Hallo, ihr Mathe-Cracks,
ich wüsste gern: Gibt es eine Zahl mit elf Teilern? Und falls nein: warum nicht?
Danke im Voraus!
madrom
Moin,
ich wüsste gern: Gibt es eine Zahl mit elf Teilern?
2 * 3 * 5 * 7*11*13*17*19*23*29*31
wie die Zahl lautet, musst Du Dir schon selber ausrechnen.
Gandalf
Hallo madrom
Gandalf hat die Antwort ja schon in genialer Einfachheit gegeben: Bilde einfach eine Zahl aus dem Produkt von 11 Teilern (= Primzahlen).
Übrigens gibt es nicht nur eine, sondern unendlich viele Zahlen mit genau 11 Teilern. Denn die Menge der Primzahlen ist unendlich, wie schon vor 2’300 Jahren Euklid bewiesen hat. Somit gibt es auch unendlich viele mögliche Produkte von elf Primzahlen.
Und somit gibt es sogar unendlich viele Zahlen mit jeder beliebigen Zahl von Teilern, z. B. unendlich viele Zahlen mit 26’382 Teilern, um mal eine völlig willkürlich gewählte Zahl zu nehmen…
Gruss
dodeka
Frage falsch verstanden?
Hallo Gandalf,
danke für die prompte Antwort. Ich verstehe sie aber nicht. Ich suche eine Zahl, die genau durch elf ganze Zahlen teilbar ist. Der kleinste Teiler ist dann natürlich 1, der größte entspricht der Zahl selbst. Soweit ich sehe, müsste es auf jeden Fall eine Quadratzahl sein, da jede andere Zahl eine gerade Teileranzahl hat.
Sorry, wenn ich mich nicht klar genug ausgedrückt habe. Für eine Antwort wäre ich aber dennoch weiterhin dankbar.
Gruß, madrom
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‚Gandalfsche Zahl‘
200’560’490’130
Ganz hübsche Zahl, finde ich, fast wie Sudoku.
„Gandalfsche“ hat 11 Buchstaben!
…ob man die wohl in die Wikipedia schmuggeln kann? 
Gruss
dodeka
Hallo dodeka,
auch dir danke. Aber dann bin ich vielleicht doch zu blöd, es zu verstehen. Gandalf nannte diese elf Teiler: 2 * 3 * 5 * 7*11*13*17*19*23*29*31. Nun sind da aber einerseits die 1 und die Zahl selbst nicht dabei, außerdem ist das Produkt ja auf jeden Fall auch noch durch 6 und 10 und 15 usw. teilbar, sodass viel mehr Teiler als 11 herauskommen.
Oder was habe ich da nicht verstanden?
Danke für (etwaige) Nachsicht mit einem totalen Nicht-Mathematiker.
Hallo madrom
Ich will Gandalf jetzt nicht vorgreifen, aber wo ich gerade noch am Computer sitze…
Ich suche eine Zahl, die genau durch elf ganze Zahlen teilbar ist.
Die hat dir Gandalf gegeben, nur nicht selbst ausgerechnet. Es ist 200’560’490’130.
Der kleinste Teiler ist dann natürlich 1,
Das zählt man aber nicht als Teiler, da 1 das neutrale Element der Multiplikation (und somit auch der Division) ist. Anders gesagt: Jede Zahl lässt sich durch 1 teilen, und das Resultat ergibt die Zahl selbst, daher ist das nicht interessant und wird nicht gezählt.
der größte entspricht der Zahl selbst.
Das ist das gleiche in Grün: jede Zahl, durch sich selbst geteilt ergibt 1, ist also uninteressant.
Aber auch mit deinen Voraussetzungen gibt es unendlich viele. Wir konstruieren dann einfach die Zahl als Produkt aus 9 Primzahlen und zählen speziell für dich die 1 und die Zahl selbst noch extra dazu, dann sind’s wieder 11. )
Gruss 
dodeka
Hallo dodeka,
ich hör’ gleich auf, aber erst einmal zitiere ich aus Wikipedia:
„Im mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie gibt die Teileranzahlfunktion an, wie viele Teiler eine natürliche Zahl hat; dabei werden die Zahl selbst und die Eins mitgezählt.“
Doch wie du selbst sagst, ist das im Ergebnis natürlich völlig wurscht. Mein Problem bleibt das, was ich auf deinen anderen Beitrag um 16:14 gepostet habe: Die Vielfachen der Primzahlen ergeben doch auch wieder Teiler, womit stets mehr als elf zusammenkommen.
Gruß,
madrom
Hallo,
natürlich sind 1 und die Zahl selbst Teiler der Zahl.
Teilbarkeit ist (zumindest in N) m.W. so definiert:
a ist Teiler von b, wenn es ein n Element N gibt, so dass die Gleichung
a*n=b
gilt.
Also sind 1 und b auch Teiler von b.
Wenn nicht grand nach Primteilern gefragt ist, was hier nicht der Fall zu sein scheint, ist 1024 die kleinste Zahl, die genau 11 Teiler. Und 60 ist die kleinste Zahl, die mindestens 11 (es sind 12) Teiler hat.
Grüße
powerblue
Ach soooooo…
Jetzt versteh ich. Interessantes Problem.
Es gibt aber unendlich viele Lösungen.
Zunächst einmal habe ich eine gefunden: 2^10 = 1024.
Macht elf Stück Teiler: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 und 1024.
Das Prinzip ist, anschaulich dargestellt, folgendes:
2^2 = 4, Teiler sind 1, 2, 4
2^3 = 8, Teiler sind 1, 2, 4, 8
2^4 = 16, Teiler sind 1, 2, 4, 8, 16
Man sieht, es kommt immer genau ein Teiler dazu, nämlich die nächste Zweierpotenz.
Somit kommt man von 2^(n-1) auf n Teiler (Teiler inklusive 1 und n definiert).
Das gleiche geht mit allen Primzahlen als Basis, also 3^(n-1), 5^(n-1), 7^(n-1) etc.
Konkret also
3^10 = 59049
5^10 = 9765625
7^10 = 282475249
Somit auch unendlich viele Zahlen mit 11 Teilern.
Einen lückenlosen mathematischen Beweis muss ich dir im Moment leider schuldig bleiben…
Lieben gruss
dodeka
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Hallo
natürlich sind 1 und die Zahl selbst Teiler der Zahl.
Du hast recht. Ich hatte wie Gandalf nur an Primzahlfaktoren gedacht. Aber ich hab’s dann doch verstanden und auch gelöst, siehe oben…
Gruss
dodeka
Moin,
also, Du wolltest eine Zahl mit 11 Teilern und die hast Du gekriegt.
Ich habe mich dazu entschlossen, elf Primzahlen zu nehmen, Du kannst meinetwegen auch elf man die 2 nehmen oder elf mal die 5, immer kriegst Du Zahlen mit der entsprechenden Anzahl von Teilern. Deine ursprüngliche Behauptung, es gäbe keine Zahlen mit elf Teilern ist somit widerlegt.
Die Vielfachen der Primzahlen
ergeben doch auch wieder Teiler, womit stets mehr als elf
zusammenkommen.
Das verstehe ich jetzt wieder nicht.
Gandalf
Hallo;
was er meinte, war:
Deine Zahl ist eben nicht nur durch die Primfaktoren teilbar, sondern z.B. auch durch 2*3, 2*5, 3*5 etc pp.
mfG
Somit kommt man von 2^(n-1) auf n Teiler (Teiler inklusive 1
und n definiert).Das gleiche geht mit allen Primzahlen als Basis, also 3^(n-1),
5^(n-1), 7^(n-1) etc.
Super Antwort, habe ich verstanden! Danke!
Hallo.
Ich hätte noch die 96 (2^5 * 3) zu bieten.
Teiler sind:
1
2, 4, 8, 16, 32
6, 12, 24, 48, 96
Allgemein sind auch alle Zahlen p^5 * q, mit p und q Primzahlen Zahlen mit genau 11 Teilern.
Sebastian.
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Moin,
Allgemein sind auch alle Zahlen p^5 * q, mit p und q
Primzahlen Zahlen mit genau 11 Teilern.
rein interessehalber; wie läßt sich so was beweisen?!
Gandalf
Ich hätte noch die 96 (2^5 * 3) zu bieten.
Teiler sind:
1
2, 4, 8, 16, 32
6, 12, 24, 48, 96
und wo bleibt die 3?
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Die 3 ist doch keine Zahl…
Hm, na ok, die hab ich wohl total vergessen. Dann ist meine „Lösung“ wohl doch keine.
Sebastian.
Hi
Allgemein sind auch alle Zahlen p^5 * q, mit p und q
Primzahlen Zahlen mit genau 12! Teilern.rein interessehalber; wie läßt sich so was beweisen?!
Das folgt eigentlich sofort aus der Definition der Teileranzahlfunktion.
\textrm{Ist }n = p_1^{\nu_1}\cdot \dots \cdot p_l^{\nu_l} \textrm{ die Primzahlzerlegung von } n,
\textrm{ so ist } \tau(n)=\prod_{i=1}^{l}(\nu_i+1)
Damit folgt auch sofort wie die gesuchten Zahlen mit genau 11 Teilern aussehen, nämlich
n = p^{10}, \quad p \textrm{ ist Primzahl}
Gruß
Sven
Primfaktoren und Teiler - Nachfrage
Tach Sven,
kurze Nachfrage:
Gilt das für die Zahl der Primfaktoren, oder die Zahl der Teiler?
60 z.B. hat die Primzerlegung
2 * 2 * 3 * 5
aber die Teiler
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60