Ziegenproblem

Wissenschaft Mathematik
#1

Hallo,

ich bin heute auf Wikipedia auf das „Ziegenproblem“ gestoßen (http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem) und habe dazu eine Frage. Ich muss vielleicht vorausschicken, dass die Logik nicht gerade mein bester Freund ist und ich seit der Schulzeit nicht mehr viel mit Mathematik zu tun hatte.

Es geht hier darum, dass bei einer Spielshow der Kandidat zwischen drei Türen wählen soll; hinter zweien befinden sich Ziegen, hinter einem das begehrte Auto. Der Kandidat gibt zuerst einen Tipp ab, aber die Tür wird noch nicht geöffnet; vorher öffnet noch der Moderator eine Tür, wobei er IMMER eine wählt, hinter der eine Ziege steht. Dann fragt er den Kandidaten, ob er bei seiner ursprünglichen Wahl bleiben oder wechseln möchte.

Frage: Ist es vorteilhaft, zu wechseln?

Antwort unter „der ausgeglichene Moderator“: Ja, ein Wechsel führt mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 zum Erfolg. Darunter gibt es eine recht anschauliche Erklärung mit Bildern, aber gerade diese Erklärung will mir nicht so recht einleuchten. Ich habe meine Schwierigkeiten mit den Fällen 2 und 6: Da MÖCHTE der Moderator eine bestimmte Tür öffnen, darf das aber nicht, weil sich dahinter das Auto befindet, also MUSS er sich doch für die andere Tür entscheiden.

Ich habe das Spiel so verstanden, dass der Moderator immer ganz genau weiß, was sich hinter den Türen befindet. Deshalb MÖCHTE er auch keine „falsche“ Tür öffnen, und es treten nur die Fälle 1, 3, 4 und 5 auf. Somit hätte der Kandidat am Schluss bloß eine fifty-fifty-Chance, dass ihn ein Wechsel zum Sieg führt.

Die 2/3-Wahrscheinlichkeit würde sich doch nur dann ergeben, wenn der Moderator erst - unwissend über das, was hinter den Türen ist - eine Wahl treffen würde, und wenn diese Wahl ungültig ist, würde sie automatisch geändert, oder so …?

Tut mir leid, falls dieser lange Text jetzt der totale Schwachsinn war :smiley: Ich glaube ja selbst, dass mein Ansatz falsch ist, würde mich aber freuen, wenn mir jemand erklären könnte, warum genau.

Liebe Grüße

#2

Ich stelle lieber eine eigene Erklärung vor…
Die Wahrscheinlichkeit, bei der ersten Wahl, das Auto zu treffen, ist 1/3. Zu 2/3 ist das Auto also hinter den beiden anderen Türen. Könnte man also auf beide Türen wechseln, hätte man zu 2/3 das Auto. Nur leider darf man nur eine Tür wählen. Der Moderator zeigt einem nun aber eine Tür der beiden, die eine Ziege „enthält“. Daher kann man also doch „auf beide Türen wechseln“, da hinter den beiden verblieben ja immer noch zu 2/3 das Auto ist.

Oder:
Fall 1: Man wählt beim ersten mal Ziege 1. Ziege 2 wird gezeigt, man wechselt zum Auto.
Fall 2: Man wählt Ziege 2 und wechselt zum Auto.
Fall 3: Man wählt das Auto und wechselt zu einer Ziege.

mfg,
Ché Netzer

PS: Was ist eigentlich, wenn man lieber eine Ziege hätte…?

#3

Hallo,

Ich habe das Spiel so verstanden, dass der Moderator immer
ganz genau weiß, was sich hinter den Türen befindet.

ja, richtig. Für den Moderator sind sozusagen alle Türen aus Glas, für den Kandidaten keine. Sonst könnte der Moderator seine Aufgabe, nach der ersten Kandidaten-Türwahl eine Tür zu öffnen, hinter der garantiert eine Ziege steht, ja auch gar nicht erfüllen.

Deshalb MÖCHTE er auch keine „falsche“ Tür öffnen, und es treten nur
die Fälle 1, 3, 4 und 5 auf. Somit hätte der Kandidat am
Schluss bloß eine fifty-fifty-Chance, dass ihn ein Wechsel zum
Sieg führt.

Der Moderator führt das Spiel nach den Regeln durch, die von der Regie vorgegeben sind. Eine davon besagt, dass er nach der ersten Kandidaten-Türwahl eine Tür öffnet, hinter der garantiert eine Ziege steht. Ebendies tut der Moderator. Damit diese Aufgabe für ihn in jedem Fall lösbar ist, braucht er die Information, hinter welcher Tür sich was befindet. Über dieses Wissen verfügt er (ein Assistent auf der anderen Seite der Türen könnte es ihm z. B. mit geheimen Handzeichen übermitteln).

Die 2/3-Wahrscheinlichkeit würde sich doch nur dann ergeben,
wenn der Moderator erst - unwissend über das, was hinter den
Türen ist - eine Wahl treffen würde, und wenn diese Wahl
ungültig ist, würde sie automatisch geändert, oder so …?

Nein, der Moderator ist wissend. Er wartet die erste Tür-Wahl des Kandidaten ab und öffnet dann eine Ziegen-Tür. Danach hat der Kandidat die Option, zur anderen geschlossenen Tür zu wechseln. Die Frage ist, wie hoch seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist, wenn er von dieser Wechseloption Gebrauch macht. Die Antwort ist 2/3. Bleibt er dagegen bei seiner ursprünglichen Tür, ist seine Gewinnwahrscheinlichkeit nur 1/3.

Gruß
Martin

#4

netten guten Abend!

Bei der Auswahl der ersten Tür ist Wahrscheinlichkeit zu 2/3 ungünstig die richtige Tür zu treffen und bleibt es ;
auch nachdem der Moderator eine falsche Tür geöffnet hat.

Es ist also zielführend, diese zu 2/3 ungünstige Tür gegen die verbliebene geschlossene Tür zu tauschen.

weiterhin einen guten Abend wünsch Peppperl

#5

1/2
Hallo,

Es ist also zielführend, diese zu 2/3 ungünstige Tür gegen die
verbliebene geschlossene Tür zu tauschen.

Das sehe ich anders…
Beim ersten Tipp habe ich 1/3 Chance, das Auto zu tippen, weiss es aber nicht.
Der Moderator oeffnet eine Tuer die KEIN Auto versteckt.
Wie ist die Situation jetzt:
In diesem Moment reduziert sich das Risiko der von mir gewaehlten Tuer auf 1/2, da ja nur noch 2 Tueren beteiligt sind.
Die dritte, weder von mir gewaehlte, noch vom Moderator geoeffnete Tuer kann zu 1/2 ebenso das Auto enthalten.

Das Oeffnen der Tuer durch den Moderator aendert die Sichtweise.

Gruss

Michael

#6

Hallo,

ich bin heute auf Wikipedia auf das „Ziegenproblem“ gestoßen
(http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem) und habe dazu
eine Frage.

dieses „Problem“ wird leider meist zu aufwändig (wie auch hier)
erklärt so daß die Verwirrung sich vermehrt oder bei manchen,
welche solchen „logischen“ Präsentationen nicht sofort folgen
können, erst auftritt.
Es ist einfach so, daß Du von drei Türen zwei wählen kannst durch
den Wechsel (bzw. eine ausschließen durch die Erstwahl)
Ist hinter einer der zwei das Auto, hast Du gewonnen, weil der
Moderator die Niete (Ziege) raus nimmt indem er dies „Nietentür“
bewußt öffnet.
Deine Chance ist also von vorn herein 2/3.(3:1)
Es ist genau so als wenn z.Bsp. 10 Türen da wären.
Du wählst zuerst eine Tür.Nach Aufforderung zu den neun anderen
wechselst,wobei der Moderator 8 davon öffnet immer wissend, daß
er eine Niete ausschließt.
Du hättest bei diese Sachlage eine Gewinnchance von 9:1.
Es ist also so, daß Du bei der ersten Auswahl immer die Tür wählst,
welche Du bestimmt nicht willst.
Bei 100 Türen entsprechend also nur eine ausschließen.
Die Chance, daß gerade hinter dieser Tür das Auto ist wäre 1:100.

Ich habe das Spiel so verstanden, dass der Moderator immer
ganz genau weiß, was sich hinter den Türen befindet.

So ist es.
Gruß VIKTOR

#7

Das Oeffnen der Tuer durch den Moderator aendert die
Sichtweise.

Eben nicht, da der Moderator ja weiss, wo das Auto ist, hat sein Türöffnen wahrscheinlichkeitstechnisch keinen Einfluss. Die zwei drittel bleiben also bei den zwei geschlossenen Türen. Nach dem Öffnen durch den Moderator also bei der letzten geschlossenen.

Gruss

T.

#8

Hallo Viktor,

das stimmt aber so nicht:

Deine Chance ist also von vorn herein 2/3.(3:1)

Nein!
Das nur, wenn Du zwei Tueren oeffnen haettest duerfen.

Es ist also so, daß Du bei der ersten Auswahl immer die Tür
wählst,
welche Du bestimmt nicht willst.

Auch falsch.

Es ist total egal, welche Tuer du als erst waehlst, denn Du kennst das Ergebnis noch nicht und die Vorbedingungen aendern sich voellig, wenn der Moderator beusst eine Tuer mit Ziege zeigt.

In jenem Moment - egal was Deine erste Wahl war - gibt es zwei Tueren, hinter denen der Gewinn stecken kann. Die Deiner ersten Wahl und die, die noch niemand gewaehlt hat.

Hinter jeder dieser Tueren kann das Auto stecken, die Wahrscheinlichkeit ist also je 1/2.
Bleibst Du bei Deiner Wahl hast Du exakt die selbe Chance, wie bei einem Wechsel!

Einzige Voraussetzung: Der Moderator zeigt IMMER eine Tuer mit Niete!

Gruss

Michael

#9

Eben nicht, da der Moderator ja weiss, wo das Auto ist, hat
sein Türöffnen wahrscheinlichkeitstechnisch keinen Einfluss.
Die zwei drittel bleiben also bei den zwei geschlossenen
Türen. Nach dem Öffnen durch den Moderator also bei der
letzten geschlossenen.

Eben nicht :wink:

Spar Dir den ersten Tipp.
Der ist „wahrscheinlichkeitstechnisch“ voellig ueberfluessig.

Situation:
Eine geoeffnete Tuer (durch Moderator)
Zwei Geschlossene Tueren hinter deren einer ein Gewinn liegt.
Du kannst jede der beiden geschlossenen Tueen waehlen.
(unerheblich, welche der beiden DU zuvor getippt hattest)

Jetzt erklaere mir bitte, wie Du bei einer AUswahl aus zwei Tueren hinter dern einer ein Gewinn liegt NICHT auf 50% kommst?

Dein Ansatz wuerde nur dann gelten, wenn der Moderator auch die von Dir getippte Tuer oeffnen koennte, ist aber per Beschreibung der Voraussetzungen ausgeschlossen!

Gruss

Michael

(PS.: Eben dieser Ansatz ist auch im WIKI-Link der Fragestellerin dargestellt!)

#10

genau eine?
Hallo Che,
wenn es genau eine sein soll musst Du wohl den Rest des VerkaufsErlöses der RostLaube anderweitig eliminieren :smile:

Alternativ: Umschulung zum Hirten

Freundliche Grüße
Thomas

#11

Hi.

Mal Dir doch mal den Entscheidungsbaum auf.
1,2,3 sind die Türen mit Auto oder Ziege
^: Deine erste Wahl
*: Diese Tür wird anschließend geöffnet, dann änderst Du Deine Wahl.

Die Fälle mit A hinter 2 bzw. 3 sind symmetrisch. Und jetzt sag mir, welchen Zweig ich vergessen habe.

 123
 AZZ <u>1/6</u> verloren
 / ^\*
 /
 123 / 123
 AZZ <u>1/3</u> --- AZZ <u>1/6</u> verloren
 / ^ ^ \*
 /
123 \_\_\_123 123
AZZ AZZ <u>1/3</u> --- AZZ <u>1/3</u> gewonnen
 \ ^ ^\*
 \
 123 123
 AZZ <u>1/3</u> --- AZZ <u>1/3</u> gewonnen
 ^ \*^

Gruß,
KHK

#12

Was ist eigentlich, wenn man lieber eine Ziege hätte…?

Dann wird´s schwierig:
WENN ich die selbe Tuer waehlen darf, wie der Moderator, dann habe ich eine Chance zu 100%
WENN nicht, dann bleibt´s bei 50%, ich laufe also 50% Gefahr, nur das Auto zu bekommen.

Ich denke, dass aber fuer einen solchen Fall hinter drei Tueren zwei Autos versteckt waeren und der Moderator die Tuer mit einem Auto oeffnet :wink:

#13

Die Fälle mit A hinter 2 bzw. 3 sind symmetrisch. Und jetzt
sag mir, welchen Zweig ich vergessen habe.

Du hast vergessen, dass die erste Wahl voellig unerheblich ist, denn sie ist keine Wahl sondern ein Tipp.
Kannst Du Dir schenken.
Egal was Du waehlst, du kannst hinterher dabei bleiben oder neu waehlen. Ob Du die erste Wahl triffst oder nicht, die eigentliche Start-Situation ist die, dass eine Tuer offen ist. Und zwar die, die der Moderator geoeffnet hat. JETZT waehlst Du. EIne der restlichen Tueren. Voellig unbeeindruckt davon, ob Du vorher eine getippt hattest oder nicht. Zwei Tueren, ein Gewinn.

Alle Bäume, die vor diesem Zeitpunkt starten, sind mit der Moderatorenwahl hinfaellig!

Es aendert sich die Situation ueberhauptnicht, egal ob Du beim Tipp die Tuer 1, 2 oder 3 tippst.
Sie ist Richtig oder Falsch. Aber eben nicht von einer Auswahl aus dreien, denn eine Wahlmoeglichkeit entnimmt Dir ja der Moderator.

Gruss

Michael

#14

Du hast vergessen, dass die erste Wahl voellig unerheblich ist

Nein. Wenn Du hinschaust, siehst Du, dass die drei Äste nicht gleich sind. Nur in einem der drei Fälle hat der Moderator noch die Wahl zwischen zwei Türen, in den anderen beiden nicht. Also kann der erste Schritt nicht unerheblich gewesen sein.

Du bist doch auch Programmierer. Schreib eine Simulation, lass sie 10.000 mal laufen und sieh Dir das Ergebnis an.
Dann schreibe noch eine Simulation, aber lass den ersten Schritt weg.

Im ersten Fall erhältst Du eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3, im zweiten Fall eine von 1/2. Was wiederum zur Erkenntnis führen sollte, dass die erste Wahl (oder meinetwegen der erste Tipp) eben doch eine Auswirkung hat.

Gruß,
KHK

#15

Spar Dir den ersten Tipp.
Der ist „wahrscheinlichkeitstechnisch“ voellig ueberfluessig.

Der ist aber der entscheidende.

Situation:
Eine geoeffnete Tuer (durch Moderator)
Zwei Geschlossene Tueren hinter deren einer ein Gewinn liegt.
Du kannst jede der beiden geschlossenen Tueen waehlen.
(unerheblich, welche der beiden DU zuvor getippt hattest)

Von Anfang an hat man mit 1/3 Wahscheinlichkeit den Gewinn, zu 2/3 also nicht. Weil man aus 3 ausgewählt hat.
So ist mit 2/3 der Gewinn hinter den anderen beiden Türen. Da der Moderator immer die Tür öffnet, hinter der nichts ist, bleiben die 2/3 für dei letzte geschlossene Tür.

Dein Ansatz wuerde nur dann gelten, wenn der Moderator auch
die von Dir getippte Tuer oeffnen koennte, ist aber per
Beschreibung der Voraussetzungen ausgeschlossen!

Er öffnet immer eine Tür mit einer Niete.

Gruß
T.

#16

Hallo,

Von Anfang an hat man mit 1/3 Wahscheinlichkeit den Gewinn, zu
2/3 also nicht. Weil man aus 3 ausgewählt hat.
So ist mit 2/3 der Gewinn hinter den anderen beiden Türen. Da

Genau das aendert sich aber, in dem Moment, wenn der Moderator eine Niete oeffnet. Damit macht er die Ausgangswahrscheinlichkeit von 1/3 zunichte und es besteht eine neue Ausgangssituation, ein neues Ereignis.

Das ist auch prima beschrieben unter den Kontroversen zu Marilyn vos Savant in
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem

der Moderator immer die Tür öffnet, hinter der nichts ist,
bleiben die 2/3 für dei letzte geschlossene Tür.

Nein. IN DIESEM Moment eben nicht mehr :wink:

Dein Ansatz wuerde nur dann gelten, wenn der Moderator auch
die von Dir getippte Tuer oeffnen koennte, ist aber per
Beschreibung der Voraussetzungen ausgeschlossen!

Er öffnet immer eine Tür mit einer Niete.

Gruß
T.

Das Problem ist deshals so interessant, weil viele Mathematiker nicht merken, dass ein Mathematisches Problem auf ein Semantisches abgebildet wurde und in dem Moment, in dem es zurueckgespiegelt wird, die Ausgangsvoraussetzungen nicht anpassen.

Gruss

Michael

Mathe macht Spass

#17

Hallo Michael.

das stimmt aber so nicht:

Deine Chance ist also von vorn herein 2/3.(3:1)

Nein!
Das nur, wenn Du zwei Tueren oeffnen haettest duerfen.

Du solltest Dir das wirklich nochmals durchdenken.
Auch solltest Du Dir mein Beispiel mit 10 oder 100 Türen ansehen.

Es ist also so, daß Du bei der ersten Auswahl immer die Tür
wählst,
welche Du bestimmt nicht willst.

Auch falsch.

Nein.

Es ist total egal, welche Tuer du als erst waehlst, denn Du
kennst das Ergebnis noch nicht

Richtig, aber ich weiß, daß das Auto mit 2/3 Wahrscheinlichkeit
bei den restlichen 2 Türen ist, wenn ich eine Tür ausschließe.
Habe ich 100 Türen, dann ist das Auto, wenn ich eine Tür wegnehme
mit 99/100 Wahrscheinlichkeit hinter den 99 anderen Türen.
Deine Blickrichtung ist falsch. Ich wähle nicht eine Tür aus hinter
der ich ein Auto vermute, sondern verwerfe eine, hinter der ich
kein Auto vermute - den Rest erledigt für mich der Moderator.

Einzige Voraussetzung: Der Moderator zeigt IMMER eine Tuer mit
Niete!

Das ist das Spiel, die Voraussetzung,daß der Moderator die Nieten
kennt und aussortiert, in dem er sie dadurch anzeigt, daß er sie
öffnet (ohne mir den Inhalt zu zeigen) und mir die Wahl läßt, mich
„neu“ zu entscheiden.(„neu“ habe ich nicht, ich wähle immer die,
welche der Moderator mir Rest läßt)
Gruß VIKTOR

PS.
Damit wir nicht ein „falsches“ Problem diskutieren hier der Auszug
aus dem angesprochenen WIKI-Artikel
„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ,Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“

#18

Simulation
netten guten Morgen

http://www.userpages.de/ziegenproblem/

wünsche weiterhin ein lustiges nachdenken

#19

Hallo Michael,

Das ist auch prima beschrieben unter den Kontroversen zu
Marilyn vos Savant in
http://de.wikipedia.org/wiki/Ziegenproblem

dann beherzige auch das, was dort steht.

der Moderator immer die Tür öffnet, hinter der nichts ist,
bleiben die 2/3 für dei letzte geschlossene Tür.

Nein. IN DIESEM Moment eben nicht mehr :wink:

Diesen Moment gibt es nicht.
Der Entscheidungsmoment,bei dem optimale Wahrscheinlichkeit greift
war ganz am Anfang bei dem der Spieler die zuerst gewählte Tür
verwarf ! Ja, er wählte sie bewußt, um sie zu dann zu verwerfen.
(bei Kenntnis des Spiels, davon gehen wir aus)
Würde der Spieler sich neu entscheiden nach dem der Moderator die
Niete durch das „öffnen“ einer Tür markiert hat, also ein zweites
mal,dann wären seine Chancen 50:50 - da hast Du recht.
Doch warum sollte er dies tun ? Die Chance daß das letzte noch nicht
gewählte ungeöffnete Tor das Auto enthält war immer 2/3 (2:1).
Warum sollte er seine Chance willkürlich verringern ?
Sei nicht so hartnäckig und betrachte doch mal die Beispiele
(auch im WIKI-Text) mit z.Bsp. 1000 Türen.
Die Anfangschance ist 999:1, sie bleibt und wird immer „sicherer“
je mehr Nieten der Moderator aussortiert.
Wenn der Moderator alle „restlichen“ 998 Tore (Nieten) durch öffnen
markiert bis auf die Letzte,warum sollte sich der Spieler bei dieser
letzten Tür neu entscheiden (beim Verwerfen !) bei der seine Chance
nur noch 1:1 wäre ?
Übrigens: Auch wenn der Moderator „zufällig“ zuerst alle Nieten
öffnet und das letzte Tor zur „neuen“ Auswahl frei stellt, würde
sich nichts ändern - oder doch ?
Wenn Du dies alles immer noch nicht wahrhaben willst, dann schreibe
Dir ein kleines Computerprogamm welches die Situation simuliert.
Gruß VIKTOR

#20

Hallo,

Nein. IN DIESEM Moment eben nicht mehr :wink:

klar, es hat sich ja nichts geändert, seit der ersten Wahl mit der Wahrscheinlichkeit von 1/3. Die Wahrscheinlichkeit, dass hinter mindestens einer der beiden anderen Türen kein gewinn ist, beträgt ja 1. Deshalb hat das Öffnen der anderen Tür keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Das Problem ist deshals so interessant, weil viele
Mathematiker nicht merken, dass ein Mathematisches Problem auf
ein Semantisches abgebildet wurde und in dem Moment, in dem es
zurueckgespiegelt wird, die Ausgangsvoraussetzungen nicht
anpassen.

Interessant ist, dass sich immer, wenn das Problem angesprochen wird, mindestens einer findet, der auf 50% beharrt.
Ausgangsvoraussetzungen kann man nicht anpassen, weil man ja von Anfang an davon ausgeht. Sie bilden sozusagen die Basis, egal, was die Semantik dazu sagt.
Mathematische Gesetze lassen sich eben nicht mit einer 2/3-Mehrheit im Bundestag ändern.

Gruss
T.