Mathematik, Berechnung von Dreiecken

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo erstmal :smile:
Dass ich das an der Schule gemacht hab ist schon länger her, und obwohl ich jetzt schon länger rumprobier komm ich auf kein befriedigendes Ergebnis…

Die Fragestellung ist: Es ist ein rechtwinkliges Dreieck über B gegeben (da liegt wohl der rechte Winkel)die Länge der Kathete AB = 10 cm, die Länge der Kathete BC = 5 cm.
In genanntem Dreieck ist ein Quadrat eingeschlossen von der eine Ecke in B liegt, die gegenüberliegende Ecke liegt auf der Hypothenuse.
Wie groß ist die Seitenlänge des Quadrates?

a, 10/3
b, 15/4
c, 5/4
d, 2
e, keins von denen

Ich komm da irgendwie nicht drauf, bzw fällt mir kein eleganter Weg ein. Erst dachte ich wenn ich die gesamte Fläche des Dreiecks ausrechne, diese durch 2 Teile dann komme ich auf die Fläche des Quadrates und damit auf dessen Seitenlänge (ich dachte das eingeschlossene Quadrat verbraucht genau die Hälfte der Fläche.
Ich hab das mal mit Zeichnen probiert und Nachmessen, und tatsächlich kommt dieser Weg dem nachgemessenen Ergebnis sehr nahe, allerdings eben nicht exakt.

Wissen sie vielleicht die Lösung (die höchstwarscheinlich viel zu einfach ist und mich als Deppen entlarvt)?

vielen Dank :smile:

#2

Hallo,

Die Fragestellung ist: Es ist ein rechtwinkliges Dreieck über
B gegeben (da liegt wohl der rechte Winkel)die Länge der
Kathete AB = 10 cm, die Länge der Kathete BC = 5 cm.
In genanntem Dreieck ist ein Quadrat eingeschlossen von der
eine Ecke in B liegt, die gegenüberliegende Ecke liegt auf der
Hypothenuse.
Wie groß ist die Seitenlänge des Quadrates?

das Quadrat schneidet von dem großen Dreieck zwei ähnliche
Dreiecke ab.
Zeichne mal das Quadrat in das große Dreieck ein - hast Du ja schon
gemacht.
Die eine Kathete bezeichne ich mal mit a, die andere mit b.
Die Seitenlänge des Quadrates sei x.
Aus den Ahnlichkeitsverhältnissen kannst Du ableiten:
(b-x)/x=x/(a-x)= b/a
Jetzt kannst Du „elegant“ weiter rechnen und nach x auflösen
Gruß VIKTOR
PS
Natürlich gibt es in den Büchern auch explizite Formeln, aber Du
möchtest ja verstehen - und das ist gut so.

#3

Hallo,

mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Länge der Hypothenuse berechnen. Dann mit dem Kathetensatz die Längen der Hypothenusenabschnitte. Und schließlich mit dem Höhensatz die Höhe des Dreiecks. Das wiederum ist die Länge der Diagonale des Quadrats.

Gruß,

hendrik

#4

Hallo Hendrik

mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Länge der
Hypothenuse berechnen. Dann mit dem Kathetensatz die Längen
der Hypothenusenabschnitte. Und schließlich mit dem Höhensatz
die Höhe des Dreiecks. Das wiederum ist die Länge der
Diagonale des Quadrats.

ehe Du solches „Wissen“ vermittelst solltest Du das Problem
sorgfältiger angehen.
Das hier ist Unfug.
Gruß VIKTOR

#5

hi,

die Höhe des Dreiecks. Das wiederum ist die Länge der
Diagonale des Quadrats.

nein, das stimmt nicht.
(nur, wenn die kathetenlängen gleich wären.)

m.

#6

Hallo!

Vielleicht zwei Anmmerkungen dazu noch, aufbauend auf Viktors antwort:

Ich bin den Weg der Verhältnisse nie gegangen, weiß nicht wieso. Mache aber exakt das gleiche: Du kannst sagen, wobei alpha der Winkel im Punkt A ist: tan(alpha)=b/a
gleichzeitig ist tan(alpha)=x/(a-x) also kannst du das gleichsetzen und bist genau da, wo Viktor dich hingeführt hat.

Als Tipp nur zusätzlich: Wenn ich früher solche Bsps zu lösen hatte, habe ich zuerst auch immer eine Skizze gezeichnet. Man neigt dabei allerdings oft automatisch dazu die beiden Katheten relativ gleichlange zu zeichenen. Oft „sieht“ man dann einen Rechenweg und kommt , wie du , irgendwann darauf, dass dieser nur für den Spezialfall a=b gilt. Man trifft oft falsche Annahmen, wenn die SKizze zu symmetrisch ist. Daher bin ich dazu übergegangen relativ extreme Skizzen zu zeichnen, also a>>b einzuzeichnen. Halt auch dann wenn a nur bisschen größer ist als b, einfach als Zusatzcheck ob meine Annahmen dann auch noch so offensichtlich sind.

lg
Alex

#7

Hallo Alexander,

Als Tipp nur zusätzlich: Wenn ich früher solche Bsps zu lösen
hatte, habe ich zuerst auch immer eine Skizze gezeichnet. Man
neigt dabei allerdings oft automatisch dazu die beiden
Katheten relativ gleichlange zu zeichenen. Oft „sieht“ man
dann einen Rechenweg und kommt , wie du , irgendwann darauf,
dass dieser nur für den Spezialfall a=b gilt…

nur eine Anmerkung hierzu - eigentlich für den Sachverhalt
überflüssig aber nicht für die erforderliche Sorgfalt beim
Eingehen auf den Fragesteller .
Dieser hat eine Skizze gemacht und hat die Katheten im Verhältnis
10:5 (maßstäblich, wegen zeichnerischer Lösung !)gezeichnet, nach
eigener Einlassung.
Nur mal so - nix für ungut.
Gruß VIKTOR

#8

Hallo auch,

eines vorweg…10/3 ist richtig.
Warum?

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck und sollst dort hinein ein Quadrat berechnen welches ein Eckpunkt im Punkt B des Dreiecks hat und ein Eckpunkt auf der Hypothenuse liegt…soweit so gut.
Also,du kennst die Strecke AB(nennen wir sie mal „c“) und die Strecke BC(nennen wir sie mal „a“).
Somit ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit den Punkten
A, B, C
also den Strecken
(ich rechne mal in mm statt cm…)
AB(nennen wir sie mal „c“)=100mm
BC(nennen wir sie mal „a“)=50mm
AC(nennen wir sie mal „b“)=?mm
und den Winkeln an den Punkten
A (alpha)
B (beta)=90°
C (gamma)
so, wenn du jetzt ein Quadrat einzeichnen würdest,
welches ein Eckpunkt im Punkt B des Dreiecks hat und ein Eckpunkt auf der Hypothenuse (nennen wir ihn mal „D“ liegt, wäre die Diagonale des Quadrates die Winkelhalbierende des rechten Winkel.
Somit erhälst du ein allgemeines Dreieck, mit den Strecken
AB(„c“)=100mm
BD(„e“)
AD(„d“)
und den Winkeln
A alpha
B beta =45°
D delta

Wie nun weiter…
wir müssen jetzt die Diagonale des Quadrates (Strecke „e“) ausrechnen um weiter zukommen. Aber uns fehlt was…ein paar Winkel.
Wir brauchen den Winkel alpha…also zurück zum rechtwinkligen Dreieck…und Winkelfunktionen

Tangens von alpha = Gegenkathete/Ankathete
tan von alpha = a/c
tan von alpha = 50mm/100mm
tan von alpha = 0,5
Winkel alpha = 26,565°

zurück zum allgemeinen Dreieck…wir haben jetzt die Winkel
alpha=26,565°
beta=45°
und somit auch den Winkel „delta“
(delta=180°-45°-26,565°)
delta=108,435°

also kennen wir jetzt 3Winkel und eine Strecke!

im allgemeinen Dreieck gilt:

a/sin alpha = b/sin beta = c/sin gamma

also eine Seite geteilt durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels ist gleich der anderen Seite geteilt durch deren gegenüberliegenden Winkel usw.

für uns bedeutet das

e/sin alpha = c/sin delta

gesucht wird ja „e“

e = c*sin alpha /sin delta

e = 100mm * sin26,565° / sin108,435°

e = 47,140mm

somit haben wir die Diagonale „e“ des Quadrates.
jetzt brauchen wir nur noch die Seitenlänge(„s“) des Quadrates ausrechnen…
Jetzt kommt der gute alte Pythagoras ins Spiel

e²=2*s² -> s²=e²/2

s²=47,140²/2
s²=1111,108
daraus dann die Wurzel
s=33,3333mm
bzw.
Die Seitenlänge des Quadrates beträgt 3,3333cm.
was ja 10/3 entspricht

Gruß Angus

#9

Hallo

Wie groß ist die Seitenlänge des Quadrates?

a, 10/3
Ich komm da irgendwie nicht drauf, bzw fällt mir kein
eleganter Weg ein.
Ich hab das mal mit Zeichnen probiert und Nachmessen, und
tatsächlich kommt dieser Weg dem nachgemessenen Ergebnis sehr
nahe, allerdings eben nicht exakt.

Wissen sie vielleicht die Lösung (die höchstwarscheinlich viel
zu einfach ist und mich als Deppen entlarvt)?

Die zeichnerische Lösung ist für die Beantwortung der Fragen auf jeden Fall genau genugund der einfachste Weg.
Halbiere den 90°- Winkel (also 45 °)
Dort wo diese Winkelhalbierende die Hyp. trifft, ist der andere Eckpungt der Quadrat- Diagonalen.
Messe die Länge dieser Diagonalen aus und dividiere durch 2^0,5.
Die Seitenlänge des Quadrates beträgt 33,33 mm.

Gruß:
Manni

#10

Hallo Angnus

eines vorweg…10/3 ist richtig.
Du hast ein rechtwinkliges…
…

auweia, auweia

usw. der Weg ist lang.
Du hast Dir ja da einen grausigen Lösungsweg ausgesucht.
Wenn Dich jemand in München nach dem Weg nach Rosenheim fragt,
schickst Du ihn wahrscheinlich erst nach Innsbruck, Villach,Wien und
zurück über Salzburg - mit Übernachtung.
Die Lösung - welche mit ein,zwei Schritten aus meinem Ansatz
in meinem Beitrag zu ermitteln ist heißt schlicht und einfach:
x=b/(b/a+1)
wobei a und b die Katheten sind und x die Seite des Quadrates.
Erstaunlich hier ist - obwohl hier schon der einfache und kurze
Lösungsweg (von Alexander und mir) nachvollziehbar vorliegt,
daß dem entgegen aufwändige Berechnungen (als besserer Weg ?)
vorgeschlagen werden oder gar eine zeichnerische Fleißarbeit als
schneller und „genau genug“ ! (es ist nicht zu fassen) angeboten wird.
Wem soll das nutzen ???
Gruß VIKTOR

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#11

usw. der Weg ist lang.

Zustimmung.

wobei a und b die Katheten sind und x die Seite des Quadrates.
Erstaunlich hier ist - obwohl hier schon der einfache und
kurze
Lösungsweg (von Alexander und mir) nachvollziehbar vorliegt,
daß dem entgegen aufwändige Berechnungen (als besserer Weg ?)
vorgeschlagen werden oder gar eine zeichnerische Fleißarbeit
als
schneller und „genau genug“ ! (es ist nicht zu fassen)

Du liebst das dramatische Auftreten?
„Zeichnerische Fleißarbeit“?
Nö, ca. 2 Minuten Aufwand um das CAD anzuschmeißen und die Lösung zu finden.

Es ist wohl nur dein Hang zur Rechthaberei und Belehrung (das ging kürzlich mit dem Klippenspringer schon schief:wink:)

Der UP hat doch schon gezeichnet, weshalb also nicht neu zeichnen?
Bei den angebotenen Lösungen:
3,33
3,75
1,25
2
0
ist der zeichnerisch ermittelte Wert genau genug, um die Frage richtig zu beantworten.
Schneller ist die z. Lösung auf jeden Fall (auch wenn es dir persönlich wohl schwerfällt).

Da gibt es ein schönes Zitat von C.F. Gauß zur übertriebenen Genauigkeit.
Da du es nicht kennst, google mal:wink:

#12

wobei a und b die Katheten sind und x die Seite des Quadrates.
Erstaunlich hier ist - obwohl hier schon der einfache und
kurze
Lösungsweg (von Alexander und mir) nachvollziehbar vorliegt,
daß dem entgegen aufwändige Berechnungen (als besserer Weg ?)
vorgeschlagen werden oder gar eine zeichnerische Fleißarbeit
als
schneller und „genau genug“ ! (es ist nicht zu fassen)

Du liebst das dramatische Auftreten?
„Zeichnerische Fleißarbeit“?
Nö, ca. 2 Minuten Aufwand um das CAD anzuschmeißen und die
Lösung zu finden.

Typisch für Dich.
Es wird Fleisch verlangt und Du lieferst Käse.
Gezeichnet hatte der UP schon - das kann jeder, nur Du bildest Dir
darauf noch was ein. Es ist nicht zu fassen.
Er suchte eine rechnerische Lösung.Hast mal wieder nicht richtig
gelesen.
Das rechnerische Ergebnis hat man mit dieser Formel dann hier bei
diesen Zahlen in ein paar Sekunden - mit Kopfrechnen.
Auch mit dem Taschenrechner dauert das weniger als eine Minute.

#13

Moin,

Es wird Fleisch verlangt und Du lieferst Käse.
Gezeichnet hatte der UP schon - das kann jeder, nur Du bildest
Dir
darauf noch was ein. Es ist nicht zu fassen.
Er suchte eine rechnerische Lösung.Hast mal wieder nicht
richtig
gelesen.

Das sehe ich anders.
Vermutlich hat der UP falsch gezeichnet.
Es kann also nicht jeder.
Ich habe auf normalem karierten Papier im Maßstab 2,5:1 gezeichnet und für die Seitenlänge des Quadrates 83,5 mm gemessen. Das entspricht 33,4 mm.
Damit die Frage a eindeutig zu beantworten.
Im UP war kein Rechenweg zur Lösung verlangt sondern nur die richtige Lösung für a - d.

Wer nicht ein so begnadeter Mathematiker ist wie du, kann die richtige Lösung „a“ mit ausreichender Genauigkeit auch zeichnerisch ermitteln.
Ich weiß nicht, weshalb du jeden angiftest, der nicht deiner Meinung ist.
Fällt mir aber öfter bei dir auf.
Geht aber manchmal schief.

roysy

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#14

Hallo,

„Zeichnerische Fleißarbeit“?
Nö, ca. 2 Minuten Aufwand um das CAD anzuschmeißen und die
Lösung zu finden.

wenn du 2 Minuten für die zeichnerische Lösung brauchst, benötige ich weniger als 1 Minute für die rechnerische, zumal man für 10/3 noch nicht einmal einen TR benötigen sollte, während 47/sqrt2 wohl nur sehr wenige im Kopf rechnen könnten.
Dein vorgeschlagener Lösungsweg dauert nicht nur länger und ist nicht so exakt, wie der von Alex/Viktor, sondern er enthält zusätzlich zu dem zeichnerischen Teil noch einen rechnerischen, was ein weiterer Nachteil ist.
Wenn schon zeichnerisch, warum dann nicht komplett zeichnerisch?
Wenn du schon dem UP den zeichnerisch-rechnerischen Lösungsweg empfiehlst, warum wählst du selbst den rein rechnerischen?
Oder hast du das Ergebnis von 33,33mm anhand deiner Zeichnung ermittelt?

Gruß
Pontius

#15

Moin,

Das sehe ich anders.

ich nicht und deshalb bevorzuge ich den Lösungsweg von Alex/Viktor.

Wer nicht ein so begnadeter Mathematiker ist wie du, kann die
richtige Lösung „a“ mit ausreichender Genauigkeit auch
zeichnerisch ermitteln.

Um die Grundrechenarten zu beherrschen und z.B. 50/15 oder 10/3 rechnen zu können, braucht man kein Gauß zu sein.

Gruß
Pontius

#16

Hallo auch,

usw. der Weg ist lang.
Du hast Dir ja da einen grausigen Lösungsweg ausgesucht.

Viele Wege führen nach Rom…
wobei mein Weg noch nicht mal der längste ist. Aber er führt zum Ziel.

Wenn Dich jemand in München nach dem Weg nach Rosenheim fragt,

…könnt ich die Frage gar nicht beantworten, da ich noch nie im Ausland war.

Gruß Angus

#17

Hallo Pontius

Oder hast du das Ergebnis von 33,33mm anhand deiner Zeichnung
ermittelt?

er hat mit dem Computer-Programm CAD(Zeichen,Konstruieren) gearbeitet bei
dem man tatsächlich genauere Distanzen ablesen, abrufen kann.
Dies als (bessere !) Alternative zu empfehlen wo der UP doch eindeutig
einen math. Lösungsweg suchte zeigt weiter, wie wenig er sich auf Fragen
oder den UP einläßt - wenn er dazu überhaupt in der Lage ist.
Gruß VIKTOR

#18

Hallo Angus,

usw. der Weg ist lang.
Du hast Dir ja da einen grausigen Lösungsweg ausgesucht.

Viele Wege führen nach Rom…
wobei mein Weg noch nicht mal der längste ist.

mir fällt jetzt kein längerer ein.

Aber er führt zum Ziel.

Diese Gegenhaltung ist keine Rechtfertigung für unsinnige Aktionen,
welche den (die) Fragesteller verwirren, insbesondere wenn diese i.R
mit Mathematik nicht so vertraut sind - sonst würden sie nicht fragen.
Meine „Kritik“ richtet sich gegen Antworten ,welche statt zu helfen nur den
Zweck haben,daß sich hier „Antworter“ selbst präsentieren mit „ich weiß was“
ohne daß dies dem Fragesteller irgendwie noch nutzt.
Oder glaubst Du daß es dem Fragesteller z.Bsp. bei einer mathematischen
Prüfungsaufgabe hilft,wenn er weite Wege zur Lösung angeboten bekommt oder
gar den Rat, dazu seinen Computer mit einem Cad-Programm zu einzusetzen ?
Möchtest Du, wenn Du mal ein Problem hättest, so"bedient" werden ?
Gruß VIKTOR

#19

Hallo,

während 47/sqrt2 wohl nur sehr wenige im Kopf rechnen
könnten.

Brauchst du doch nicht. Kannst die Seitenlänge des Quadrates doch auch abmessen.
S. Antwort roysy.

Gruß:
Manni

#20

während 47/sqrt2 wohl nur sehr wenige im Kopf rechnen
könnten.

Brauchst du doch nicht. Kannst die Seitenlänge des Quadrates
doch auch abmessen.

Mir ist das klar, aber das ist genau der Lösungsweg den du dem UP vorgeschlagen hast.
Nach deiner Beschreibung hat er nur die Diagonale und noch keine Seite.