
    Die Ergebnisse sind:
    Also Schnittpunkte i) (2/2), ii) (0,25/-(√3)/4)
    Wie berechne ich den Kosinus eines Schnittwinkels?
    Wäre nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 1 der beiden zeigen könnte.

Liebe Grüße und danke im Voraus
Lana

#2

Hallo Lana,
ich habe leider nicht viel Zeit daher nur ein paar Anmerkungen.

    1. und 4) sind richtig. Du hast das Rechnen mit komplexen Zahlen verstanden.

  2. Der Betrag einer Zahl ist der Abstand des Punktes in der Gauß-Ebene vom Ursprung. Dieser Abstand berechnet sich leicht mit dem Pythagoras:
    Betrag = Wurzel aus (Realteil ins Quadrat + Imaginärteil ins Quadrat)
    In Deinem ersten Beispiel:
    Betrag(1+(√3)*i) = Wurzel(1+3)= Wurzel(4)= 2
    allgemein: Betrag(x+y*i) = wurzel (x^2+y^2)
    VGl. auch im WIKI: http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Betrag Punkt 5.1

#3

Hallo, ich wollte fragen, ob mir jemand freundlicher Weise
sagen kann, ob meine Ergebnisse richtig sind.
Also die Aufgabe lautet:

  1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x +
    yi mit x, y ∈ R dar:
  2. (1-i)^3-(1+i)^3
  3. 1/(1+4i)+1/(4-i)
  4. (i+1)/(i-1)
  5. (1/2-(((Wurzel aus 3)/2)i))^3
    Die Ergebnisse sind:
  6. -4i
  7. 25/289-(51/289)i
  8. -i
  9. -1

Du kannst die Rechnungen leicht selbst überprüfen:
http://web2.0calc.com/

  1. Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen z_1, z_2, z_3,
    z_4 als Punkte der Ebene
    z_1 =1+(√3)*i, z_2 =i+i^2 +i^3 +i^4 +i^5, z_3 =( 1+3(√7)*i)/4,
    z_4 =−2−(3/2)*i
    und berechnen Sie ihre Beträge.
    Die Ergebnisse sind:
    z_1 und z_4 habe ich schon gezeichnet, die anderen beiden kann
    ich leider nicht in das Koordinatensystem zeichnen

Du musst z_2 und z_3 natürlich erst in die Form x+iy bringen, sprich: „ausrechnen“.

und wie man
die Beträge berechnet, habe ich nicht ganz verstanden. Wäre
nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 2 der 4 zeigen
könnte.

Betrag einer komplexen Zahl entspricht der Entfernung des Punkt in der Ebene vom Koordinatenursprung. Kannst du mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen.

  1. Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
    12[(2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)] = 17 + 6i .
    Die Ergebnisse sind:
    Ich habe das ganze aufgelöst, dabei kam raus:
    60x+12i^2+6i+36y-24iy=17
    Wie erhalte ich jetzt alle reellen Lösungen?

Zuerst einmal würde ich die Gleichung so normieren, dass du die Form ax+by=c hast, wobei a, b und c komplexe Zahlen sind und x und y reelle Variablen. Das sieht dann stark nach einem verklausulierten linearen Gleichungssystem mit 2 Gleichungen (Real- und Imaginärteil) und 2 Unbekannten (x und y) aus. Stichwort zum Weiterrecherchieren: „Koeffizientenvergleich“.

  1. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden L_1 und
    L_2, falls i)L_1 ={(x,y)∈R^2 |2x+y=6}, L_2 ={(x,y)∈R^2
    |7x−2y=10},
    ii)L_1 ={(x,y)∈R^2 |3x+(√3)*y=0}, L_2 ={(x,y)∈R^2
    |x−(√3)*y=1}.
    Können Sie jeweils auch den Kosinus des Schnittwinkels
    berechnen?
    Die Ergebnisse sind:
    Also Schnittpunkte i) (2/2), ii) (0,25/-(√3)/4)
    Wie berechne ich den Kosinus eines Schnittwinkels?

Mit = |u|*|v|*cos(u,v), wobei das Skalarprodukt von u und v ist.

#4

Also:
Bei Aufgabe 2 die Zahlen in in 1) umformen (also x+iy) und dann ins Koordinatensystem einzeichnen.
Bei Aufgabe 3 y so wählen, dass kein Term mit einem i mehr vorkommt. Dann den Rest nach x auflösen.

Grüße
Dietmar.

#5

Vielen Dank. Die Internetseite hat mir echt geholfen.

#6

Vielen Dank. Die Internetseite hat mir echt geholfen.

Den Fachbegriff um den es geht zu ggogeln ist oft eine sehr gute Idee. Oder Du schaust direkt bei Wikipedia nach. Die gängigen mathematischen Fachbegriffe und Methoden sind dort (meistens) sehr gut und richtig beschrieben.
Eine anderer Tip, wenn Du Hilfe suchst ist dieses Portal: http://www.onlinemathe.de/

Viel Spass weiterhin mit der mathematik

#7

zu 2.: warum kannst du die denn nicht in das koordinatensystem einzeichnen? einfach realteil und imaginaerteil berechnen wie bei 1. der betrag ist dann wurzel aus x^2+y^2.

zu 3.: zwei komplexe zahlen sind genau dann gleich, wenn imaginaer- und realteil gleich sind. deine gleichung liefert dir also y, denn dass musst du so waehlen, dass alles mit i verschwindet. dann steht auch x fest.

zu 4.: da 1.-3. sich mit komplexen zahlen beschaeftigen, koennte man auf die idee kommen, die richtungsvektoren der geraden als komplexe zahlen aufzufassen, diese koennte man dann durcheinander dividieren und das ergebnis normieren, dann ist der gesuchte kosinus der imaginaerteil.

#8
  1. Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form x + yi mit x, y ∈ R dar:
  2. (1-i)^3-(1+i)^3
  3. 1/(1+4i)+1/(4-i)
  4. (i+1)/(i-1)
  5. (1/2-(((Wurzel aus 3)/2)i))^3

Die Ergebnisse sind:

  1. -4i (OK)

  2. 25/289-(51/289)i (Ich kriege als Realteil 95/289 raus.)

  3. -i (OK)

  4. -1 (OK)

  5. Zeichnen Sie die folgenden komplexen Zahlen z_1, z_2, z_3, z_4 als Punkte der Ebene
    z_1 =1+(√3)*i, z_2 =i+i^2 +i^3 +i^4 +i^5, z_3 =( 1+3(√7)*i)/4, z_4 =−2−(3/2)*i
    und berechnen Sie ihre Beträge.
    Die Ergebnisse sind:
    z_1 und z_4 habe ich schon gezeichnet, die anderen beiden kann ich leider nicht in
    das Koordinatensystem zeichnen und wie man die Beträge berechnet, habe ich nicht
    ganz verstanden. Wäre nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 2 der 4 zeigen
    könnte.

Der Betrag einer komplexen Zahl x+yi ist Wurzel aus (x^2+y^2).
Der Betrag von z_4 ist also Wurzel aus (4+9/4). Das ergibt 5/2.

Wenn man sich eine komplexe Zahl als Punkt in der Ebene vorstellt,
ist der Betrag gerade die Länge der Strecke vom Nullpunkt bis zur Zahl.

Um die Beträge der anderen Zahlen zu berechnen, müssen Sie diese
zunächst wie in Aufgabe 1 in die Form x+yi bringen.

  1. Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung
    12[(2x + i)(1 + i) + (x + y)(3 − 2i)] = 17 + 6i .
    Die Ergebnisse sind:
    Ich habe das ganze aufgelöst, dabei kam raus:
    60x+12i^2+6i+36y-24iy=17
    Wie erhalte ich jetzt alle reellen Lösungen?

Sie haben schon fast gelöst: Weil x und y reell sein sollen, ergibt
sich aus der letzten Gleichung durch Sortieren nach Real- und Imaginärteil:

60x+36y = 17+12 = 29
-24iy = -6i

Das kriegen Sie jetzt bestimmt hin.

  1. Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden L_1 und L_2, falls
    i)L_1={(x,y)∈R^2 |2x+y=6},
    L_2 ={(x,y)∈R^2 |7x−2y=10},

ii)L_1 ={(x,y)∈R^2 |3x+(√3)*y=0}, L_2 ={(x,y)∈R^2 |x−(√3)*y=1}.
Können Sie jeweils auch den Kosinus des Schnittwinkels berechnen?

Die Ergebnisse sind:
Also Schnittpunkte i) (2/2), (OK)
ii) (0,25/-(√3)/4) (OK)

Wie berechne ich den Kosinus eines Schnittwinkels?
Wäre nett, wenn mir das jemand mal an einer oder 1 der beiden zeigen könnte.

Dafür gibt es eine Formel: Nehmen Sie den Schnittpunkt (s,t) sowie einen weiteren
Punkt (a,b) auf der Geraden L_1 und einen weiteren Punkt (c,d) auf der Geraden
L_2. Dann gilt:

cos(Schnittwinkel) = [(a-s)(c-s)+(b-t)(d-t)] / (b_1*b_2)

wobei

b_1 = Wurzel aus ((a-s)^2+(b-t)^2)
b_2 = Wurzel aus ((c-s)^2+(d-t)^2)

ist.

Tengri

#9

Hi Lana,
also ich fange einmal mit deiner Aufgabe 1 an. Deine Ergebnisse der Unteraufgaben 1.1, 1.3 und 1.4 sind richtig. Bei 1.2 hast du dich bisserl verrechnet. Mein Ergebnis lautet: 5/17-(3/17)i. Dein Imaginärteil stimmt, du solltest ihn allerdings noch durch 17 kürzen. Der Realteil würde stimmen, wenn sein Zähler 85 statt 25 lauten würde. Vllt auch nur ein Abschreibfehler. Ich erkläre, wie man recht schnell zum Ergebnis kommt: Die beiden Brüche aus der Angabe werden jeweils mit ihrem konjugiert komplexen Nenner erweitert. Dadurch werden beide Nenner real und erhalten beide den Wert 17. In den Zählern der beiden Brüche stehen dann die jeweils konjugiert komplexen Nennerterme 1-4i und 4+i. Da beide Nenner gleich sind, dürfen die Zähler direkt addiert werden und liefern 5-3i. Im Nenner steht - wie gesagt - 17.

Sobald ich Zeit habe - vermutlich aber erst morgen abends - kümmere ich mich um deine weiteren Beispiele.

Liebe Grüße
Andreas

#10

Hi Lana,

ich schreib dir jetzt etwas zu deinem Beispiel 2.
Es geht da drin um das Einzeichnen komplexer Zahlen in die Gausssche Zahlenebene. Auf der horizontalen Achse trägt man den Realteil x, auf der senkrechten Achse den Imaginärteil y einer komplexen Zahl z = x + iy auf. So, als wären es die Koordinaten des Punktes (x/y) in einem kartesischen Koordinatensystem.

Wenn du jetzt so eine Zahl mit ihren beiden Komponenten (Real- und Imaginärteil) zeichnest, ergibt sich ein rechtwinkeliges Dreieck. Seine beiden Katheten (sie bilden den rechten Winkel dieses Dreiecks) sind der Real- und Imaginärteil. Die gerade Verbindungslinie zwischen dem eingezeichneten Punkt (mit den Koordinaten x/y) und dem Ursprung der Gaussschen Ebene (0/0) ist dann der Graph der komplexen Zahl z. Sie ist gleichzeitig die Hypotenuse unseres rechtw. Dreiecks. Und in diesem Dreieck gilt der Pythagoreische Lehrsatz. Die Länge der Hypotenuse ist der Betrag der komplexen Zahl z. Man schreibt dafür |z|. Es gilt also |z|² = x² + y² bzw. |z| = √(x² + y²).

Nun zu deinem Beispiel - du brauchst nur den Pyth. LS anwenden:
|z_1| = √(1+√3²) = √(1+3) = √4 = 2
z_2 = i + i^2 + i^3 + i^4 + i^5 = i - 1 - i + 1 + i = i
Daher ist |z_2| = 1
|z_3| = 1/4 * √(1+9*7) = 1/4 * √64 = 8/4 = 2
|z_4| = √(4 + 9/4) = √((16+9/4)) = 5/2

Und nun kommt das Einzeichnen. Ich nehme jetzt die beiden Zahlen z_1 und z_3 her. Beide haben denselben Betrag 2. Dh sie müssen vom Ursprung die Distanz 2 haben. Wenn du um den Ursprung einen Kreis mit Radius 2 zeichnest, liegen beiden Zahlen irgendwo auf diesem Kreis. z_1 hat den Re = 1 - du zeichnest also dort eine senkrechte Gerade bis sie den Kreis im 1. Quadranten (beachte, dass der Im-Teil positiv ist) schneidet - fertig: Der Schnittpunkt ist nun die Zahl z_1.

Ganz ähnlich gehst du für z_3 vor: Wir lösen die Klammer in der Angabe von z_3 auf:

z_3 = 1/4 + i(3/4*√7)

Was der Im-Teil macht, ist uns egal. Es interessiert uns für die Konstruktion nur der Re-Teil. Der ist 1/4. Wir tragen also auf der Re-Achse nach rechts den Wert 1/4 ab, ziehen eine Senkrechte durch, bis sie den Kreis (zweimal) schneidet. Da der Im-Teil positiv ist (das sieht man, ohne den tatsächlichen Wert ausrechnen zu müssen), muss z_3 im 1. Quadranten der Gaussschen Ebene liegen (der untere Schnittpunkt interessiert uns hier nicht). Dort wo Gerade und Kreis sich schneiden, ist z_3.

Die Zeichnung von z_2 ist - nach der Rechnung - einfach, und z_4 wohl auch.

Für Rückfragen schreib mir einfach.

LG Andreas

#11

Hi Lana,

nun komm ich zum Beispiel 3, wo du schon recht gute Vorarbeit geleistet hast. Deine bisherige Rechnung war richtig, aber noch nicht vollständig. Bedenke, dass i² ja reell ist, nämlich -1, also kannst die Gleichung noch umformen:

60x-12+6i+36y-24iy=17
60x+36y-24iy=29-6i

Es liegt uns hier eine komplexe Gleichung mit 2 Variablen x und y vor. Das gibt unendlich viele Lösungen. Jetzt wurde aber gefordert, dass die gesuchten Lösungen dieser Gleichung ausschließlich reell sein dürfen. Also x und y dürfen keine Imaginärteile haben. Das sollte den Spielraum wesentlich einengen!

Wir suchen in der o.a. Gleichung nun alle Realteile und alle Imaginärteile zusammen und betrachten sie getrennt von einander. Das darf man nämlich.

Wir überlegen:
x ist reell, dann ist auch 60x reell. y ist reell, dann ist auch 36y reell. Also bilden 60x + 36y schon einmal einen Realteil. Hingegen muss aber 24yi rein imaginär sein, wegen dem i! Und auf der rechten Seite der Gleichung ist ja klar, was real und was imaginär ist. Jetzt sammeln wir alles getrennt voneinander zusammen. Wir bilden zuerst den Realteil der o.a. komplexen Gleichung:

(1) 60x + 36y = 29

Und jetzt holen wir uns ihren Imaginärteil:

(2) 24y = 6

Jetzt haben wir 2 Gleichungen (1) und (2) mit den 2 Variablen x und y gebildet. Dieses Gleichungssystem lösen wir und erhalten y = 1/4 und x = 1/3.

Soweit alles klar?

lg Andreas

#12

Hallo Lana,

und jetzt komme ich zum 4. und letzten deiner Beispiele.

Du hast ja schon wieder Vorarbeit geleistet - die Schnittpunkte stimmen!

Wenn im Zusammenhang mit Geraden nach dem Cosinus eines Winkels gefragt ist, dann solltest du dabei sofort an die Vektorrechnung denken. Stell dir vor, du hättest zwei Vektoren und möchtest wissen, welchen Winkel sie miteinander einschließen. (Um den Zusammenhang mit dem Beispiel zu verstehen, solltest du dir vorstellen, dass beide Vektoren die Richtungsvektoren der jeweils zwei gegebenen Geraden sein dürfen …)

Die Vektoren v_1 und v_2

v_1 = (a, b)
v_2 = (c, d)

schließen mit einander den Winkel Phi ein. Und für diesen Winkel Phi gilt:

cos(Phi) = (a, b)*(c, d) / (|v_1|*|v_2|)

Zu dieser Formel muss man noch etwas dazusagen:

Das Produkt (a, b)*(c, d) im Zähler dieses Bruches ist das sogenannte Skalarprodukt beider Vektoren. Das Skalarprodukt ist im Ergebnis kein Vektor, sondern eine reelle Zahl (ein Skalar, wie man in der VR sagt), und man berechnet sie so:

(a, b)*(c, d) = a*c + b*d

Im Nenner stehen |v_1| und |v_2|. Dabei handelt es sich um die Beträge der Vektoren, dh ihrer Längen. Und diese Längen berechnet man genauso wie die Beträge von komplexen Zahlen.

So, damit ist schon die meiste Vorarbeit geleistet. Jetzt musst du nur noch wissen, wie man zu einer beliebigen Geradengleichungen einen passenden Richtungsvektor findet.

Ganz allgemein gilt: Wenn du eine Geradengleichung in der Form

ax + by = c

gegeben hast (und in deinem Beispiel liegen alle Geraden in dieser Art vor), dann ist (-a, b) EIN gültiger Richtungsvektor. Tatsächlich kann man zu einer Geraden unendlich viele Richtungsvektoren (die alle zu einander linear abhängig sind, also nur Vielfaches von einander sind) bilden. Rechnen kannst du aber immer mit IRGEND EINEM gültigen Richtungsvektor (RV) - Hauptsache, du findest überhaupt einen!

Gehen wir zum Beispiel 4.i:

An Hand der letzten Überlegung erkennen wir

Die Gerade L_1 mit der Gleichung 2x + y = 6 hat den RV (-2, 1)
Die Gerade L_2 mit der Gleichung 7x - 2y = 10 hat den RV (-7, -2)

das setzt du in die o.a. Formel ein:

cos (Phi) = (-2, 1) * (-7, -2) / (√(4+1)*√(49+4)) = (14-2)/(√5√53) = 12/√265 = 0,74

Beispiel 4.ii:

L_1 … 3x + (√3)*y = 0 => RV = (-3, √3)
L_2 … x − (√3)*y = 1 => RV = (-1, -√3)

cos (Phi) = (-3, √3) * (-1, -√3) / (√(9+3)*√(1+3)) = (+3-3)/(√12√4) = 0

cos Phi = 0 bedeutet, dass Phi 90° ist, die Geraden stehen also senkrecht aufeinander!

So, das wärs mit den vier Beispielen. Ich hoffe, es war nicht zu langatmig und dennoch verständlich. Solltest du noch irgendwelche Fragen haben, dann schreib mir halt.

Liebe Grüße
Andreas

#13

Hallo Lana,

leider kann ich auf Grund von zeitlichen Problemen nicht richtig gut helfen, aber ein Vorschlag wäre
wolframalpha
Das ist eine gute Selbsthilfe. Bei Eingabe einer komplexen Zahl wird eine Zeichnung gemacht und der Wert ausgerechnet, alles was Du brauchst :wink:

Somit kannst Du Dein Ergebnis von 1/(1+4i)+1/(4-i) noch einmal überprüfen.

Es tut mir sehr leid.

Gruß
bo_bec

#14

hallo,
nachdem ich die aufgaben grad mal so in eine 5-minutenpause reinquetsche, kann ich leider nicht alle beantworten.

grundsätzlich: wenn i² dann gleich als -1 hinschreiben und nicht ewig mitschleppen … verhindert fehler :wink:

1: alle richtig ausser der 2. 85/289 -51/289 i

2: schaut gut aus. für alle reellen lösungen hätte ich gesagt, muss der imaginäre anteil verschwinden.
im klartext: der imaginäre anteil ist ja 6i-24iy und der muss 0 werden => 6i-24i y = 0 und den dann lösen :smile:

3: keine zeit

4: schnittpunkte stimmen. winkel geht mit cos(alpha) = |x-vektor * y-vektor|/|x-vektor|*|y-vektor|
und als vektoren nimmst einfach z.B. vom punkt bei x = 0 (beim ersten): (0,6) nach (2,2) und (0,-5) nach (2,2)

rauskommen sollte dann ca. 137,5°

cheers

#15

nachtrag zu 3,

stell dir die vektoren bzw. einfach als rechtwinklige dreiecke vor. die beiden katheten sind dabei der reelle und der imaginäre teil. der betrag ist dann einfach die länge der hypotenuse. für die aufgabe heißt die umgangsprachlich: wie weit sind die punkte vom 0-punkt entfernt.

und bei z_2 ist mein tip: vereinfache es, so weit es geht.

zB. 3+4i als punkt liegt im koordinatensystem auf (1/1) und der betrag wäre die entfernung zum 0-punkt und berechnet sich in dem fall: wurzel(3^2 + 4^2) = 5
(wichtig, immer nur die absolutwerte nehmen und i entspricht hierbei einer länge von 1)

hoff, es hat dir geholfen
cheers

#16

Danke, Sie haben mir sehr weitergeholfen.

#17

Dankeschön.

#18

Zu 1: leider falsch
zu 2 und 3: die Aufgaben sehen mir nach typischen Übungsaufgaben von einer Universität aus. Dort gibt es normalerweise Übungs-Veranstaltungen, in denen man fragen kann, wenn man etwas nicht verstanden hat. Warum fragst du nicht dort? Nachdem ich längere Zeit von jemanden belästigt worden bin, der wollte, dass ich seine ganzen Hausaufgaben für ihn mache, beantworte ich solche Fragen nur noch, wenn ich eine gute Erklärung bekomme, warum das nicht die zuständigen Personen erklären. Dies ist nicht persönlich gemeint, aber ich bin mit meinem Job ziemlich eingespannt.

#19

Die Übung hat bei mir noch nicht stattgefunden.
Aber das hat sich eh erledigt. Trotzdem vielen Dank.

#20

Vielen Dank :smile: