Hallo zusammen,
ich hab in der letzten Zeit ein Paar augenscheinliche Paradoxien in der Mathematik kennen gelernt.
Zum Beispiel das Problem mit Achilles und der Schildkröte, wo Achilles paradoxerweise die Schildkröte nicht einholen kann (http://de.wikipedia.org/wiki/Achilles_und_die_Schild…) oder das Ziegenproblem, wo das Wechseln der Türen zu einer erhöhten Wahrscheinlichkeit führt (http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem).
Kennt ihr noch mehr davon 
?
Grüße, Juli
Paradoxa in der Mathematik
Kannst du auch geometrische Paradoxa gebrauchen?
Dann gib bei der Google-Bildersuche einfach „Escher“ ein.
mfg,
Ché Netzer
Hallo,
absurde Mathematik
http://www.youtube.com/watch?v=2eiBL4LlQxY
ein Filmchen über
Gabriels Horn (Paradox über unendliche Flächen, die endliche Inhalte begrenzen)
Efrons intransitive Würfel (faires - unfaires Spiel)
Penney-Ante
Ziegenproblem
Triell
Viel Spass
MklMs
Hallo Juli, das sind aber keine Paradoxien sondern Tatsachen. Bei Achill und Schkr kann Ach die Sch nicht vor dem Punkt, an dem er die Sch einholt, überholen. Das gilt auch heute noch.
Im andern Fall hat der Kandidat zuerst die Chance 1/3 danach 1/2, was deutlich besser ist, wenn er die erste Wette insgesamt verwirft und neu tippt.
In der Mathematik gibt es keine Paradoxien im Sinne von wahr, dennoch unwahr. Gruß, eck.
Hallo,
ich hab in der letzten Zeit ein Paar augenscheinliche
Paradoxien in der Mathematik kennen gelernt.
in der Mathematik gibt es nach meiner Auffassung keine „echten“ Paradoxien.
Es gibt nur Trugschlüsse bei meist konstruierten Situationen,
in welche a priori nicht gleich ersichtliche Fehler eingebaut
sind oder wo die Präsentation (bewußt ?) zu unlogischen Schlüssen verleitet.
Gruß VIKTOR
Hallo,
Kannst du auch geometrische Paradoxa gebrauchen?
Dann gib bei der Google-Bildersuche einfach „Escher“ ein.
aber auch das sind nicht wirklich Parodoxa, sondern bloß
fehlerhafte Darstellungen.
Gruß Uwi
„Fehlerhaft“ würde ich nicht sagen. Eher optische Täuschungen.
Aber das hängt auch davon ab, was genau man als Paradoxon versteht.
Das bekannte „Alle Kreter lügen“ gäbe es da auch noch.
mfg,
Ché Netzer
Natürlich gibt es das nicht. Allerdings hab ich gehofft, mit meinen Beispielen zu zeigen, was ich meine
Im andern Fall hat der Kandidat zuerst die Chance 1/3 danach
1/2, was deutlich besser ist, wenn er die erste Wette
insgesamt verwirft und neu tippt.
Nein! Er hat eine Chance von 2/3! Und das ist ja das ‚Paradoxe‘ (man beachte die Anführungszeichen) und das nicht sofort Einleuchtende!
Und noch paradoxer wird es, wenn ich sage, dass ich es gleich einleuchtend fand…
mfg,
Ché Netzer
Das ist ja fast schon wieder grotesk!
Hi
Ich erinner mich an etwas wie „Wie viele Menschen müssen in einem Raum sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 am selben Tag Geburtstag haben 50% beträgt“.
Ich glaube die Lösung lag - völlig kontraintuitiv - bei schon etwa 23. Bei 50 Menschen kann man mit an Sicherheit grenzender Wahrsacheinlichkeit ein solches Paar finden.
Dann gibt es noch das Vater-Sohn-Problem (??) wo die Frage zuerst so lautet: „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist ein Sohn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch ein Sohn!“. Hier ist noch relativ einfach herauszufinden, dass es 1/3 ist. Dann modifiziert man die Frage: „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist ein Sohn, der an einem Dienstag gebohren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch ein Sohn!“. Seltsamerweise steigt die Wahrscheinlichkeit für einen Sohn dadurch. Die genaue Zahl hab ich nicht im Kopf. Das ganze ist so eine Art neue Version des Ziegen-problems.
Generell viele Mathematische Rätsel bringen irgendetwas mit, was scheinbar paradox ist. Vor kurzen hatten wir bei Wer-Weis-Was das Problem mit den Eingebohrenen auf einer Insel, die sich umbringen, sobald sie erfahren, dass sie blauägig sind. Allein schon die Information „mindestens einer von euch hat blaue Augen“ tritt eine Kette von ereignissen los, durch die jeder seine Augenfarbe herausfindet. Kannst ja mal im Archiv danach suchen.
MfG IGnow
Natürlich gibt es das nicht. Allerdings hab ich gehofft, mit
meinen Beispielen zu zeigen, was ich meine
Vor allem meinst du Tatsachen, die nicht intuitiv sind, das ist aber was ganz anderes als eine Paradoxie. Die Statistik bietet zahllose Beispiele, weil unser Gehirn für Statistik ungeeignet ist, das liegt aber am Gehirn und nicht an der Statistik. Ich hatte allerdings mit Ziegen und Autos von Anfang an keine Probleme.
Formulieren kann man Paradoxa natürlich mit der Mathematik (Aussagenlogik), aber das wusste schon das Altertum, wie der Kreter, der behauptet, alle Kreter seien Lügner.
Das einzige was man für paradox halten könnte ist Gödels Unvollständigkeitssatz, aber der behauptet eben nicht, dass jedes logische System auf Paradoxa führt, sondern dass jedes logische System unvollständig ist und deshalb Paradoxa formuliert werden können, die INNERHALB des Systems nicht auflösbar sind.
Gruss Reinhard
Hi
Hallo
Dann gibt es noch das Vater-Sohn-Problem (??) wo die Frage
zuerst so lautet: „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist
ein Sohn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“. Hier ist noch relativ einfach herauszufinden, dass
es 1/3 ist.
Das glaube ich irgendwie nicht. Begründung: Nehmen wir mal an, die WS sei 50-50 (in Wirklichkeit ist es ja nicht so, aber mal angenommen). Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere ein Sohn ist, auch 1/2. Das liegt an der Unterscheidbarkeit der Söhne. Der Pfad Sohn-Sohn existiert zweimal, also genausooft wie der Sohn-Tochter Pfad.
Das liegt daran, dass die Ereignisse unabhängig sind. Die Geburt des Sohnes A und die Geburt des Sohnes B sind keine abhängigen Ereignisse.
Dann modifiziert man die Frage: "Ein Mann hat zwei
Kinder. Eines davon ist ein Sohn, der an einem Dienstag
gebohren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!". Seltsamerweise steigt die Wahrscheinlichkeit für
einen Sohn dadurch. Die genaue Zahl hab ich nicht im Kopf. Das
ganze ist so eine Art neue Version des Ziegen-problems.
Auch diese Auffassung teile ich nicht. Das Ereignis „am Dienstag geboren“ ist unabhängig von „als Sohn geboren“. Deshalb ist hier wie in ebenda auch nur das Ereignis „A wird als Sohn geboren“ zu betrachten, wenn wir die WS ausrechnen wollen, dass das andere Kind ebenfalls ein Sohn ist. Diese Ereignisse sind jedoch unabhängig.
Generell viele Mathematische Rätsel bringen irgendetwas mit,
was scheinbar paradox ist. Vor kurzen hatten wir bei
Wer-Weis-Was das Problem mit den Eingebohrenen auf einer
Insel, die sich umbringen, sobald sie erfahren, dass sie
blauägig sind. Allein schon die Information „mindestens einer
von euch hat blaue Augen“ tritt eine Kette von ereignissen
los, durch die jeder seine Augenfarbe herausfindet. Kannst ja
mal im Archiv danach suchen.
Weißt du noch, wo das steht?
MfG IGnow
Grüße
Eric
Hi,
Es wird weniger grotesk, wenn man darüber nachdenkt, was in einem Entscheidungsbaum abhängige und was unabhängige Ereignisse sind.
Ziegenproblem: Am Anfang ist deine Wahrscheinlichkeit 1/N N Anzahl Tore. Deine Gegenwahrscheinlichkeit ist also 1 - 1/N.
Wenn dir jetzt mitgeteilt wird, hinter welcher der N-1 Tore das Auto stand, so brauchst du nur noch tippen:
Hab ich beim ersten Mal richtig gelegen oder nicht?. Die Wahrscheinlichkeit, dass du nicht richtig lagst, ist dann deine WS das Auto zu gewinnen, also
1 - 1/N = (N-1)/N -> 1 für N gegen unendlich.
Dies liegt daran, dass die Ereignisse wirklich abhängig sind. Vgl. meine Antwort auf IGlows Beitrag weiter oben.
Grüße
Eric
Tach.
Dann gibt es noch das Vater-Sohn-Problem (??) wo die Frage
zuerst so lautet: „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist
ein Sohn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“. Hier ist noch relativ einfach herauszufinden, dass
es 1/3 ist.Das glaube ich irgendwie nicht. Begründung: Nehmen wir mal an,
die WS sei 50-50 (in Wirklichkeit ist es ja nicht so, aber mal
angenommen). Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das andere
ein Sohn ist, auch 1/2. Das liegt an der Unterscheidbarkeit
der Söhne. Der Pfad Sohn-Sohn existiert zweimal, also
genausooft wie der Sohn-Tochter Pfad.
Das liegt daran, dass die Ereignisse unabhängig sind. Die
Geburt des Sohnes A und die Geburt des Sohnes B sind keine
abhängigen Ereignisse.
Die Aussage lautet: eine Familie hat zwei Kinder. (Mindestens) eins davon ist ein Junge. Oder anders: Das ältere Kind ist ein Junge oder das jüngere Kind ist ein Junge oder beide Kinder sind Jungen.
Die Möglichkeit „zwei Mädchen“ ist also ausgeschlossen. Von den eigentlich vier Ereignispfaden (JJ, JM, MJ, MM) bleiben drei übrig, und nur in einem der drei Fälle ist auch das jeweils andere Kind ein Junge. Also 1/3.
Wenn gesagt wird „das jüngere [ältere] Kind ist ein Junge“, landest Du wieder bei 50%, denn dann werden zwei der ursprünglich vier Möglichkeiten ausgeschlossen.
Dann modifiziert man die Frage: "Ein Mann hat zwei
Kinder. Eines davon ist ein Sohn, der an einem Dienstag
gebohren. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!". Seltsamerweise steigt die Wahrscheinlichkeit für
einen Sohn dadurch. Die genaue Zahl hab ich nicht im Kopf. Das
ganze ist so eine Art neue Version des Ziegen-problems.Auch diese Auffassung teile ich nicht. Das Ereignis „am
Dienstag geboren“ ist unabhängig von „als Sohn geboren“.
Deshalb ist hier wie in ebenda auch nur das Ereignis „A wird
als Sohn geboren“ zu betrachten, wenn wir die WS ausrechnen
wollen, dass das andere Kind ebenfalls ein Sohn ist. Diese
Ereignisse sind jedoch unabhängig.
Hier gibt es 196 Ereignispfade ( [2 Geschlechter * 7 Wochentage] hoch 2). In 27 Fällen ist mindestens ein an einem Dienstag geborener Junge dabei (13 mal nur der Ältere, 13 mal nur der Jüngere, einmal Beide). Nach Geschlechtern sortiert haben wir unter den 27 Fällen 13 mal JJ und 14 mal JM bzw MJ. Die Wahrscheinichkeit für JJ ist daher 13/27, also ziemlich nahe an 50%, und damit größer als 1/3.
Wenn Du noch mehr einschränkst („Eins der beiden Kinder ist ein Junge, der an einem Dienstag im Mai um 12:57:38 bei Sonnenschein und 21° Außentemperatur geboren wurde“), kommst Du beliebig nahe an 50%.
Je spezieller die Einschränkung, um so unwahrscheinlicher, das beide Kinder die Bedingung erfüllen, und um so näher kommen wir an die Aussage " Entweder das ältere oder das jüngere Kind erfüllt die Bedingung."
Gruß,
KHK
Die Aussage lautet: eine Familie hat zwei Kinder. (Mindestens)
eins davon ist ein Junge. Oder anders: Das ältere Kind ist ein
Junge oder das jüngere Kind ist ein Junge oder beide Kinder
sind Jungen.
Die Möglichkeit „zwei Mädchen“ ist also ausgeschlossen. Von
den eigentlich vier Ereignispfaden (JJ, JM, MJ, MM) bleiben
drei übrig, und nur in einem der drei Fälle ist auch das
jeweils andere Kind ein Junge. Also 1/3.
Nein, so funktioniert das leider nicht. Dein Wahrscheinlichkeitsbaum ist a priori. Der Pfad Mädchen-Mädchen existiert nicht. Deswegen ist dein Wahrscheinlichkeitsbaum auch inkorrekt. Korrektes ist es so:
Angenommen, das erste Kind wäre ein Junge. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass das zweite Kind ein Junge ist, 50% (der Pfade ist nur 1 Junge - (0.5 Junge / 0.5 Mädchen). Angenommen, das zweite Kind ist ein Junge. Da die zeitliche Reihenfolge in Legen mit Zurücklegen keine Rolle spielt, kannst du das vertauschen. Aber selbst mit deinem Baum kommt das auch raus.
Du stellst also einen a priori Baum auf und interpretierst ihn nicht richtig.
Wenn gesagt wird „das jüngere [ältere] Kind ist ein Junge“,
landest Du wieder bei 50%, denn dann werden zwei der
ursprünglich vier Möglichkeiten ausgeschlossen.
Richtig und wenn du die Wahrscheinlichkeit ausrechnest, dass das jüngere oder ältere Kind ein Junge ist, dann findest du wieder 50%.
Hier gibt es 196 Ereignispfade ( [2 Geschlechter * 7
Wochentage] hoch 2). In 27 Fällen ist mindestens ein an einem
Dienstag geborener Junge dabei (13 mal nur der Ältere, 13 mal
nur der Jüngere, einmal Beide). Nach Geschlechtern sortiert
haben wir unter den 27 Fällen 13 mal JJ und 14 mal JM bzw MJ.
Die Wahrscheinichkeit für JJ ist daher 13/27, also ziemlich
nahe an 50%, und damit größer als 1/3.Wenn Du noch mehr einschränkst („Eins der beiden Kinder ist
ein Junge, der an einem Dienstag im Mai um 12:57:38 bei
Sonnenschein und 21° Außentemperatur geboren wurde“), kommst
Du beliebig nahe an 50%.
Nur, wenn du annimmst, dass die Kinder in allen Eigenschaften identisch sein müssen. Wenn du allerdings nur fragst, ob das andere ein Junge ist oder nicht, ist es egal, ob der Junge braune Augen hat oder am Dienstag geboren wurde.
Je spezieller die Einschränkung, um so unwahrscheinlicher, das
beide Kinder die Bedingung erfüllen, und um so näher kommen
wir an die Aussage " Entweder das ältere oder das jüngere Kind
erfüllt die Bedingung."
Nein, umso unwahrscheinlicher ist, dass beide alle Bedingungen erfüllen.
Gruß,
KHK
Grüße
Eric
Nimm 1000 Familien mit zwei Kindern.
Dann hast Du
250 * 2 Mädchen
250 * 2 Jungs
500 * 1 Mädchen, 1 Junge
Soweit einverstanden?
Eine beliebige dieser 1000 Familien wird gezogen. Du erhältst die Information „mindestens eins der Kinder ist ein Junge“.
Dann muss es eine der 750 Familien mit 1 oder 2 Jungen sein. Von diesen 750 Familien hat nur ein Drittel zwei Jungs. Zwei Drittel haben einen Jungen und ein Mädchen.
Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der gezogenen Familie das zweite Kind ebenfalls ein Junge ist, …?
Nimm 1000 Familien mit zwei Kindern.
Dann hast Du
250 * 2 Mädchen
250 * 2 Jungs
500 * 1 Mädchen, 1 JungeSoweit einverstanden?
Eben nicht, weil das ein anderes Problem repräsentiert. Deine Auswahlmenge ist nicht die Menge aller Familien mit zwei Kindern, sondern die Menge aller Familien mit zwei Kindern, von denen mindestens eins ein Junge ist.
Grüße
Eric
Deine Auswahlmenge ist nicht die Menge aller Familien mit zwei
Kindern, sondern die Menge aller Familien mit zwei Kindern,
von denen mindestens eins ein Junge ist.
Und wie setzt sich diese Menge zusammen?
Gruß,
KHK