Liebes Forum,
Ich habe einen affinen Unterraum H aus R^n und eine Kongruenzabbildung von R^n in R^n. Zeigen möchte ich dass
Die Hintereinanderausführung von erstens Spiegelung an H und zweitens T gleich der Hintereinanderausführung von erstens T und zweitens der Spiegelung an T(H) ist. Verwenden darf ich, dass T(H) wieder ein affiner Unterraum ist.
Ich hoffe sehr auf eure Ideen. Die Aufgabe konnte bislang keiner meiner Kollegen lösen.
Viele Grüße
Catrin
Hallo,
öhm, werden die Aufgaben schwerer oder leichter? Genau das haben wir doch vor zwei Wochen noch allgemeiner gelöst. Also für mich wäre folgendes okay:
- Darstellung eines a aus A als: a = a_perp + a_para, d.h. zerlege A in die direkte Summe von H_perp (Vektoren senkrecht zu H) und H.
- Spiegelung: R(a) := -a_perp + a_para
- T(R(a)) = T(-a_perp + a_para) = -T(a_perp) + T(a_para) = R(T(a))
Zu zeigen bleibt: T(H_perp) perp T(H), (T(H_perp) steht senkrecht auf T(H)). Tipp hier: T zerlegen.
Ich habe es gestern noch gelöst, konnte aber meine Anfrage hier nicht löschen. 
Ich habe aber noch eine andere Aufgabe passend zum Thema:
Wir haben zwei parallele Hyperebenen (also affine Unterräume mit gleichem Untervektorraum). Es soll gezeigt werden, dass T genau dann eine Kongruenzabbildung ist (Äquivalenz), wenn T als Verkettung von zwei Spiegelungen an zueinander parallelen Hyperebenen (a+U und b+U) dargestellt werden kann.
Rückrichtung:
bezeichne S als Spiegelungen und t als Verschiebung, ° als Verkettung
S_a°S_b = (t_a°S_U°t_-a)°((t_b°S_U°t_-b)
Wie komme ich hier weiter bis hin zu einer Kongruenzabbildung T=f+q (f orth. Abb)?
Für die Hinrichtung muss ich mir T=f+q zu einer Verkettung der beiden Verschiebungen bauen, hier fehlt mir die Idee (bislang Wissen), wie ich das machen kann.
Ich bitte um Unterstützung bei diesem Äquivalenzbeweis.
Danke
Catrin
Uff, das ist schon schwieriger. Was ich sofort zeigen könnte: Zwei Spiegelungen an parallelen Unterräumen <=> Translation. Zwei Spiegelungen an zwei nicht-parallelen Unterräumen mit gleichem Stützvektor <=> Rotation.
Würde mich echt interessieren, ob das so wie geschrieben wirklich stimmt. Auf die Konstruktion wäre ich gespannt.
Außerdem würde ich die Spiegelung S_a*S_b als Wirkung auf einen Vektor w = v+u (mit u aus U) schreiben, dann ist S_b(w) = (t_a S_U t_-a)(v+u) = t_a S_U(v) t_-a + t_a S_U(u) t_-a = t_a S_U(v) t_-a + t_a u t_-a (wegen S_U(u) = u) und S_a(S_b(w)) mit derselben Argumentation = t_b t_a S_U(S_U(v)) t_-a t_-b + t_b t_a u t_-a t_-b … sieht schon mal so aus wie T = f+q, aber ab hier, wie gesagt, das Problem, daß zwar S_U S_U (v) orthogonal ist, aber nicht jede orthogonale Abbildung als Doppelreflektion am gleichen Unterraum geschrieben werden kann … zumindest wüßte ich jetzt nicht, wie ich das beweisen sollte.
bei der ersten Spiegelung hast du S_b geschrieben, meinst aber S_a?
Du dröselst u+v auf wegen Linearität?
Ich meinte S_b, denn S_a * S_b ist S_a(S_b(w)). t_a mit t_b ersetzen und umgekehrt.
Ich drösele das in v+u auf mit v aus V und u aus U, weil S_U(u) = S_U(S_U(u)) = u. Dann hat man dort schonmal kein Problem. Aber das kann auch die falsche Darstellung sein. Allgemein steht:
S_a(S_b(w)) = t_a t_b S_U S_U (w) t_-b t_-a
ich wollte nur darauf hinaus, daß man besser die Wirkung auf w notiert, statt der Operatoren. Wie kommst Du sonst von t_a S_U t_-a t_b S_U t_-b zu t_a t_b S_U^2 t_-b t_a. Klar Translation sind eine kommutative Grupe, aber Translationen und Reflektionen sind antikommutativ. Also t S = -S t, aber das auch noch zu beweisen, wollte ich mir sparen. (Ist aber auch nicht schwer).
Warum ersetzt du t_a mit t_b?
Ich habe es tatsächlich falsch aufgeschrieben oben, ich meinte S_b, habe aber S_a ausgeschrieben. Deswegen gedanklich a und b vertauschen.
Ich hab da auch einen Schreibfehler. Ich bezeichne die Hyperebenen mit A und B
und dann heißen die Spiegelungen S_A= t_a°S_U°T_-a …
Ich muss mich komplett korrigieren, das ist mir wirklich peinlich. Zu beweisen ist tatsächlich: Zwei Spiegelungen an parallelen Unterräumen <=> Translation. Ich hab mich da in meinem Aufgabendschungel komplett vertan.
Kannst du mir das bitte zeigen?
Danke für deine Geduld
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Ich wollte schon sagen. Die Hinrichtung ist einfach (in meiner Notation zumindest, mittlerweile weiß ich auch wie man Symbolik hier reinbringt):
- Schreibe w als w = a + (w - a) und sei x = x⊥ + x∥ die Zerlegung in Perpendikular- und Parallelteil.
- S_A(w) = a - (w-a)⊥ + (w-a)∥ = a - w⊥ + a⊥ + w∥ - a∥ = 2a⊥ - w⊥ + w∥
- (wieder mit b-b erweitern): S_A(w) = b + (2a⊥ - w⊥ + w∥ - b)
- S_B(S_A(w)) = S_B(b + (2a⊥ - w⊥ + w∥ - b)) = b - (2a⊥ - w⊥ + w∥ - b)⊥ + (2a⊥ - w⊥ + w∥ -b)∥ = b - 2a⊥ + w⊥ + b⊥ + w∥ - b∥ = 2b⊥ - 2a⊥ + (w⊥ + w∥) = 2((b-a)⊥) + w
Also, Spiegelung an A, dann B ist wie Verschiebung um 2-mal den Abstand zwischen A und B in dazu senkrechter Richtung.
Die Umkehrung fummelt man sich im Prinzip so hin. Also zu gegebener Verschiebung konstruiert man den Raum senkrecht dazu, nennt ihn U, und dann baut man zwei Stützvektoren, der eine bei einem Viertel der Strecke (dein b) der Verschiebung, der andere bei drei Vierteln (a), natürlich der Einfachheit halber liegen a und b auf der Geraden durch w und w+x.
Also ich weiß nicht, ob es reicht, mir würde es reichen, zu gegebenen w und gegebener Translation die zwei Stützvektoren anzugeben. In S_B*S_A wie oben eingesetzt, sollte ja die Translation herauskommen.
- Sei t(w) := w + x
- a := w + 1/4x + x⊥, b:= w + 3/4x + x⊥
- S_B(S_A(w)) = x + w (wegen oben, und x⊥⊥ = x)
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Da muss ich mich erstmal reinfuchsen.
Wir haben jedes x als Summe aus u1 + u2 dargestellt, wobei u1 aus U ist und u2 aus dem Orthogonalkomplement von U. Bereits bei 2. scheitere ich, ich bekomme
S_A (w) =(t_a°S_U°t_-a)(w) nicht mit dem von dir Geschriebenen zusammen. Woe ist das zu verstehen?
Ich habe jetzt genau so wie X a und b in U-Teil und U-Komplementteil aufgedröselt und dann die lange Kette der Hintereinanderausfphrungen gerechnet und komme am Ende auf u_1+u_2+2a_2-2b_2, d.h. zweimal den Abstand zwischen den zwei Hyperebenen. Diese Richtung habe ich damit.
Ja, das ist das Gleiche. Ich habe die Translationen additiv geschrieben, Du als Operator. t_a(w) := w + a. Damit ergibt sich meine Darstellung. S_A(w)ich = a + S_U(w - a) = t_aS_Ut-a(w) (Du).
Ich schreib’s nochmal auf:
- S_A(w) = t_aS_Ut_-a(w) = t_aS_Ut_-a(w⊥+w∥) = t_a*(-t_-a(w⊥)+t_-a(w∥)) …
Genau. Sehr gut. Die Rückrichtung ist in meinen Augen die Konstruktion von zwei affinen Räumen und Einsetzen, um zu prüfen, ob diese wieder die Translation ergeben.
Geht es nicht einfach rückwärts, indem ich mit eine Verschiebung hernehme und das ganze rückwärts aufschreibe?
aus 2((a-b)_2) + w auf zwei Spiegelungen, noch dazu am Raum a⊥=b⊥ zu schließen, ist schon gewagt. Probiere es, aber diese ganze Terme, die deswegen wegfallen, weil <a_1,a_2>=0 (Skalarprodukt _1, _2 wie bei Dir)
ja, das stimmt. Vielleicht komme ich anders zurück.