Luftdruck im Schacht

Wissenschaft Physik
#1

Hi zusammen,

seit einiger Zeit treibt mich folgende Frage um: angenommen, es gäbe einen auf beiden Seiten offenen Schacht durch den Erdball mit dem Erdmittelpunkt auf seiner Mittellinie. Welcher Luftdruck würde dann am Ort des Erdmittelpunktes (r = 0) herrschen?

Die thermische Komponente aufgrund der Hitze dort unten braucht meinetwegen nicht berücksichtig zu werden; und falls doch, dann vielleicht als Sonderfall.

Vielmehr interessiert mich, bis zu welchem Maximalwert der Normaldruck auf Meereshöhe (r = R) mit zunehmender Tiefe anwächst, da gleichzeitig die Schwerkraft ja abnimmt. Bei welchem r z.B. wird der lineare Druckanstieg, wie er etwa in Bergwerken zu messen ist, messbar abflachen? Oder ist dies schon bei r = R der Fall?

Vielen Dank im voraus,

Cugel

Luftdruckzunahme unter der Erdoberfläche
#2

Hallo!

Wenn wir uns ein Volumenelement im Schacht anschauen, dann ergibt sich der Druck auf die untere Begrenzungsfläche durch den Druck auf die obere Fläche plus das Gewicht des eingeschlossenen Gases. Da das Gewicht des eingeschlossenen Gases an keiner Stelle Null ist, sondern nur linear bis zum Erdmittelpunkt abnimmt, wird auch dort das Maximum des Luftdrucks erreicht.

(Bei wikipedia kann man die Herleitung der barometrischen Höhenformel der isothermen Atmosphäre nachlesen). Irgendwo stößt man dort auf die Formel:

∫dp/p = - ∫ Mg/RT dh

Ab hier geht’s dann anders weiter, weil g Höhenabhängig wird:

∫dp/p = - M/RT ∫ g(h) dh

ln p® - ln p(0) = - M/RT 1/2 g® r

p®/p0 = exp (- Mrg/2RT)

p0 = p® exp (Mrg/2RT)

Mit folgenden Größen

Normaldruck: p® = 101300 Pa
molare Masse: M = 29 g/mol
Erdradius: r = 6370 km
allgemeine Gaskonstante: R = 8,314 J/molK
Temperatur: T = 298 K

erhalten wir: p(0) = 1,5 * 10^20 Pa = 1,5 * 10^15 bar.

Das scheint auf den ersten Blick unglaublich viel. Wäre das Schwerefeld jedoch homogen, so würde sich nach einer Faustformel alle 5500m der Druck verdoppeln. Dann käme man auf unvorstellbaren Druck von

p(0) = p® * 2^(r/5500m) = ca 10^348 bar.

(Das alles natürlich nur unter den völlig unsinnigen Annahmen, dass sich Luft unter diesen Bedingungen noch wie ein ideales Gas verhält, und dass die Atmosphäre isotherm geschichtet ist, also dass überall die gleiche Temperatur herrscht).

Michael

#3

Hallo,

Ab hier geht’s dann anders weiter, weil g Höhenabhängig wird:

∫dp/p = - M/RT ∫ g(h) dh

was hast Du denn jetzt für g(h) angesetzt? Und von wo nach wo geht das Integral?

Olaf

#4

2 bar absolut
Die Antwort ist mehr ein Schnellschuss:

Die Schwerkraft nimmt zu je naeher man von „oben“ zur Erdoberflaeche kommt und nimmt ab je weiter man von der Erdoberflaeche Richting Erdmitte gelangt. Ich denke mal der Luftdruck ist proportional der Summe der einzelnen Kraftvektoren der Gravitation (nur denen von „oben“ nach „unten“). Diese Vektoren verhalten sich wie oben beschrieben.

Und falls die Aufsummierung dieser beim Erdmittelpunkt 2mal der auf der Oberflaeche waere, so muesste auch der Druck doppelt so hoch sein. Schwer zu erklaeren ohne Skizze :wink:

Wie gesagt ein Schnellschuss. Vielleicht weiss es ja jemand besser.

#5

Da war doch jemand schneller…
Blase hiermit zum Rueckzug…

#6

Hallo!

∫dp/p = - M/RT ∫ g(h) dh

was hast Du denn jetzt für g(h) angesetzt? Und von wo nach wo
geht das Integral?

Die Integrationsgrenzen links gehen von p0 (dem gesuchten Druck im Erdmittelpunkt) bis zu p® (dem Druck an der Erdoberfläche).

Rechts sind es h1 = 0 und h2 = r (r = Erdradius)

g(h) ~ h

Im Prinzip reicht das schon. Wenn Du es explizit haben möchtest:

g(h) = g® * h/r

Darüber das Integral ist

g® [1/2 r²/r - 1/2 0²/r] = g® * r

Michael

#7

Korrektur Rechenfehler:
Hallo!

p0 = p® exp (Mrg/2RT)

Mit folgenden Größen

Normaldruck: p® = 101300 Pa
molare Masse: M = 29 g/mol
Erdradius: r = 6370 km
allgemeine Gaskonstante: R = 8,314 J/molK
Temperatur: T = 298 K

erhalten wir: p(0) = 1,5 * 10^20 Pa = 1,5 * 10^15 bar.

Ich habe das noch einmal überprüft und komme nun auf

p(0) = 6,86 * 10^163 Pa

Dieser Zahlenwert erscheint mir so unbegreiflich hoch, dass ich Euch Experten dringend bitten möchte, mal meine Herleitung durchzusehen. Kann das wirklich sein?

Michael

#8

Guten Abend,

p(0) = 6,86 * 10^163 Pa

Dieser Zahlenwert erscheint mir so unbegreiflich hoch, dass
ich Euch Experten dringend bitten möchte, mal meine Herleitung
durchzusehen. Kann das wirklich sein?

also gerechnet ist es wohl richtig, aber ich glaube, dass der Ansatz so nicht geht.
Stellen wir uns vor, wir sind mitten im Schacht, so vielleicht auf halbem Weg zum Erdmittelpunkt. Dann drücken 2 Stück Luftsäulen, nämlich die von unserem aktuellen Ort bis zur Oberfläche und dann noch die von der Oberfläche bis „zum Himmel“. Aber diese zweite, die drückt auch nicht mit dem vollen g, sondern auch nur mit dem halben. Also ich würde sagen, die gesamte Luftsäule über mir drückt nur mit dem aktuellen g auf mich. Fazit: Am Erdmittelpunkt ist der Luftdruck = 0. Was soll denn da auch drücken? Es gibt keine Schwerkraft im Mittelpunkt.

Also Null scheint mir realistischer als 10^163 Pa.

Für ne Herleitung bin ich jetzt zu müde, aber ich denke mal, der Luftdruck hat in einer gewissen Tiefe (einige km) ein Maximum und fällt dann auf Null ab. Oder?

Gute Nacht.
Olaf

#9

Mal ganz primitiv gedacht
Hallo,

  1. Wenn der Schacht nur bis zum Erdmittelpunkt geht und nicht weiter, dann herrscht da ein bestimmter Druck. Naheliegenderweise (?) ändert sich nichts daran, wenn man von der gegenüberliegenden Seite auch einen Schacht bohrt.

Nehmen wir an, dass die 1 Bar Druck an der Erdoberfläche von einer 5 km hohen Luftsäule konstanter Dichte kommen.
Nehmen wir weiterhin eine punktförmige Erde an. Die gesamte Masse sei im Erdmittelpunkt vereinigt.
Radius~6400 km, 6400/5 --> ~1300 Bar.

Trotz der überaus lausigen „Herleitung“ scheint mir das der bislang glaubhafteste Wert zu sein.

Gruss,
TR

#10

aber ich denke mal,
der Luftdruck hat in einer gewissen Tiefe (einige km) ein
Maximum und fällt dann auf Null ab. Oder?

Hallo Olaf,
auch wenn die Gravitation zur Mitte abnimmt, verschwindet doch der Druck der darüber liegenden Säule nicht.
Grüße
Ulf

1 Like
#11

Hallo,
deine Schlußfolgerungen sind natürlich komplett falsch.

Bloß weil die resultierende Gravitationkraft zum Erdmittelpunkt
hin gegen Null geht, wird natürlich der Druck nicht plötzlich Null,
sondern geht auf Maximum. Der Druck nimmt natürlich genau solange
zu, bis eben die Graviationskraft null bis.

Gruß Uwi

also gerechnet ist es wohl richtig, aber ich glaube, dass der
Ansatz so nicht geht.
Stellen wir uns vor, wir sind mitten im Schacht, so vielleicht
auf halbem Weg zum Erdmittelpunkt. Dann drücken 2 Stück
Luftsäulen, nämlich die von unserem aktuellen Ort bis zur
Oberfläche und dann noch die von der Oberfläche bis „zum
Himmel“. Aber diese zweite, die drückt auch nicht mit dem
vollen g, sondern auch nur mit dem halben. Also ich würde
sagen, die gesamte Luftsäule über mir drückt nur mit dem
aktuellen g auf mich. Fazit: Am Erdmittelpunkt ist der
Luftdruck = 0. Was soll denn da auch drücken? Es gibt keine
Schwerkraft im Mittelpunkt.
Also Null scheint mir realistischer als 10^163 Pa.
Für ne Herleitung bin ich jetzt zu müde, aber ich denke mal,
der Luftdruck hat in einer gewissen Tiefe (einige km) ein
Maximum und fällt dann auf Null ab. Oder?

#12

g~r^3
Hallo Michael,

hast du folgende Punkte bedacht?

a) Ob ein Körper punktförmig ist oder endlich ausgedehnt, spielt für die Schwerkraft keine Rolle.

b) Innerhalb einer Massekugel mit kugelsymmetrischer Dichteverteilung erfährt ein Beobachter Schwerkraft nur von denjenigen Lagen, deren Radius kleiner ist als der Abstand des Beobachters zum Mittelpunkt.
Beispiel:
Befinde ich mich 1000 km unterhalb der Erdoberfläche, dann erfahre ich die Schwerkraft einer hypothetischen Erde, der man die oberen 1000 km kugelsymmetrisch abgeschält hat.

Da V~r^3 --> g~r^3, und nicht g~r.

Gruss,
TR

#13

Hallo,

Da V~r^3 --> g~r^3, und nicht g~r.

ja, das stimmt wohl. Allerdings macht es in Michaels Ansatz nur einen Faktor 2 im Exponenten aus.

Meine Idee mit der „Null-Lösung“ ist natürlich Quatsch, das sehe ich jetzt ein.

Nochmal 2 Fragen zur weiteren Diskussion:
Wenn ich den Luftdruck auf der Erdoberfläche messe, aber genau über dem Schacht - messe ich da dasselbe wie ohne Schacht?
Angenommen, es gäbe keine Luft über der Oberfläche, sondern nur welche im Schacht. Was würde sich dann ändern?

So, aber jetzt ist Schicht im Schacht.
Olaf

#14

Vielen Dank für Eure Mühe!

Dass es in ein Integral über den Radius ausartet, habe ich befürchtet. Die genannten Herleitungen und Formeln werden meine bescheidenen Schulmathekenntnisse noch eine Weile beschäftigen.

Gruß, Cugel

#15

Hallo,

(…)

Nochmal 2 Fragen zur weiteren Diskussion:
Wenn ich den Luftdruck auf der Erdoberfläche messe, aber genau
über dem Schacht - messe ich da dasselbe wie ohne Schacht?

Miss über dem Schacht und schiebe langsam einen Deckel drüber.
Der Deckel ändert an den Druckverhältnissen nichts, und wenn er ganz drauf ist, ist es so als wäre der Schacht nicht da…

Angenommen, es gäbe keine Luft über der Oberfläche, sondern
nur welche im Schacht. Was würde sich dann ändern?

Thermodynamik mal ausser Acht gelassen:
Dann fehlt das eine Bar, das nun nicht mehr auf die Luftsäule im Schacht drückt.

Gruss,
TR

#16

Nochwas
Hallo,

Mit deiner g-Skalierung stimmt was nicht:

p0 = p® exp (Mrg/2RT)

Setz mal spasseshalber r=20 km, dann kommen bereits 3 Bar heraus.
Sehr respektabel für einen so kleinen Asteroiden, nicht wahr?

ich hab das nicht im Detail geprüft, aber ich bin mir sicher, dass du in Oberflächennähe riesengrosse Werte für g bekommst.
Sicher ein simpler Skalierungsfehler.
Und denk an g~r^3.

Mit folgenden Größen

Normaldruck: p® = 101300 Pa
molare Masse: M = 29 g/mol
Erdradius: r = 6370 km
allgemeine Gaskonstante: R = 8,314 J/molK
Temperatur: T = 298 K

Gruss,
TR

#17

zu primitiv gedacht
Hallo,

Nehmen wir an, dass die 1 Bar Druck an der Erdoberfläche von
einer 5 km hohen Luftsäule konstanter Dichte kommen.
Nehmen wir weiterhin eine punktförmige Erde an. Die gesamte
Masse sei im Erdmittelpunkt vereinigt.
Radius~6400 km, 6400/5 --> ~1300 Bar.

Das berücksichtigt aber nicht, daß mit zunehmendem Druck auch die
Dichte zunimmt. Bei Normaldruck an der Erdoberfläche hat man eine
Dichte von ca. 1,3kg/m³ (in ca. 6700km Abstand vom Erdmittelpunkt).

Mit angenommen konst. Druck bekäme man in einer Tiefe von ca. 7,5km
einen Druck von 2 Bar.
Da die Dichte mit der Tiefe aber ständig zunimmt wird ein Druck
von 2 Bar schon in ca. 5,5km Tiefe erreicht (mit Temperatur= konstant).

In dieser Tiefe ist dann die Dichte ca. 2,6kg/m³.
Um eine weitere Verdoppelung des Druckes und der Dichte zu erhalten
muß man wiederum ca. 5,5km tiefer gehen (ca. 11km -> ca. 4 Bar).
Gehen wir wieder ca. 5,5km tiefer hat man dann schon ca. 8Bar und
weitere ca. 5,5km tiefer (jetzt ca. 22km) ist der Druck ca. 16 Bar
und die Dichte über 22kg/m³!
Um hier eine Druckdifferenz von 1 Bar zu erhalten braucht man nur
noch ca. 400m höher oder tiefer gehen.

Bei solchen Tiefen (einige 10km bei einem Erdradius von ca. 6700km)
macht man sicher nur einen vernachlässigbaren Fehler, wenn man
bis dahin mit konstater Erdbeschleunigung rechnet, zumal die Dichte
der Erdkruste rel. gering ist im Vergleich zum Mat. im Erdinnern.

In ca. 33km Tiefe ist der Druck dann schon knapp 80Bar und die
Dichte wäre ca. 100kg/m³. Hier machen also 100 Meter Höhenunterschied
schon 1 Bar Druckunterschied. aus.

In ca. 55km Tiefe (ca. 0,8% des Erdradius) sollte dann der Druck
schon ca. 1300Bar sein und die Dichte dementspechend ca. 1700kg/m³.
Hier braucht man nur noch ca. 6m Höhenunterschied für ein Bar
Druckdiff.

Trotz der überaus lausigen „Herleitung“ scheint mir das der
bislang glaubhafteste Wert zu sein.

Naja. 1300Bar auf 6700km oder 1300Bar in 55km Tiefe sind doch
recht unterschiedliche Ergebnisse.

Wenn man aber so weiter rechnet, kommt man in 110km Tiefe
schon auf ca. 1,6Mio. Bar und in 220km Tiefe auf ca. 3Exp12 Bar.

Bei diesen Zahlen macht es aber schon lange keinen Sinn mehr,
so weiter zu rechnen, weil hier keinesfalls mehr mit idealem Gas
gerechnet werden kann.
Außerdem nimmt dann doch die Erdbeschleunigung irgendwann merklich ab.
Gruß Uwi

Luftdruckzunahme unter der Erdoberfläche
Freier Fall
#18

Hallo,

Da V~r^3 --> g~r^3, und nicht g~r.

ja, V ∝ r3, aber Du musst auch g ∝ 1/r2 aufgrund des Gravitationsgesetzes F® = γ m M / r2 berücksichtigen. Macht zusammen g ∝ r für das Innere einer homogenen Kugel (und g ∝ 1/r2 außen).

Gruß
Martin

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#19

Hi,

das würde also bedeuten, dass der allergrößte Teil des Schachtes mit einem festen (kristallinen?) Gaspfropfen verstopft wäre und die Frage nach dem Luftdruck am Ort des Erdmittelpunktes obsolet ist.

Interessant finde ich hierbei den Gedanken, was für einen Durchmesser der Schacht haben müsste, damit die ganze irdische Atmosphäre darin verschwinden würde. Bei den genannten Drücken und damit einhergehenden enormen Dichten müsste der Schacht womöglich gar nicht so mächtig sein und bräuchte nicht mal bis zum Erdmittelpunkt reichen.
Ein Szenario für Science-Fiction- und James Bond-Autoren: Der Bösewicht gräbt ein tiefes Loch und droht damit, den Deckel aufzumachen…

Gruß, Cugel

#20

Danke + Tilden (fast owt).
Hallo!

ja, V ~ r3, aber Du musst auch g
~ 1/r2 aufgrund des
Gravitationsgesetzes F® = γ m M /
r2 berücksichtigen. Macht zusammen g
~ r für das Innere einer homogenen Kugel (und g
~ 1/r2 außen).

(Habe in Deinem Posting nur die Proportionalitätszeichen ergänzt, die zumindest auf meinem Rechner nicht ordentlich dargestellt werden.)

Michael