Hallo zusammen,
ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Eine Bank macht ihren Kunden folgendes Angebot: „Zahlen Sie 10 Jahre lang jährlich 1.000€ an uns.
Danach zahlen wir an Sie (beziehungsweise ihre Nachkommen) ewig 1.000€!“
Bei welchem Zinssatz geht diese Rechnung für die Bank auf?
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte wie diese Aufgabe zu lösen ist.
Freundliche Grüße,
Lösungsansatz
Hallo,
Bei welchem Zinssatz geht diese Rechnung für die Bank auf?
Ich denke mal soviel ist klar:
Der Zinssatz muss hoch genug sein, dass aus dem Vermögen, das sich im Lauf der zehn Jahre angesammelt hat, die Rendite zu bezahlen ist. Also: 1000 = Vermögen * Zinssatz
Nun musst du also herausfinden, bei welchem Zinssatz 1000 Euro ausgezahlt werden können. Erschwert wird das ganze natürlich dadurch, dass das Vermögen am Ende der zehn Jahre natürlich nicht 10.000 Euro beträgt, sondern… genau, da kommst du drauf.
Nun musst du nur noch die Formel für das Vermögen einsetzen und dann bist du entweder schlauer als ich, oder du musst numerisch lösen. 
Gruß
Anwar
Hallo,
Eine Bank macht ihren Kunden folgendes Angebot: „Zahlen Sie 10
Jahre lang jährlich 1.000€ an uns.
Danach zahlen wir an Sie (beziehungsweise ihre Nachkommen)
ewig 1.000€!“
Bei welchem Zinssatz geht diese Rechnung für die Bank auf?
also ausnahmsweise mal hier das Ergebnis- weil es keinen
geschlossenen Lösungsansatz (nach meiner Ansicht) dazu gibt.
Der Zinssatz beträgt ziemlich genau 6,8295%, wenn die Zinszahlung
ab der Einzahlung konstant ist.
Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand sagen könnte wie diese
Aufgabe zu lösen ist.
Anwar hat dies ja schon angedeutet.
Ich bin auch nicht schlauer und habe es mit dem Zinsrechner
http://www.zinsen-berechnen.de/sparrechner.php
durch probieren ermittelt.
Gruß VIKTOR
Hi,
wie schon gesagt, es muss etwas numerisch gelöst werden.
Unter der Annahme, dass alle Zahlungsvorgänge am Anfang des Jahres passieren, d.h. im wesentlichen, dass ein Jahr nach der letzten Einzahlung die erste Auszahlung erfolgt, ergibt sich, unter Anwendung geometrischer Summen, die Gleichung
X^11=1+X (mit X=1+p, p der Zinssatz).
Dass kann iterativ gelöst werden durch
X_(k+1)=Power(1+X_k,1.0/11)
oder mit einem Polynomgleichungslöser wie z.B.
http://www.akiti.ca/PolyRootRe.html
der als einzige reelle Lösung
1.0682971889208472
ergibt, also p=6,829718892 %
Gruß, Lutz
Hi,
wie schon gesagt, es muss etwas numerisch gelöst werden.
Unter der Annahme, dass alle Zahlungsvorgänge am Anfang des
Jahres passieren, d.h. im wesentlichen, dass ein Jahr nach der
letzten Einzahlung die erste Auszahlung erfolgt, ergibt sich,
unter Anwendung geometrischer Summen, die GleichungX^11=1+X (mit X=1+p, p der Zinssatz).
Dass kann iterativ gelöst werden durch
X_(k+1)=Power(1+X_k,1.0/11)
Sorry aber ich verstehe diese Formel leider nicht so ganz.
Also was z.B soll der Unterstrich genau darstellen und was ist mit Power gemeint?
Bin schonmal sehr dankbar für diesen Ansatz und das Ergebnis unten, würde aber jedoch auch selber den Lösungswegn gerne nachvollziehen können. Bin in Mathe leider nicht so gut und wäre für eine simpel gehaltene Erklärung, die man auch als Laie versteht, sehr dankbar.
Oder lässt sich diese Formel vllt. mit einer Formel aus der Zinsrechnung vergleichen?
oder mit einem Polynomgleichungslöser wie z.B.
http://www.akiti.ca/PolyRootRe.html
der als einzige reelle Lösung
1.0682971889208472
ergibt, also p=6,829718892 %
Wirklich vielen Dank nochmal.Denke wenn 2 Leute diesen Prozentsatz antworten, wird er wohl stimmen.
Gruß, Lutz
Vielen Dank! Die Zahl scheint zu stimmen.
Vielen Dank für diesen Ansatz.
Hi,
sorry, mit folgender ausführlicher Rechnung ergibt sich dann doch ein etwas anderer Zinssatz. Die vorherigen Überlegungen gelten nur, wenn die Einzahlungen am Jahresanfang erfolgen und die Auszahlung am Jahresende, wenn also eine Pause von 2 Jahren zwischen letzter Einzahlung und erster Auszahlung besteht.
sei R=1000Geld. Der Kontostand beträgt am Jahresanfang nach Einzahlen der Rate
im ersten Jahr K_1=R
im zweiten Jahr K_2=R*X+R
im dritten Jahr K_3=K_2*X+R=R*X^2+R*X+R
…
im zehnten Jahr K_10=R*X^9+R*X^8+…+R*X+R
Also immer letzter Kontostand verzinst plus neue Rate.
Am Anfang des elften Jahres nach der ersten Auszahlung gilt
K_11=K_10*X-R=R*X^10+R*X^9+…+R*X-R
Der Stand nach der ersten Auszahlung muss gleich dem Stand nach der letzten Einzahlung sein, K_11=K_10, damit in den folgenden Jahren dieser Vorgang stabil wiederholt werden kann. Zieht man dann die auf beiden Seiten gleichen Terme ab, so bleibt stehen
R*X^10-R=R
oder
X^10=2
oder
X=Power(2;0,1),
Power ist die Potenzfunktion, d.h.
X=2^0,1=1,07177346253629…,
d.h. der Zinssatz wäre 7,17735%.
Mach Dir am besten eine Excel-Tabelle zum Nachrechnen.
Gruß, Lutz
Hi,
X^10=2
oder
X=Power(2;0,1),
Power ist die Potenzfunktion, d.h.
X=2^0,1=1,07177346253629…,
ich glaube x = 10.Wurzel aus 2 wäre für die meisten Nicht-Mathematiker verständlicher gewesen, auch wenn es nicht so gut klingt.
Gruß
Pontius
Gegenvorschlag
Hallo zusammen.
sei R=1000Geld. Der Kontostand beträgt am Jahresanfang nach
Einzahlen der Rate im ersten Jahr K_1=R
Am Anfang des elften Jahres nach der ersten Auszahlung gilt
K_11=K_10*X-R=R*X^10+R*X^9+…+R*X-R
Also beträgt der Kontostand vor der ersten Auszahlung
K = R*X^10+…+R*X = RX(1+X+X^2+…+X^9)
K = R*X^{10}+…+R*X = RX\left(1+X+…+X^9\right)
= RX ; \frac{1-X^{10}}{1-X}.
Davon wird der Anteil XK-K=K(X-1) ausgezahlt. Dieser soll gleich den vorher jährlich eingezahlten R Geldeinheiten sein, also K(X-1)=R. Das ergibt
R = K(X-1)
= RX ; \big(1-X^{10}\big)\frac{X-1}{1-X}
\quad \Rightarrow \quad
X\left(X^{10}-1\right) = 1.
Die Lösung lautet wie schon in zwei anderen Beiträgen gepostet
X = 1.0682971889208412764…
Demnach beträgt der Zinssatz ca. 6,83%.
Liebe Grüße,
The Nameless
Hi,
ergibt, also p=6,829718892 %
Wirklich vielen Dank nochmal.Denke wenn 2 Leute diesen
Prozentsatz antworten, wird er wohl stimmen.
ob der Prozentsatz stimmt, kannst du doch ganz einfach rechnerisch überprüfen:
Erst rechnest du den Endwert aus, der sich bei dieser Verzinsung nach 10 Jahren ergeben würde und dann die Zinsen nach einem Jahr, die sich aus diesem Endwert ergeben würden. Wenn die Zinsen 1000€ betragen, stimmt der Zinssatz.
Gruß
Pontius
Davon wird der Anteil XK-K=K(X-1) ausgezahlt.
Das heißt aber, dass Du noch ein Jahr bis zur ersten Auszahlung wartest, damit der Kontostand KX beträgt, und dann soviel auszahlst, dass er auf K reduziert wird. Also doch zwei Jahre zwischen letzter Einzahlung und erster Auszahlung. Wenn sofort ausgezahlt wird, muss die Rate als R=K-K/X bestimmt werden, was wieder auf die zehnte Wurzel aus zwei führt.
Gruß, Lutz
PS: Als Excel(LibreOffice)-Tabelle sieht das dann so aus:
Rate R= 1000
Zinssatz p= 0,0717734625
Jahr Vorgang Kontostand
(Anfang)
1 1000 1000
2 1000 2071,7734625
3 1000 3220,4718174192
4 1000 4451,6162306391
5 1000 5771,1241412333
6 1000 7185,3377033669
7 1000 8701,0542695693
8 1000 10325,5590618967
9 1000 12066,6601880173
10 1000 13932,7261705222
11 -1000 13932,726169845
12 -1000 13932,7261691191
13 -1000 13932,7261683411
14 -1000 13932,7261675073
Hallo nochmal.
Offenbar verzinst Du anders als ich. Hier die Tabelle zu meiner Rechnung (mit Zinsfaktor 1.0682972):
Jahr Guthaben Guthaben
an Anfang am Ende
1 1000 1068,30
2 2068,30 2209,56
3 3209,56 3428,76
4 4428,76 4731,23
5 5731,23 6122,66
6 7122,66 7609,12
7 8609,12 9197,09
8 10197,09 10893,53
9 11893,53 12705,82
10 13705,82 14641,89
Am 1.Januar des 10. Jahres beträgt der Kontostand 13705,82€ nach eingegangener Buchung der jährlichen 1000€. Am 31.12. des 10. Jahres beträgt der Kontostand 14641,89€ nach Addition der jährlichen Zinsen.
Bei dem genannten Prozentsatz betragen die Zinsen auf 14641,89€ in etwa 1000,0002€, also bei pfenniggenauen Angaben die geforderten 1000€.
Rate R= 1000
Zinssatz p= 0,0717734625Jahr Vorgang Kontostand
(Anfang)
1 1000 1000
2 1000 2071,7734625
3 1000 3220,4718174192
Meines Erachtens hast Du die Zinsen des ersten Jahres vergessen!
Liebe Grüße,
The Nameless
Hallo Lutz,
sorry, mit folgender ausführlicher Rechnung ergibt sich dann
doch ein etwas anderer Zinssatz. Die vorherigen Überlegungen
gelten nur, wenn die Einzahlungen am Jahresanfang erfolgen und
die Auszahlung am Jahresende, wenn also eine Pause von 2
Jahren zwischen letzter Einzahlung und erster Auszahlung
besteht.
so ist es. Aber die „Pause“ ist nur ein Jahr ab erreichen des
Sparzieles.
Die „Anspar-Vertrag“ endet nach 10 Jahren mit der letzten
Zinszahlung. Dann ist das Kapitalziel erst erreicht.
Die letzte Zinszahlung im Sparvertrag ist kleiner als die aus der
Kapitalverzinsung.
Ich kann das Geld dann mitnehmen oder dort belassen.
Dieses wird dann jährlich verzinst mit dem gleichen Zinssatz wie
vorher die wachsenden Spareinlagen.
Anders ist die Aufgabenstellung nicht zu interpretieren und bei der
Bank wird dies wohl genau so gesehen - und so gehandhabt !
Deine erste Berechnung war richtig.
Der Stand nach der ersten Auszahlung muss gleich dem Stand
nach der letzten Einzahlung sein.
Diese erfolgt nach 9 Jahren !
Am Endstand fehlen noch die Zinsen aus dem 10.Vertragsjahr.
Gruß VIKTOR
Ca. 6,83% p.a. kommen heraus bei vorschüssiger und ca. 7,12%p.a. bei nachschüssiger Einzahlung.
Ca. 6,83% p.a. kommen heraus bei vorschüssiger und ca.
7,12%p.a. bei nachschüssiger Einzahlung.
„Nachschüssige“ Einzahlung gibt es nicht.
Erst einzahlen dann Zinsen - wie sonst ?
Aber
die 1000 EUR Zinsen auf den Endstand des 10. Jahres fallen erst im Laufe des 11. Jahres an, also können sie erst am Ende des 11. Jahres oder am Anfang des 12. Jahres ausgezahlt werden.
Also wieder 2 Jahre zwischen letzter Einzahlung und erster Auszahlung.
Gruß, Lutz
Ca. 6,83% p.a. kommen heraus bei vorschüssiger und ca.
7,12%p.a. bei nachschüssiger Einzahlung.
„Nachschüssige“ Einzahlung gibt es nicht.
Das wäre mir neu.
Erst einzahlen dann Zinsen - wie sonst ?
Ich habe nichts anderes behauptet.
Bei vorschüssiger Einzahlung wird die Rate immer zu Beginn des Sparintervalls gezahlt und bei nachschüssiger dagegen immer an dessen Ende.
Es gibt ja deshalb zur Ermittlung des Endwertes auch zwei unterschiedliche Formeln.
In dem genannten Beispiel könnten die 1000€ ja einmal jeweils am Jahresanfang oder aber am Jahresende eingezahlt werden.
Hallo Lutz.
die 1000 EUR Zinsen auf den Endstand des 10. Jahres fallen
erst im Laufe des 11. Jahres an, also können sie erst am Ende
des 11. Jahres oder am Anfang des 12. Jahres ausgezahlt
werden.Also wieder 2 Jahre zwischen letzter Einzahlung und erster
Auszahlung.
Ich verstehe die Aufgabe so, dass am ersten Tag des Jahres eingezahlt wird und am letzten Tag des Jahres die Zinsen für das gerade ablaufende Jahr ausgezahlt werden.
Aber über diese Finanzrechnungen mag ich nicht spekulieren. Deswegen lasse ich die Sache ruhen, bis der UP sich zurückmeldet und die genauen Modalitäten erläutert.
Ich hatte überhaupt nur geschrieben, um den schon vorher von VIKTOR und Dir angegebenen Zinssatz rechnerisch zu begründen.
Liebe Grüße,
The Nameless