Pangea Mathe Wettbewerb - Knobelaufgaben

Wissenschaft Mathematik
#1

Hi,

ich habe hier etwas von sehr niedriger Priorität, also bitte nur Zeit investieren wenn ihr diese übrig habt :wink:

Folgendes Szenario: Schwesterherz kommt heute mit einem Test nach Hause, den Sie in der Schule gemacht haben (60min 9. Klasse). Es handelt sich um den Pangea Test 2013 Vorrunde. (Ergebnisste stehen noch aus, werden aber auch nur, siehe Homepage, mittels Lösungsziffer mitgeteilt)

Also, so wie es meine Art ist, habe ich gedacht „lächerlich“ 9. Klasse, den mache ich in 15min. Hätte ich auch geschafft, wären da nicht 3 Aufgaben, wo ich total auf dem Schlauch stehe und eine, die mich logisch zweifeln lässt :wink:

Also dachte ich mir, fragst du Mal nach. Nun habe/hatte ich natürlich einen Ansatz, der mich jedoch noch nicht weiter gebracht hat " title=":frowning:" class=„emoji“ alt=„frowning“>

Frage20:
Es ist die Rede von dem Schwerpunkt, also weiß ich dass die Seitenhalbierenden mit 1/3 und 2/3 teilt. Doch wie bekomme ich den Bezug von Seiten zur Fläche.
Allgemein gilt ja Fläche = (Seite x zugehöriger Höhe) / 2.
Frei geraten hätte ich gesagt, die Fläche verhällt sich wie die Seitenhalbierende. Also 1/3*1/3, (B) was jedoch bereits optisch nicht hinkommt.

Frage21:
Wildes Umformen auf beiden Seiten mittels der Binomischen Formel brachte mich nicht weiter. Dann dachte ich mir, es bringt vielleicht etwas links auf die erweiterten Bin. zu schauen. Also
(a+b)(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)(a-b)
(a-b)(a-b)(a-b)
Ergibt aber auch nichts brauchbares. Ping schon ist meine veranschlagte Minute dahin :wink:

Frage24:
0-Ahnung, dachte an Strahlensätze, doch dafür fehlt mir die zweite Parallele Gerade zu AB.

Frage25:
Formelmäßig bin ich nicht Schlau geworden, dachte jedoch folgende Reihe könnte der Weg zum Ziel sein:
Alle betreten = 9 Stufen berühren =1 Möglichkeit
8 Stufen berühren = 8*9
7 Stufen berühren = 7*8*9
…
Diese überlegungen tendieren aber alle gegen 9!, was weit über den vorgeschlagenen Möglichkeiten liegt.

Ja, ich weiß, schande auf mein Haupt.
Eigentlich sollte der Stoff der 9. Klasse doch sitzen :frowning:

Aber ich möchte zumindest wissen, wo ich damals nicht aufgepasst habe und hoffe auf eine möglichst einfache Lösung, die basierend auf bestehende Vorkenntnisse zuu begründen ist.

Danke und viel Spaß!
Oekel

PS: Wenn ihr nicht sofort die Lösung seht, dann tut mir doch den Gefallen und nennt mir eure Stoppuhrzeiten :wink:

#2

Hallo,

wären da nicht 3 Aufgaben, wo ich total auf dem Schlauch stehe
und eine, die mich logisch zweifeln lässt :wink:

ich finde die Aufgaben auch sehr anspruchsvoll.
Wahrscheinlich dient die ganze Aktion nur dem aufdringlichen Verbreiten von Reklame.
Man kann sich kaum geben die Clips wehren.

Gruß

watergolf

#3

Frage 21
Hallo Oekel.

Frage21:

Die Antwort A besagt soviel wie a=b und b!=-1 (ab hier steht != immer für ungleich). Das ist falsch, da z. B. a=b=1 keine Lösung ist.

Die Antwort B ist die Nullaussage a=a. Das ist zwar richtig, aber keine Information über das Verhältnis von a und b. Also scheidet auch B aus.

Die Antwort C besagt soviel wie a=-b und a!=0. Das ist für a=1 und b=-1 z. B. falsch.

Die Antwort D besagt a=2b und b!=0. Setzt man für a in die Gleichung überall 2b ein, so ergibt sich nach etwas Umstellen b^3=b^2. Das ist korrekt für b=0 und b=1. Da b=0 ausgeschlossen ist, gilt also b=1 und damit a=2. Man sieht leicht, dass in der Tat die Ausgangsgleichung für diese Werte erfüllt ist. Also ist Antwort D richtig.

Die Antwort E besagt soviel wie b=2a und a!=0. Setzt man nun überall in der Ausgangsgleichung für b diese 2a ein, so ergibt sich, wieder nach einfachen Umformungsschritten, -a^3=a^2. Diese Gleichung ist für a=0 und a=-1 erfüllt. Da a=0 ausgeschlossen ist, gilt also a=-1 und damit b=-2. Diese Kombination erfüllt die Gleichung auch, ist also auch eine richtige Aussage.

Deswegen schlage ich vor, die Antworten D und E anzukreuzen. Hilft das weiter?

PS: Wenn ihr nicht sofort die Lösung seht, dann tut mir doch
den Gefallen und nennt mir eure Stoppuhrzeiten :wink:

Mist, das habe ich zu spät gesehen. Die Rechnung wird wohl ein paar Minuten gedauert haben.

Liebe Grüße,

The Nameless

#4

Frage 25
Hallo Oekel,

hier die Antwort zu Frage 25.

Ich kann die Anzahl auch spontan nicht durch eine explizite Formel ausrechnen, aber dafür abzählen. Dazu sortiere ich alle möglichen Sprünge nach der Weite des größten Sprunges. Das ergibt folgende Kombinationen:

9 – 81 – 72 – 711 – 63 – 621 – 6111 – 54 – 531 – 522 – 5211 – 51111 – 441 – 432 – 4311 – 4221 – 42111 – 411111 – 333 – 3321 – 33111 – 3222 – 32211 – 321111 – 3111111 – 22221 – 222111 – 2211111 – 21111111 – 111111111

Zu jeder Kombination gibt es natürlich mehrere Reihenfolgen, die man sich leicht überlegen kann. Alle zusammenaddiert erhalte ich

1+2+(2+3)+(2+6+4)+(2+6+3+12+5)+(3+6+12+12+20+6)
+(1+12+10+4+30+30+7)+(5+20+21+8)+1 = 256

Möglichkeiten. Dabei fassen die Klammern immer Beiträge zu einem gleichen größten Sprung zusammen. Folglich ist Antwort D richtig.

Interessant wäre jetzt, ob bei einer Treppe von n Stufen immer 2^(n-1) herauskommt. Vielleicht meldet sich ja jemand, der von Kombinatorik mehr versteht also ich!

PS: Wenn ihr nicht sofort die Lösung seht, dann tut mir doch
den Gefallen und nennt mir eure Stoppuhrzeiten :wink:

Ja, klar, diesmal habe ich geschaut und komme auf neun Minuten.

Liebe Grüße,

The Nameless

#5

F 21
Moin,

a^3-b^3=a^2+b^2+ab

a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2)

(a-b)*(a^2+ab+b^2) = a^2+b^2+ab | : (a^2+b^2+ab)

a-b = 1 -> 1 = (b+1)/a -> Lösung A

Gruß
Pontius

#6

Keine Lösung!
Hi.

Du musst nicht an deinem Verstand und/oder deinen Mathekenntnissen zweifeln. Die Dinger sind sehr anspruchsvoll und dienen in solchen Tests normalerweise dazu, die Spreu vom Weizen zu trennen. Ähnlich sieht es auch bei allen Test für alle Schularten und Altersstufen vom Mathekänguru aus. Die meisten Aufgaben sind für den normalen Matheschüler der entsprechenden Stufe recht anspruchsvoll und dann kommen diese Aufgaben. Geschätzt 99% der Schüler können diese nicht lösen, aber das eine Prozent, das eine Lösung hinkriegt wird eventuell nochmal besonders begutachtet und auch gefördert.

MfG,
TheSedated

#7

Korrektur
Die Antwort A besagt soviel wie a=b+1 und a!=0. Das ist richtig, wie Pontius klug dargelegt hat. Allerdings wird durch die Antwort das Verhältnis a/b nicht bestimmt, sodass mir Antwort A weiterhin als falsch erscheint.

Liebe Grüße,

The Nameless

#8

F20

  1. Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der
    Seitenhalbierenden.
  2. Durch die 3 Seitenhalbierenden wird das Dreieck ABC in 6
    gleich große Dreiecke aufgeteit.

Das Dreieck DSC ist eines von diesen 6 Dreiecken, also ist:

ADSC/AABC = 1/6 -> Lösung „B“

#9

F24
Eher nicht Strahlensatz sondern die gemeinsame Hoehe:

7^2 - (DE/2)^2 = 10^2 - (DE/2 + EB)^2

Aber ohne Mathe ist das leichter:
Stell Dir vor Du schlaegst einfach zwei Kreise um C mit Radios 7 und Radius 10.

Das ist ein SPezialfall, fuer den aber alle Bedingungen erfuellt sind.
(10+7)*3 = 51!

Gruss

Michael

#10

Ich vergass: AB ist dann der Durchmesser durch C.

#11

Hi Nameless,

ich kann dem Ausschlussverfahren nicht ganz folgen. Pontius hat bereits eine Lösung gepostet, die für mich Sinn macht.

Außerdem wird…

Diese
Kombination erfüllt die Gleichung auch, ist also auch eine
richtige Aussage.

Deswegen schlage ich vor, die Antworten D und E anzukreuzen.
Hilft das weiter?

…komplett ausgeschlossen, da explizit auf Seite 1 Steht, das jeweils nur eine Antwort richtig ist :wink:
Danke dir dennoch für die vielen Mühen. Mit den Treppen konnte ich gut etwas anfangen.

Grüße Oekel

#12

Hi.
Aufgaben. Geschätzt 99% der Schüler können diese nicht lösen,
aber das eine Prozent, das eine Lösung hinkriegt wird
eventuell nochmal besonders begutachtet und auch gefördert.

Auf welche Gesammtmenge beziehst du deine Prozentangabe?
Auf den ganzen Test oder nur auf die 4 Aufgaben, die ich gepostet habe?

Ersterem kann ich nämlich nicht zustimmen, da du damit die Mehrheit der Schüler für sehr dumm erklärst oder mich für überdurchschnittlich schlau, da ich ja 21/25 Aufgaben in 1/4 der Zeit lösen konnte. Da ich mich selber aber eher zum unteren Durchschnitt zähle, würde dies bedeuten die Schüler sind dämlich :wink:

Ergo hoffe ich dass du den ganzen Test meintest.

Grüße Oekel

#13

Hallo Nameless,

Interessant wäre jetzt, ob bei einer Treppe von n Stufen immer
2^(n-1) herauskommt. Vielleicht meldet sich ja jemand, der von
Kombinatorik mehr versteht also ich!

Setze einfach für jede Stufe eine 0 oder 1, je nachdem sie Betreten wird oder nicht :wink:

Dann hast du eine Binärzahl!

Der einzige Trick dabei ist, dass die oberste Stufe immer betreten wird.

Somit kommt man auf 2^(n-1)

PS: Wenn ihr nicht sofort die Lösung seht, dann tut mir doch
den Gefallen und nennt mir eure Stoppuhrzeiten :wink:

Ich brauchte nur Zeit zum klicken und durchlesen :wink:

MfG Peter(TOO)

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#14

sorry, ich starre jetzt schon 5min auf die Zeichnung und erkenne es nicht.
Was genau konstruierst du mit den Kreisen? Um welchen Schnittpunkt geht es dabei, oder haben die Kreise eine andere Funktion?

Grüße Oekel

#15

F24
Kathetensatz von Euklid: a^2=c*p und b^2=c*q

In dieser Aufgabe ist analog dazu z.B. „b“ die Strecke AC=10,
„a“ die Strecke CE=7, „c“ die Strecke AE, „p“ die Strecke EF und
„q“ die Strecke AF. „F“ soll der Schnittpunkt der in das Dreieck CDE eingezeichneten Höhe mit der Strecke DE sein.

Daraus folgt:

  1. 10^2 = AE * AF

  2. 7^2 = AE * EF

      1. : 10^2 - 7^2 = AE * AF - AE * EF = AE*(AF-EF)

Aus AF - EF = AD = EB (Dreiecke ACD und BCE kongruent) folgt:

AE * EB = 100-49 = 51 -> Lösung „A“

#16

Ich beziehe es auf den gesamten Test. Es bedeutet weder, dass die Schüler „dumm“ sind, noch, dass du überdurchschnittlich schlau bist. Ich sehe in deinem Profil, dass du Informatik studierst. Da gehört viel Mathematik dazu. Ich studiere selbst Physik, wo wohl noch ein bisschen mehr Mathematik gelehrt wird.

Natürlich rast du durch so einen Test durch, das mache ich ebenfalls. Was dich und mich von einem normalen Schüler unterscheidet, ist die viel größere Erfahrung und auch eine gehörige Portion von abstraktem Denken, wie es in der Hochschulmathematik gelehrt wird. Ein normaler Schüler der entsprechenden Klassenstufe hat dies nicht und braucht deshalb viel mehr Zeit. Dann gibt es ein paar Talente, die genauso, oder zumindest ähnlich, durch die Aufgaben durchgehen und allein durch den Zeitvorteil schon wesentlich mehr richtige Lösungen liefern. Und dann gibt es noch die absoluten Cracks unter den Schülern, die den gesamten Test inklusive der von dir gefragten Aufgaben machen. Ich musste bei den Aufgaben jetzt auch schon ein bisschen nachdenken, um eine Lösungsstrategie zu entwickeln. Und genau das ist es, was die Spreu vom Weizen trennt.

Das Thema abstraktes Denken in Mathematik war z.B. auch einer der Gründe, weshalb Deutschland in den Pisa-Studien in Mathematik anfangs nicht gut abschnitt, aber inzwischen etwas besser dasteht. Ich habe z.B. während meiner gesamten Schulzeit keinen Beweis (abgesehen von ein paar Induktionsbeweisen) geführt, inzwischen scheint das in Rheinland-Pfalz zumindest mit im Lehrplan zu stehen. Genau dieses Denken, was bei Beweisen gefordert ist, ist bei den Aufgaben in diesem Test äusserst nützlich. Mit sturem Rechnen, wie es noch während meiner Schulzeit (1990-2001, 2004-2008) zum größten Teil gelehrt wurde, kommt man bei diesen Tests eben nicht weit.

MfG,
TheSedated

#17

Ersterem kann ich nämlich nicht zustimmen, da du damit die
Mehrheit der Schüler für sehr dumm erklärst

Wenn ähnliche Aufgaben kurz zuvor geübt wurden, sollte für die meisten Schüler eigentlich nur das knappe zeitliche Limit das Problem sein. Zum Überlegen bleibt da nicht mehr viel Zeit.

oder mich für überdurchschnittlich schlau, da ich ja 21/25 Aufgaben :in 1/4 der Zeit lösen konnte.

Auf jeden Fall scheinst du phänomenal schnell zu sein.
Da hätte ich ja zu meinen besten Zeiten alleine für die reine Schreibarbeit schon wesentlich länger gebraucht.

#18

Kathetensatz von Euklid: a^2=c*p und b^2=c*q

der ist mir nicht in den Sinn gekommen. Danke! (verstanden)

Wie dies allerdings zur Theorie von „mischamischer“ passt mit den Kreisen, verstehe ich noch nicht wirklich…

Grüße Oekel

#20

Keine Kreise
Es ist nur gefordert, dass es zwei Gleichschenklige Dreiecke sind.
Vergiss mal die Kreise… die habe ich nur erwaehnt, weil ich halt einen Zirkel genommen habe.

Mach folgendes:

Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck mit Oeffnungswinkel 180 Grad und Schenklellaenge 7cm -> Das gibt eine Gerade von 14cm Laenge
Geschnallt?
Dann das zweite gleichschenklige Dreieck mit Schenkellaenge 10cm und 180 Grad und selbem "Eck"punkt -> Das gibt eine ueberdeckende Gerade von 20cm Laenge…klar?
Die Loesung kostete mich

#21
  1. Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt der
    Seitenhalbierenden.
  2. Durch die 3 Seitenhalbierenden wird das Dreieck ABC in 6
    gleich große Dreiecke aufgeteit.

Das Dreieck DSC ist eines von diesen 6 Dreiecken, also ist:

Genau.
Wenn man sich ALL dieser 6 Dreiecke vorstellt und dann ueberlegt, dass egal wie man das Dreieck ABC durch eine Teilung durch S halbiert, immer auf beiden Seiten „das gleiche Gewicht“ liegen muss (Schwerlunkt!) ergibt sich dies logisch, ohne zu rechnen.

Gruss

Michael