Eigentlich wollte ich Euch das ersparen, da diese Berechnungen eh nicht der Realität entsprechen, aber nach der dringenden Forderung selber eine Rechnung präsentieren zu sollen, bitte:
Und nun reklamiere ich erstmals auch die Überlegungen von watergolf93.
Ich gehe nun von der Annahme der geforderten Vorraussetzungen aus:
kein Auftrieb,
keine Hydrophilie
kein Miniskus
Dementsprechend ist also nur die Arbeit, die aufzuwenden ist, um die Wasseroberfläche zu vergrößern,
gegen die Arbeit, die beim Herablassen der Kugel frei wird,
aufzurechnen.
Wenn das beim Eintauchen der Kugel eine lineare Angelegenheit wäre, so stimme ich mit den Berechnungen von Hähnchen und Watergolf93 überein.
Doch ein ganz wesentlicher Punkt ist dabei übersehen und nicht angesprochen worden.
Es handelt sich bei der Arbeit der Oberflächenvergrößerung um Differenzen zwischen den Flächen zwischen verschiedener Eintauchtiefen!
(Deswegen meine Frage an Watergolf93 ob er erst mit der halben Kugel gerechnet hat. 
)
Beim Eintauchen der Kugel ist davon auszugehen, daß man dies langsam tut und sie nicht mit Schwung plumpsen läßt.
Wenn man sich dann die Beziehung zwischen Eintauchtiefe und der jeweiligen vergrößerten Wasserfläche anschaut, stellt man fest, daß die Differenz nicht linear mit der Eintauchtiefe wächst.
Denn beispielsweise bis zur halben Eintauchtiefe ist die Wasseroberfläche von einem Kreis (mit dem Durchmesser der Kugel) nur zu einer halbkugeligen Wölbung gewachsen. Die erweiterte Oberfläche berechnet sich also bis hierhin als Halbkugel minus Kreis.
Aber die eigentliche Arbeit kommt erst jetzt:
Ab da an wächst die Oberfläche bis zum völligen Eintauchen aber um genau den Kreis plus die Wölbung! (die Wölbung um die obere Halbkugel und den Kreis über ihr auf der wasseroberfläche.)
Dies ist der eigentliche steile Berg und hier erst muß man fragen, wann die Gewichtskraft der Kugel ausreicht, diesen zu überwinden.
Es ist also mehr Energie nötig die obere Hälfte der Kugel ins Wasser zu drücken, als die untere.
Nun zur Rechnung:
Einzige Variable der Kugelradius.
[F1] sei die Arbeit, die die Kugel macht, wenn sie sich von halber Eintauchtiefe bis zur vollen bewegt.
[F2] sei die Arbeit, die für die Wasseroberflächenvergrößerung von halber Eintauchtiefe bis zur vollen braucht.
[F1] = [Volumen der Kugel] * [Dichte von Kupfer] * [Erdbeschleunigung] * [Kugelradius]
[F2] = ([Oberfläche der Halbkugel] + [Kreisoberfläche des größten Kugelschnittes]) * [Oberflächenspannung Wasser]
F1 soll so groß wie F2 sein, also die beiden Gleichungen gleichsetzen und anschließend nach r auflösen und ausrechnen.
Ich habe nach dieser Rechnung genau den dreifachen Wert von Hähnchens für den Radius raus, nämlich 3,33 mm.
Um genau zu sein, muß ich sagen, daß ich auch hier den selben Fehler mache, denn eigentlich wäre zu überprüfen, ob es nicht noch einen steileren Berg gibt.
Also die Eintauchtiefe in lauter kleine Bereiche einteilen und schauen wo die größte Hürde zu überwinden ist.
Und in der Tat ist es so, daß im obersten letzten Eintauchbereich die meiste Kraft aufzuwenden ist, um die im Verhältnis immer schneller wachsende Oberfläche entstehen zu lassen.
Die Kugel wird also noch größer sein können, als 3,33 mm.
Es wäre für manche interessant den genauen Wert auszurechnen, mich interessiert er erst mal nicht, da sich, wie gesagt, Oberflächenspannung etwas anders verhält als unter solchen Vorraussetzungen.
Aber durchaus möglich, daß genau dies von Hähnchen gefordert war, denn die anderen Rechnungen sind eher was für die Oberstufe als für ein Physikstudium.
