Paradoxon bei der Bewegungsenergie

Wissenschaft Physik
#1

Hallo,

ich bin auf ein einfaches Gedankenspiel gestoßen, welches ein komisches Paradoxon hervorruft. Vielleicht könnt ihr mir ja meinen Denkfehler erklären:

Wenn ein Auto A mit 200 km/h in ein stehendes Auto B fährt, dann ist die Aufprallenergie doch viermal so hoch, wie wenn es mit 100 km/h in das stehende Auto knallt. Um das Auto A auf 200 km/h zu beschleunigen ist ja auch viermal so viel Energie notwendig, wie um es auf 100 km/h zu beschleunigen.

Jetzt nehme ich aber an, dass beide Autos mit je 100km/h aufeinander zufahren und dann zusammenprallen. Die Geschwindigkeit relativ zueinander ist 200 km/h, also das gleiche, wie wenn obiges Auto mit 200 km/h in ein stehendes fährt.
Nun fahren die beiden Autos aber je 100 km/h, haben zusammen also nur doppelt so viel Energie zum Beschleunigen gebraucht, wie das obige Auto A mit 100 km/h, haben aber immer noch die vierfache Aufprallenergie.

Wie kann das sein, wo liegt da der Denkfehler?

Viele Grüße, tobi

#2

Guten Tag,
es gibt keinen Paradox. Du muss beide Energien zusammenaddieren, so wird es bei jedem Fall die gleiche Energiesumme ergeben. Ein Auto mit 200 hat vierfache Energie, zwei Autos mit 100 haben je Auto doppelte Energie, aber beide zusammen schon wieder vierfache Energie.

#3

Guten Tag,

zwei Autos mit 100 haben je Auto doppelte Energie, aber beide
zusammen schon wieder vierfache Energie.

Doppelte Energie bezüglich welcher Energie?

Gruß
Pontius

#4

Hallo,

Wie kann das sein, wo liegt da der Denkfehler?

Dein Denkfehler liegt darin, dass Du die unterschiedlichen Bezugssysteme nicht berücksichtigst. Kinetische Energie ist relativ. Im ersten Fall (ein Auto steht, das andere fährt) hast Du richtig die Energie des einen Autos in Bezug auf das andere berechnet, denn Erde und dazu stehendes Auto sind gleichwertig. Im anderen Fall hast Du aber die Beschleunigung der Autos in Bezug auf die Erde berechnet und später dann die Energie betrachtet, die sie in Bezug zueinander besitzen. Das ist aber nicht das gleiche.
Gruß
loderunner

#5

Hi,

eine interessante Idee. Es ist so:
Nehmen wir einmal an, wir betrachten ein und das selbe Ereignis auf zwei Weisen:
Einmal sagen wir, okay, zwei Massen fliegen mit 100 km/h auf einander zu. Beim Stoß sind ihr Impuls und ihre kinetische Energie erhalten. Die Massen prallen aufeinander und übertragen Impuls und Energie.
Das sieht so aus (t sei ein Zeitpunkt vor dem Stoß, T nach dem Stoß):

p_1(t) = mv_1(t) sei also der Impuls des Teilchens 1 zum Zeitpunkt t. generell gilt:

p_1*(T) = mv_1*(T) ist nun der Impuls des Teilchens 1 nach dem Stoß (zum Zeitpunkt T).

Analog die Energie mit E_1(t) = 0,5 m v^2(t) usf.
Es muss gelten:

E_1(t) + E_2(t) = E_1(t) = E_1*(T) + E_2*(T)
p_1(t) + p_2(t) = E_2(t) = p_1*(T) + p_2*(T)

Wenn wir jetzt aber einfach einsetzen könnten, erhielten wir dein Resultat: w_1(t) = v_1(t)/2 ,w_2(t) = v_1(t)/2. Denn dann erhielten wir ja:

0,25 E_1(t) + 0,25 E_1(t) = 0,5 E_1(t) = E_1*(T) + E_2*(T)
0,25 p_1(t) + 0,25 p_1(t) = p_1*(T) + p_2*(T)

Dies ist jedoch leider so nicht ganz richtig, weil die rechte Seite dieser Gleichungen sich verändert. Diese Veränderung entspricht einer Translation (Verschiebung) des Koordinatensystems. Diese Translation hat Geschwindigkeit, verändert also im Allgemeinen alle Impulse. Wir haben die linke Seite schon richtig motiviert umgeformt, aber die rechte nicht, weil es uns nicht sofort einleuchtet.

Nehmen wir an, unser Ereignis geht so aus, dass beide mit gleicher Geschwindigkeit von einander wegfliegen in der Beschreibung mit zwei 100 km/h Teilchen. Wenn wir uns jetzt vorstellen, wir beobachten diesen Crash von einem fahrenden Zug aus, der so schnell ist, wie eines der Teilchen nach dem Crash. Was sehen wir? Wir sehen nicht zwei Teilchen, die sich mit gleicher Geschwindigkeit entfernen, sondern eines, das sich mit doppelter Geschwindigkeit entfernt und eines, das ruht.
Rechne mal für diesen Fall nach, du wirst sehen, dass die rechte Seite der Gleichung diesen 2 Faktor gerade kompensiert.

Naja, was bedeutet, dass die Aufprallenergie höher ist? Sie ist in deinem einem System vom Zahlenwert höher als im anderen, aber die relativen Energien aller deiner Teilchen im System bleiben im gleichen Verhältnis (sowas nennt man eine symmetrieerhaltende Transformation: einen Automorphismus hier ). Nichts am Universum ändert sich durch diese Transformation [und als Link: In der Relativitätstheorie benutzen wir einen anderen Automorphismus, die Lorentztransformation, unter der sich auch nichts ändert, wenn man die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit annimmt].

>Grüße
Frosch

#6

Hi,

Es ist so:
Nehmen wir einmal an, wir betrachten ein und das selbe
Ereignis auf zwei Weisen:
Einmal sagen wir, okay, zwei Massen fliegen mit 100 km/h auf
einander zu. Beim Stoß sind ihr Impuls und ihre kinetische
Energie erhalten.

Was hat das mit dem Beispiel von „tobi“ zu tun?
Wenn zwei Pkw mit gleicher Masse und Geschwindigkeit frontal zusammenstoßen oder ein Pkw gegen eine Betonwand fährt, wird doch wohl deren kinetische Energie nicht erhalten bleiben, oder?

Gruß
Pontius

#7

Ja, ist ein komischer Vergleich, weil die Betonwand sich ja nicht bewegt. In dem Fall wird die kinetische Energie in thermische Energie und Zuerquetschungsenergie im Auto umgewandelt.
Es ist also kein gutes Beispiel. Die energetischen Betrachtungen behalten jedoch Gültigkeit (die Energiegleichungen stimmen, musst dann halt nur die richtigen Energieformen einsetzen).
Ich habe angenommen, dass die gesamte Energie in Bewegung umgesetzt wird (inelastischer Stoß) damit die Transformation rechts sichtbar wird. Im allgemeinen Fall müssten auch noch Reibungsenergie und Wärmeenergie des Ereignisses transformiert werden. Aber ich denke, diese Überlegungen zeigen, dass die im Stoß umgesetzte Energie erhalten bleibt.

Grüße

Frosch

#8

Die energetischen Betrachtungen behalten jedoch Gültigkeit (die
Energiegleichungen stimmen, musst dann halt nur die richtigen
Energieformen einsetzen).

Trotzdem verstehe ich deine Rechnung nicht.

Wieso ist

E_1(t) + E_2(t) = E_1(t) wenn 2 Massen aufeinander zufliegen?

Das würde doch bedeuten, dass E_2 (t) = 0 ist.

p_1(t) + p_2(t) = E_2(t)

Wieso setzt du hier Impulse und Energie gleich? Die Gleichung kann doch gar nicht stimmen, diese Größen haben doch unterschiedliche Einheiten.

Wenn wir jetzt aber einfach einsetzen könnten, erhielten wir dein Resultat: :w_1(t) = v_1(t)/2 ,w_2(t) = v_1(t)/2.

Was ist „w“?

Ich habe angenommen, dass die gesamte Energie in Bewegung
umgesetzt wird (inelastischer Stoß) damit die Transformation
rechts sichtbar wird.

Du meinst wohl elastischer Stoß.

#9

Wieso ist

E_1(t) + E_2(t) = E_1(t) wenn 2 Massen aufeinander zufliegen?

Das würde doch bedeuten, dass E_2 (t) = 0 ist.

p_1(t) + p_2(t) = E_2(t)

Die Impulsgleichung lautet dann: p_1(t) + p_2(t) = p_2(t)

Das wäre so, wenn man die Impulsbilanz falsch aufstellt. Diese Gleichung gilt nicht. Aber diese gilt eigentlich:

Richtige Gleichung:
p_1(t) + p_2(t) = p_1*(T) + p_2*(T)

Wenn unser System so ist, dass p_2*(T) = 0 (können wir so wählen), dann ist p_1*(T) nicht p_2(t).

Wenn wir jetzt aber einfach einsetzen könnten, erhielten wir dein Resultat: :w_1(t) = v_1(t)/2 ,w_2(t) = v_1(t)/2.
Was ist „w“?

Ich wollte nicht so viele Indizes benutzen, da hab ich mit w die Geschwindigkeit in dem Koordinatensystem bezeichnet, in welchem die Geschwindigkeiten genau halb so groß sind wie die eines 200 km/h schnellen Teils.

Ich habe angenommen, dass die gesamte Energie in Bewegung
umgesetzt wird (inelastischer Stoß) damit die Transformation
rechts sichtbar wird.
Du meinst wohl elastischer Stoß.

Si, Senor

#10

Ganz einfache Erklärung
Hallo!

Man muss unterteilen nach Wärmeenergie und Kinetischer Energie.

Nehmen wir an, ein Auto mit 200 hat 4 Einheiten kinetische Energie.

Prallt es gegen ein stehendes, werden aber NICHT alle 4 Einheiten in Wärme umgewandelt.

Statt dessen werden 2 Einheiten in Wärme umgewandelt und 2 Einheiten bleiben als kinetische Energie übrig, weil die Autos sich weiterbewegen.

Wegen der Impulserhaltung.

Ich setze zur Vereinfachung einen völlig unelastischen Stoß und null Bodenhaftung voraus.

Ein Auto mit 100 hat 1 Einheit kinetische Energie. Ein zweites Auto mit 100 hat ebenfalls 1 Einheit kinetische Energie. Wenn sie zusammenprallen, werden die 2 Einheiten in Wärme umgewandelt.

Das scheinbare Paradox:

Obwohl nur halb so viel kinetische Energie zur Verfügung stand, ist die Menge an enstandener Wärme gleich.

War das verständlich?

Grüße

Andreas

#11

Hallo!

Nehmen wir an, ein Auto mit 200 hat 4 Einheiten kinetische
Energie.
Prallt es gegen ein stehendes, werden aber NICHT alle 4
Einheiten in Wärme umgewandelt.
Statt dessen werden 2 Einheiten in Wärme umgewandelt und 2
Einheiten bleiben als kinetische Energie übrig, weil die Autos
sich weiterbewegen.

Ich denke, „tobi“ hat für den stehenden Pkw eine unendlich große Bodenhaftung angenommen. Dann würde er sich ja nicht bewegen.

Das scheinbare Paradox:

Obwohl nur halb so viel kinetische Energie zur Verfügung
stand, ist die Menge an enstandener Wärme gleich.

Bei deinen Beispielen - obwohl nicht sehr realistisch, so ganz ohne Verformung - kann ich weder einen tatsächlichen, noch einen scheinbaren Widerspruch erkennen, denn in deinem 1. Beispiel hattest du ja nach dem Zusammenstoß sowohl Wärmeenergie als auch kinetische Energie, während du in deinem 2. Beispiel nur Wärmeenergie hattest.
Halb soviel Energie wurde in halb soviel Energie umgesetzt.

Gruß
Pontius

#12

Hallo!

Ich denke, „tobi“ hat für den stehenden Pkw eine unendlich große Bodenhaftung angenommen.

Das darf man nicht, denn:

Dann würde er sich ja nicht bewegen.

Ein „Auto“ muss sich aber bewegen können, sonst wäre es kein Auto.

Bei deinen Beispielen - obwohl nicht sehr realistisch, so ganz ohne Verformung

Von „ohne Verformung“ war darin keine Rede.

in deinem 1. Beispiel hattest du ja nach dem Zusammenstoß sowohl Wärmeenergie als auch kinetische Energie, während du in deinem 2. Beispiel nur Wärmeenergie hattest.

Richtig. Und das ist so, weil das Gesetz der Impulserhaltung gilt.

Halb soviel Energie wurde in halb soviel Energie umgesetzt.

Genau. Und das hat der UP offenbar übersehen.

Grüße

Andreas

#13

Hallo nochmal!

Man kann das auch durch unterschiedliche Bezugssysteme erklären.

Nehmen wir an, zwei Autos fahren in entgegengesetzter Richtung mit jeweils 100 relativ zur Erde.

Aus der Sicht eines stehenden Beobachters sieht es so aus:

Jedes Auto hat 1 Einheit kinetische Energie, sie prallen zusammen, und die 2 Einheiten werden in Wärme umgesetzt. Rest 0.

Aus der Sicht eines Autofahrers, der mit 100 an dem Ereignis vorbeifährt, sieht das SELBE Ereignis etwas anders aus:

Eins der Autos bewegt sich mit ihm mit, steht also aus seiner Sicht still, hat also aus seiner Sicht 0 Einheiten kinetische Energie. Das andere Auto bewegt sich auf ihn zu, fährt also aus seiner Sicht 200, hat also aus seiner Sicht 4 Einheiten kinetische Energie. Sie prallen zusammen, wobei natürlich die gleiche Menge Wärme umgesetzt wird, kann ja nicht anders sein, 2 Einheiten nämlich.

Wo ist der Rest geblieben?

Da der Beobachter weiterhin mit 100 fährt, sieht er die Autos, die jetzt relativ zur Straße still stehen, sich mit 100 relativ zu ihm nach hinten bewegen. Sie haben also aus seiner Sicht zusammen 2 Einheiten kinetische Energie. Obwohl sie relativ zur Straße 0 haben.

Grüße

Andreas

#14

Ich denke, „tobi“ hat für den stehenden Pkw eine unendlich große Bodenhaftung angenommen.

Das darf man nicht, denn:

Dann würde er sich ja nicht bewegen.

Ein „Auto“ muss sich aber bewegen können, sonst wäre es kein Auto.

Wenn das Auto mit Abstand=0 vor einer stabilen Betonwand steht, wäre es dann kein Auto mehr bzw. wohin sollte es sich bewegen?
Gibt es denn ein Auto mit null Bodenhaftung, so wie du es in deinem Beispiel angenommen hast?

Bei deinen Beispielen - obwohl nicht sehr realistisch, so ganz ohne Verformung

Von „ohne Verformung“ war darin keine Rede.

„Ein Auto mit 100 hat 1 Einheit kinetische Energie. Ein zweites Auto mit 100 hat ebenfalls 1 Einheit kinetische Energie. Wenn sie zusammenprallen, werden die 2 Einheiten in Wärme umgewandelt.“

Gem. dieser Aussage von dir werden 2 Einheiten kinetische Energie in 2 Einheiten Wärme umgewandelt.
Dann bleibt ja wohl für die Verformung keine Energie mehr übrig, oder?

#15

Hallo!

Wenn das Auto mit Abstand=0 vor einer stabilen Betonwand
steht.

Dann stimmt das ganze Beispiel nicht mehr, weil in dem Fall die Energieumsetzung anders wäre.

Gibt es denn ein Auto mit null Bodenhaftung, so wie du es in
deinem Beispiel angenommen hast?

Ja. Aber selbst wenn sie nicht null wäre, könnte man sie vernachlässigen, weil sie im Vergleich zu den Aufprallkräften nicht ins Gewicht fällt.

Dann bleibt ja wohl für die Verformung keine Energie mehr
übrig, oder?

Entsteht Wärme nicht DURCH Verformung?

Grüße

Andreas

#16

Gibt es denn ein Auto mit null Bodenhaftung, so wie du es in
deinem Beispiel angenommen hast?

Ja. Aber selbst wenn sie nicht null wäre, könnte man sie
vernachlässigen, weil sie im Vergleich zu den Aufprallkräften
nicht ins Gewicht fällt.

Wenn die Haftreibung = 0 wäre, würde es sich dann nicht um einen elastischen Stoß handeln, wenn ein fahrendes auf ein stehendes, gleich schweres Auto auffährt und würde dann nicht die gesamte kinetische Energie des einen Autos auf das andere als kinetische Energie übertragen werden? Dann würde sich doch keine kinetische Energie in Wärme- und/oder Verformungsenergie umwandeln, oder?

Dann bleibt ja wohl für die Verformung keine Energie mehr
übrig, oder?

Entsteht Wärme nicht DURCH Verformung?

Wenn ich mit einem 2t-Auto mit 200km/h gegen eine Wand fahren würde und die gesamte kinetische Energie würde nur in Wärmeenergie umgewandelt werden, müsste es nicht in der näheren Umgebung des Unfalls zu einer spürbaren Temperaturerhöhung kommen?

#17

Hallo!

Wenn die Haftreibung = 0 wäre, würde es sich dann nicht um einen elastischen Stoß handeln, wenn ein fahrendes auf ein stehendes, gleich schweres Auto auffährt und würde dann nicht die gesamte kinetische Energie des einen Autos auf das andere als kinetische Energie übertragen werden?

Wenn das Auto aus absolut elatischem Federstahl bestünde, ja. Wenn es aus absolut unelastischem Blech besteht, nein.

Dann würde sich doch keine kinetische Energie in Wärmeenergie umwandeln, oder?

Bei einem elastischen Stoß nicht. Bei einem unelastischen doch.

Wenn ich mit einem 2t-Auto mit 200km/h gegen eine Wand fahren würde und die gesamte kinetische Energie würde nur in Wärmeenergie umgewandelt werden, müsste es nicht in der näheren Umgebung des Unfalls zu einer spürbaren Temperaturerhöhung kommen?

Kaum. Die kinetische Energie beträgt ca. 6 Megajoule. Damit kann man 2 Tonnen Eisen (Wärmekapazität 449 J/kg/K) um ca. 7 Grad erwärmen. Falls ich mich nicht verrechnet habe, Mathe ist leider nicht mein Ding.

Grüße

Andreas

#18

Wenn die Haftreibung = 0 wäre, würde es sich dann nicht um einen elastischen Stoß handeln, wenn ein fahrendes auf ein stehendes, gleich schweres Auto auffährt und würde dann nicht die gesamte kinetische Energie des einen Autos auf das andere als kinetische Energie übertragen werden?

Wenn das Auto aus absolut elatischem Federstahl bestünde, ja.
Wenn es aus absolut unelastischem Blech besteht, nein.

Das verstehe ich nicht. In deinem Beispiel wird ja ein Teil der kinetischen Energie in Wärme umgewandelt, obwohl die Haftreibung = 0 ist.
Wenn dein Auto aber aus unelastischem Blech besteht, müsste es sich ja bleibend verformen, damit die entsprechenden Einheiten Wärmeenergie entstehen können. Für eine Verformung brauche ich aber eine Kraft, die der Haltekraft entgegenwirkt. Da die Haltekraft aber 0 ist, weil die Haftreibungszahl=0 ist, (Haltekraft=Haftreibungszahl*Normalkraft) wird doch eine Kraft, die auf das Auto wirkt, vollständig in Bewegung umgesetzt —> keine Verformung, keine Erwärmung.

Wenn ich mit einem 2t-Auto mit 200km/h gegen eine Wand fahren würde und die gesamte kinetische Energie würde nur in Wärmeenergie umgewandelt werden, müsste es nicht in der näheren Umgebung des Unfalls zu einer spürbaren Temperaturerhöhung kommen?

Kaum. Die kinetische Energie beträgt ca. 6 Megajoule. Damit
kann man 2 Tonnen Eisen (Wärmekapazität 449 J/kg/K) um ca. 7
Grad erwärmen. Falls ich mich nicht verrechnet habe, Mathe ist
leider nicht mein Ding.

Wenn ich mit E = 1/2 m * v^2 rechne, komme ich auf die Hälfte, entsprechend 3-4°.

#19

Hallo!

Das verstehe ich nicht. In deinem Beispiel wird ja ein Teil
der kinetischen Energie in Wärme umgewandelt, obwohl die
Haftreibung = 0 ist.

Ja. Mit Haftreibung meine ich, wie stark das Auto an der Straße haftet.

Wenn dein Auto aber aus unelastischem Blech besteht, müsste es
sich ja bleibend verformen, damit die entsprechenden Einheiten
Wärmeenergie entstehen können.

Genau.

Für eine Verformung brauche ich aber eine Kraft, die der Haltekraft entgegenwirkt.

Die Kraft wirkt in diesem Fall nicht der Haltekraft entgegen, sondern der Trägheit.

Vielleicht hast du schon mal bei einem Stunt oder bei Cobra 11 gesehen, wie zwei fliegende Autos zusammenstoßen. Die verformen sich auch, obwohl sie keine Haftung zur Straße haben.

Wenn ich mit E = 1/2 m * v^2 rechne, komme ich auf die Hälfte,
entsprechend 3-4°.

Richtig. Ich hatte das „1/2“ vergessen. Ich sage ja, Mathe ist nicht mein Ding.

Grüße

Andreas

#20

Hallo,

Statt dessen werden 2 Einheiten in Wärme umgewandelt und 2
Einheiten bleiben als kinetische Energie übrig, weil die Autos
sich weiterbewegen.

Wegen der Impulserhaltung.

Ach? Und die gilt nicht, wenn die Geschwindigkeit geringer ist? Wie zum Beispiel bei einem Parkrempler?
Und sie sie gilt auch nicht, wenn bei einem völlig elastischen Stoß (Billiardkugeln) gar keine Energie in Wärme umgewandelt wird?

Irgendwie greift Deine Begründung offensichtlich etwas zu kurz.
Gruß
loderunner