Aufpassen solltest du bei der Schuhwahl auf jeden Fall, dass du keinen Walkingschuh nimmst, den da bekommst du Probleme mit der Sohle. Der Schuh sollte auf jeden Fall ausreichendes Profil haben.
Dann spielt die Höhe noch eine Rolle. Richtige Halbschuhe würde ich in den Alpen nicht empfehlen, du brauchst auch einen Schutz des Knöchels und den Halt. Das bieten allerdings auch halbhohe Schuhe und dann gibt es die, die Jule verlinkt hat, dass ist die Kategorie „Stiefel“. M.E. hängt das auch davon ab, wie du die Schuhe weiter verwenden willst und was du gewöhnt bist. Wenn du sonst nur in der Stadt läufst und solche hohen Schuhe nicht gewöhnt bist, dann reichen vielleicht die halbhohen. Wenn dir das nichts ausmacht und du auch sonst mal im Gelände unterwegs bist und / oder auch einen solchen Schuh im Winter bei Schnee anziehst, dann würde ich zur höheren Variante raten.
Daran merkst du aber auch: Anprobieren ist ein Muss. Für den Laufspass empfehle ich dringend den Fachhandel, der möglichst auch ausgestattet sein sollte mit einer Trainingsstrecke für unwegsames Gelände und Steigung, damit du ordentlich probieren kannst. Nichts verleidet mehr den Laufspaß als ein Schuh, der schmerzt.
Bei 50 € sehe ich schwarz, aber für rund 100 € bekommt man schon gute Schuhe, besonders dann, wenn man auch Modelle vom Vorjahr akzeptiert (die sind auch manchmal für rund 80 € zu haben). Marke, da schließe ich mich an, ist viel auch Geschmacksache, ich würde aber zu den klassischen Wandermarken raten und nicht auf Sportschuhhersteller gehen.
Stöcke: Da ist zu unterscheiden, welche Stöcke gemeint sind. Das, was die Leute so sinnfrei hinterher schleifen, sind Nordic Walking-Stöcke. Die brauchst du nicht. Was du, wenn, brauchst, sind wirkliche Trecking- oder Wanderstöcke. Die zeichnen sich in erste Linie durch einen anderen Griff aus, der so geformt ist, dass man sich auch abstützen kann.
Solltest du Probleme mit den Gelenken, Bändern haben, dann sind die Stöcke besonders beim Bergabgehen höchst komfortabel, wenn man einmal weiß, damit umzugehen. Teleskop würde ich auch von abraten, wobei ich das Problem eher kenne, dass sie nicht zu locker, sondern zu fest sitzen und man sie so gar nicht mehr auf bekommt. Vielleicht hast du die Möglichkeit, dir Stöcke zu leihen. Denn auch bei den Stöcken sollte man nicht zu billig gehen, dann lieber ohne.