Die Mönche

Freizeit & Hobby Rätsel
#1

Ich habe dieses Rätsel gesehen, und … naja … ist auf englisch. Hatte keine Lust es zu übersätzen. Aber ich setz mal voraus, dass hier jeder englisch kann. Wenn nicht, dann sorry !

Once upon a time there was a monastery in which lived several monks. One day a monk from another place came to the monastery, gathered all the monks and said to them:

„Dear friends, i’m afraid i have bad news. I’ve been told that some of you are infected with a mortal disease. Whoever is infected has a red dot behind the neck and the disease is not contagious. I won’t tell who is infected and i ask you to do the same. So, from now on, i ask you not to communicate with each other in any kind of way. I also know that this monastery doesn’t have any kind of mirror so you won’t be able to see if you have the red mark. But being brilliant logicians as you are i propose the following: each day you will meet by the afternoon where you can look at each other and at night you will each go to your private rooms. If you are positive you are infected you leave the monastery during the night. I’m confident about your success. Farewell my friends!“

And so the monks did!

  • In the 1st day the monks gathered in the afternoon and at night went to their rooms and none left the monastery
  • In the 2nd day the monks gathered in the afternoon and at night went to their rooms and none left the monastery
  • In the 3rd day the monks gathered in the afternoon and at night went to their rooms and all who were infected left the monastery

How many monks were infected? What was their reasoning?

#2

Ich habe dieses Rätsel gesehen, und … naja … ist auf
englisch. Hatte keine Lust es zu übersätzen. Aber ich setz mal
voraus, dass hier jeder englisch kann. Wenn nicht, dann sorry

Keine Sorge, das Rätsel ist - mehrfach - im Archiv zu finden:

/t/moechssterben-ohne-blaue-augen-g/494228

/t/moenche-loesung-unbekannt/1152795

/t/moenchs-raetsel/2386041

Und in FAQ:877 gibt es sogar einen Lösungsvorschlag.

Gruß
Kreszenz

#3

Frage an die Experten
Hallo zusammen,

ich hab mittlerweile mehrere Lösungsbeschreibungen durchgekaut und verstehe es leider immer noch nicht.

Kann mir das mal jemand für 3 infizierte Mönche in atomaren Schritten vorkauen? Wie es bei 1 oder 2 geht, ist mir klar.

Gruss,
TR

#4

ich hab mittlerweile mehrere Lösungsbeschreibungen durchgekaut
und verstehe es leider immer noch nicht.

Kann mir das mal jemand für 3 infizierte Mönche in atomaren
Schritten vorkauen? Wie es bei 1 oder 2 geht, ist mir klar.

Hallo Thomas,

ohne Experte zu sein versuch ichs mal:

20 Mönche, es sollen ja einige infizierte sein, also mindestens Einer.

a) Gibt es nur einen Infizierten, so sehen 19 einen Punkt und einer keinen Punkt. Dann weiß er was los ist…

b) 2 sind infiziert, so sehen 18 je 2 Punkte und 2 je 1 Punkt.
Am zweiten Tag sehen die 2 Infizierten ja immer noch nur einen Punkt.
Hätte es nur einen Infizierten gegeben, so wäre dieser wegen a) nicht mehr dagewsen, also wissen sie daß sie auch infiziert sind…

c) 3 sind infiziert, so sehen 17 3 Punkte und 3 je nur 2 Punkte.
Am zweiten tag sehen die 3 immer noch 2 Punkte, d.h. es könnten 2 oder 3 Infiziert sein.
Am dritten Tag sehen sie auch noch 2 Punkte, also lag Fall b) nicht vor, also wissen sie daß sie auch infiziert sind…

d) usw.

Gruß
Reinhard

1 Like
#5

Sind die alle bescheuert?
Hallo!

Also diese Mönche unternehmen alles nur menschenmögliche (genau beobachten, logisch schlußfolgern, abwarten, wieder genau beobachten usw.), nur um sicher zu gehen, dass sie auch ja sterben, wenn möglich.

Warum?

Sind die bescheuert?

Grüße

Andreas

#6

Hallo Reinhard,

erstmal danke.
Ich hatte 3 geschrieben und 4 gemeint.

Der Fall n=3 funktioniert deshalb, weil hier noch Sichtweisen herleitbar sind, unter denen es Mönche geben KÖNNTE, die genau einen Punkt sehen. Deshalb ist auch der Fall n=3 mit elementarer Logik zu erfassen.

Aber wie sieht es ab n = 4 aus?
Angenommen, ich selbst wäre infiziert und wüsste es nicht, dann gibt es für mich 3 Mönche, die genau 2 Punkte sehen KÖNNTEN (In Wirklichkeit sehen sie aber auch meinen eigenen Punkt, also jeweils 3).
Das wenigste, was ein Mönch also sehen KÖNNTE, sind 2 Punkte.
Es gibt hier also keinen Mönch mehr, der nur einen Punkt sehen KÖNNTE, und somit sind meiner Meinung nach keine individuellen Schlussfolgerungen mehr möglich.

Im Detail:
Seien es 10 Mönche.
4 seien infiziert.
–> 4 sehen jeweils 3 Punkte und 6 sehen jeweils 4 Punkte.
–> Aus Sicht der 4 infizierten Mönche könnte es sein, dass die jeweils 3 anderen Infizierten nur je 2 Punkte sehen.
Da aber niemand nur 2 Punkte sieht, kann man nicht auf den logisch griffigen Fall schliessen, jemand könnte nur einen Punkt sehen.

Was kann man also jetzt schliessen, und was ändert sich an verwertbarer Information, wenn die Mönche sich beim nächsten Mal alle wieder treffen?

GRuss,
TR

Was kann jetzt wer daraus schliessen?

Gruss,
TR

#7

Hai, Thomas,

versuch’ ich’s doch mal:

Also, 10 Mönche und Du bist einer davon.
Fall 1: 1 Infizierter - Du.
Du siehst Dich am ersten Abend um und siehst keine Punkte. Du folgerst, daß Du der einzige Infizierte bist und gehst. Alle anderen Mönche sehen am nächsten Abend keine Punkte, aber Du bist weg - alles klar.

Fall 2: 2 Infizierte - wieder bist Du einer.
Du siehst Dich um und siehst einen Punkt. Noch kannst Du infiziert sein, oder nicht. Am 2. Abend siehst Du wieder den Mönch mit Punkt - hätte dieser Mönch am ersten Abend keinen Punkt gesehen, wäre er wegen Fall 1 gegangen, ist er aber nicht, also sieht er auch einen Punkt - Deinen.
In dieser Nacht geht ihr beide und am nächsten Abend sind die restlichen 8 Mönche sicher, denn ihr seid weg.

Fall 3: 3 Infizierte - Du darfst raten… *g*
Du siehst Dich um und siehst 2 Punkte. Am zweiten Abend siehst Du immernoch zwei Punkte, aber egal, erst der dritte Abend interessiert Dich - da stellt sich nämlich heraus, daß es Mönche gibt, die mehr Punkte sehen, als Du, es Dich also erwischt hat - am vierten Abend seid ihr weg.

Fall 4: 4 Infizierte…
Interessant ist der vierte Abend - sind die „gepunkteten“ noch da?

Gruß
Sibylle

1 Like
#8

Hi Sibylle,

bin es wirklich ich, der hier total auf dem Schlauch steht, oder hat hier wirklich noch niemand versucht, höhere Fälle als n=3 durchzuspielen.

(…)

Fall 3: 3 Infizierte -(…) erst der dritte Abend
interessiert Dich - da stellt sich nämlich heraus, daß es
Mönche gibt, die mehr Punkte sehen, als Du(…)

Warum ist das relevant? Ich sehe nicht, warum die Mönche ohne Punkt hier eine Rolle spielen sollen.
Ich sehe das so (immer noch n=3):
Ich, als (nicht wissend) Infizierter gehe zunächst mal davon aus, dass ich nicht infiziert bin. Ich sehe 2 Punkte. Also unterstelle ich den beiden anderen Infizierten, dass sie jeweils nur 1 Punkt sehen.
Die weitere Argumentation geht nun analog zu n=1 und n=2.
Der Grund warum das klappt ist, weil man bei n=3 gerade noch hypothetische Sichtweisen konstruieren kann, wo jemand nur einen einzigen Punkt sieht.

Fall 4: 4 Infizierte…
Interessant ist der vierte Abend - sind die „gepunkteten“ noch
da?

Du schreibst das wie viele andere „Erklärungen“ einfach so hin.
Du unterstellst (mathematische) Induktion, aber warum soll das so sein?

Alle bei n=4 konstruierbaren hypothetischen Sichtweisen „sehen“ mindestens 2 Punkte.

Im Detail (n=4):
4 Mönche sehen jeweils 3 Punkte.
Die 4 Mönche hoffen, die jeweils anderen 3 bepunkteten Mönche sehen nur 2 Punkte.
Und nun ist Schluss. Es gibt keine weitere Schleife der Art
„was würde der-und-der denken wenn …“.
Es lässt sich keine Sichtweise konstruieren, in der jemand nur 1 Punkt sähe, und demnach kann niemand etwas konkretes für sich ableiten.

??

Gruss,
TR

#9

Hai, Thomas,

Fall 3: 3 Infizierte -(…) erst der dritte Abend
interessiert Dich - da stellt sich nämlich heraus, daß es
Mönche gibt, die mehr Punkte sehen, als Du(…)

Warum ist das relevant? Ich sehe nicht, warum die Mönche ohne
Punkt hier eine Rolle spielen sollen.
Ich sehe das so (immer noch n=3):
Ich, als (nicht wissend) Infizierter gehe zunächst mal davon
aus, dass ich nicht infiziert bin. Ich sehe 2 Punkte. Also
unterstelle ich den beiden anderen Infizierten, dass sie
jeweils nur 1 Punkt sehen.

Hätten sie nur einen Punkt gesehen, dann wären sie ja in der Nacht gegangen - also weg (siehe Fall 2), sie sind aber noch da, also sehen sie auch jeweils zwei Punkte. Damit weißt Du jetzt, daß Du es bist, der den dritten Punkt hat.

Die weitere Argumentation geht nun analog zu n=1 und n=2.
Der Grund warum das klappt ist, weil man bei n=3 gerade noch
hypothetische Sichtweisen konstruieren kann, wo jemand nur
einen einzigen Punkt sieht.

Nein - Du brauchst gar keine hypothetischen Sichtweisen.
Jeder zählt einfach die Punkte, die er sieht. Dabei sehen die nicht infizierten n Punkte und die Infizierten n-1 Punkte (den eigenen sehen sie ja nicht). Nun warten einfach alle auf den Tag x, der der von ihnen gezählten Anzahl der Punkte +1 ist.
Im Fall n=4 ist das für die Infizierten der vierte Abend, denn sie sehen ja nur drei Punkte. Wenn an diesem Abend die drei Mönche mit den Punkten immernoch da sind, dann heißt das für Dich, daß sie jeweils auch drei Punkte sehen müssen und das ihr vier heute Nacht gehen müsst.
Wärest Du nicht infiziert gewesen, dann hättest Du ja vier Punkte gesehen, auf den 5. Tag gewartet und festgestellt, daß Deine Brüder des Nachts verschwanden.

Die 4 Mönche hoffen, die jeweils anderen 3 bepunkteten Mönche
sehen nur 2 Punkte.

Dann hauen sie in der dritten Nacht ab, sind sie am 4. Abend noch da, dann sehen sie eben auch drei Punkte.

Vielleicht ist der für Dich wesentliche Hinweis, daß alle infizierten Mönche in einer einzigen Nacht gehen…

Gruß
Sibylle

#10

bin es wirklich ich, der hier total auf dem Schlauch steht,
oder hat hier wirklich noch niemand versucht, höhere Fälle als
n=3 durchzuspielen.

Die Logik entspricht in diesem Fall der vollständigen Induktion. Für n+1 gelten die gleichen Regeln wie für n, und da es für n=1 eine Lösung gibt, gilt diese Lösung für jedes beliebige n.

Gruß

#11

Induktion ist falsch !

bin es wirklich ich, der hier total auf dem Schlauch steht,
oder hat hier wirklich noch niemand versucht, höhere Fälle als
n=3 durchzuspielen.

Die Logik entspricht in diesem Fall der vollständigen
Induktion. Für n+1 gelten die gleichen Regeln wie für n, und
da es für n=1 eine Lösung gibt, gilt diese Lösung für jedes
beliebige n.

Das Rätsel kannst du aber nicht mit vollständiger Induktion beweisen/lösen , da du zwei Variablen hast. n>3 ist die Anzahl der Mönche, und k

#12

Das Rätsel kannst du aber nicht mit vollständiger Induktion
beweisen/lösen , da du zwei Variablen hast. n>3 ist die
Anzahl der Mönche, und k

#13

Das Rätsel kannst du aber nicht mit vollständiger Induktion
beweisen/lösen , da du zwei Variablen hast. n>3 ist die
Anzahl der Mönche, und k

#14

Hai, Mandy,

Ich weiss nicht, wie du die Aufgabe verstanden hast, aber es
stand eigentlich ganz klar, dass nach dem 3. Tag die
infizierten Mönche gehen müssen.

Nicht ganz - die Mönche müssen nicht nach dem dritten Tag gehen, egal wie viele infiziert sind, sondern sie gehen am dritten Tag und daraus kann man ablesen, wie viele infiziert sind…

Gruß
Sibylle

#15

Die Lösung sieht wie folgt aus:

Die Anzahl der Punkte, die ein Mönch sieht ist „n“ Dabei ist n für infizierte Mönche um 1 kleiner als für nicht infizierte.
Sind 12 infizierte Mönche da, dann sehen infizierte Mönche 11 Punkte (ihren eigenen sehen sie ja nicht)und nicht infizierte sehen 12.
An seinem eigenen Tag n+1 muss jeder Mönch gehen.

Sprich: wenn ich 11 Punkte sehe, dann entscheidet sich für mich am 11. Tag, ob ich am 12. gehen muss. Wenn nämlich die 11 Mönche mit em Punkt immer noch da sind, dann heißt das, dass sie auch 11 Punkte sehen und ich also auch einen auf der Stirn habe. Und dann gehen mit mir 11 andere.
Wären nur die 11 infiziert, bei denen ich den Punkt gesehen hab, dann wären sie schon am 11. Tag gegangen, weil sie jeder bloß 10 Punkte gesehen haben.

Gruzß
KB

#16

Hei !

Nicht ganz - die Mönche müssen nicht nach dem dritten Tag
gehen, egal wie viele infiziert sind, sondern sie gehen am
dritten Tag und daraus kann man ablesen, wie viele infiziert
sind…

das versteh ich jetzt überhaupt nicht …

Ha det !

#17

das versteh ich jetzt überhaupt nicht …

Stell dir vor, es wäre nicht nur ein Kloster, in dem das Problem auftritt, sondern es wären mehrere Klöster, jede einzelne Niederlassung des Ordens betroffen. In dem einen Fall, nach dem hier gefragt ist, gehen die Mönche nach dem dritten Tag. Sie gehen nicht, weil es der dritte Tag ist, oder weil ihnen jemand gesagt hat, dass sie nun gehen müssten.

Sie gehen, weil in diesem speziellen Fall die Infizierten nach dem dritten Tag sicher erkennen konnten, dass sie zur Gruppe der Infizierten gehören. Das ist aber reiner Zufall (genauer: reine Willkür in der Fragestellung). Schon im Nachbarkloster kann die Situation völlig anders aussehen, vielleicht gehen die Infizierten dort erst nach dem neunten Tag oder schon nach dem ersten… Auch die Anzahl der Anstaltsinsassen kann schwanken. Während im heidnischen Kummerow gerade mal drei Mönche ihr kümmerliches Klösterchen unterhalten, sind’s in der Bigoted Abbey im gut katholischen Irland vielleicht hundert. Und dennoch ist der Lösungsweg immer identisch. Sieht z. B. Mönch Felonius n andere Mönche mit Mal, und hat nach n Tagen noch kein Mönch das Haus verlassen, so weiss Felonius, dass auch er infiziert ist und wird in der nächsten Nacht, zusammen mit seinen Leidensgenossen das Haus verlassen.

Gruß

1 Like
#18

Mein Resumee
Hallo,

aus meiner Sicht ist Kampfbrot der Einzige, der die (für mich nun triviale) Lösung wirklich erklärt.
Das hat mit Induktion so wenig zu tun wie mit reiner Logik.
Es geht schlicht darum, eine Konvention zu finden, was aus meiner Sicht jedoch nicht der Rätselstellung entspricht.

Die Mönche stellen sich insgeheim in etwa folgende Aufgabe:
„Welche stillschweigende Übereinkunft müssen wir treffen damit jeder von uns seinen Infektionsstatus sicher erfährt?“

Im Ausgangsposting dieses Threads war explizit n=3.
3 ist die grösstmögliche zahl, für das Rätsel rein logisch lösbar ist, ohne eine übergreifende Konvention zu finden. Bei n=3 gibt es Mönche, die ab dem 1. Tag von Tag zu Tag einen Informationszuwachs erleben.
Weiter unten hab ich geschrieben, dass sich für n=3 noch Sichtweisen konstruieren lassen, die für n=3 ein hypothetisches n von 1 gerade eben noch zulassen und die „Logikmaschine“ demnach ihren Lauf nehmen kann ("was würde der und der denken, wenn blabla usw…)
Bei n=3 kann jeder Mönch am 1. Tag eine für alle Mönche gültige Aussage treffen: „Jeder Mönch sieht mindestens 1 Punkt“.
Am 2. Tag kann jeder Mönch eine für alle Mönche gültige Aussage treffen: „Jeder Mönch sieht mindestens 2 Punkte“, also ein Informationszuwachs.

Ab n=4 klappt das nicht mehr.
Hier gilt ab dem 1. Tag für immer „Jeder Mönch sieht mindestens 2 Punkte“, und deswegen greift kein logischer Ansatz mehr.
Ab n=4 ist am 2. Tag kein Mönch schlauer als am 1. , und wenn es die oben genannte Konvention nicht gäbe, dann wäre am 4. Tag immer noch niemand schlauer und alle würden am 5. Tag wieder erscheinen.

Induktion funktioniert sinngemäss so:

  1. Man zeigt, dass etwas für n= z.B. 1 gilt,
  2. man zeigt, dass,wenn es für n gilt, es auch für n+1 gilt.
    Aus 1+2 folgt, es gilt für alle n.

Alle einigermassen ausführliche Erklärungen beweisen es für n=1 bis maximal n=2 unter Verwendung von reiner Logik (ohne Konvention) und belassen es für höhere n bei der Lapidaren bemerkung „Der Rest folgt mit Induktion“, was jedoch eine Konvention voraussetzt.

Gruss,
TR

#19

Alle einigermassen ausführliche Erklärungen beweisen es für
n=1 bis maximal n=2 unter Verwendung von reiner Logik (ohne
Konvention) und belassen es für höhere n bei der Lapidaren
bemerkung „Der Rest folgt mit Induktion“, was jedoch eine
Konvention voraussetzt.

Du hast dich böse verrannt. Es bedarf keiner Konvention sondern ausschliesslich reiner Logik. Es gilt immer: Jeder infizierte Mönch sieht n-1 Punkte und jeder nicht infizierte sieht n Punkte. Wäre nur ein Mönch infiziert, würde nur dieser keinen Punkt sehen und wüsste daher, dass er selbst infiziert ist und verlässt die Abtei. Voraussetzung dafür - und die ist gegeben - ist, dass mind. ein Mönch infiziert ist.

Sind zwei Mönche infiziert, sieht jeder infizierte x einen Punkt. Für x ist entweder der je andere der einzig infizierte, dann hätte dieser die Abtei aber nach dem ersten Tag verlassen müssen. Der hat aber nicht verlassen, also muss x selbst gehen.

Sind drei Mönche infiziert, sieht jeder infizierte x zwei Punkte. Für x sind entweder die jeweils anderen die einzig infizierten, dann hätten diese die Abtei aber nach dem zweiten Tag verlassen müssen. Die haben aber nicht verlassen, also muss x selbst gehen.

Sind vier Mönche infiziert, sieht jeder infizierte x drei Punkte. Für x sind entweder die jeweils anderen die einzig infizierten, dann hätten diese die Abtei aber nach dem dritten Tag verlassen müssen. Die haben aber nicht verlassen, also muss x selbst gehen.

Sind fünf Mönche infiziert, sieht jeder infizierte x vier Punkte. Für x sind entweder die jeweils anderen die einzig infizierten, dann hätten diese die Abtei aber nach dem vierten Tag verlassen müssen. Die haben aber nicht verlassen, also muss x selbst gehen.

Sind sechs Mönche infiziert, sieht …

Lassen wir das, nachher kommst du noch mit dem Spezialfall 11.764 infizierter Mönche, und ich hab’s nur für 11.763 hingeschrieben. Fassen wir’s kurz: Jeder beliebige Mönch x sieht schon am ersten Tag n Punkte. Da er von einem idealen Modell ausgehen kann, in dem jeder Mönch über die gleichen geistigen Fähigkeiten verfügt und er selbst in der Lage ist, diese Aufgabe rein logisch zu lösen, bedarf er keinerlei Konvention. Er kann sich vielmehr darauf verlassen, dass entweder nach dem n-ten Tag die Infizierten das Kloster verlassen haben. Oder er weiss, dass er selbst infiziert ist und wird nach dem n+1 Tag selbst die Mücke machen.

Gruß

1 Like
#20

Warum?
Hi Herrmann,

ich rechne dir deine Mühe durchaus an, aber auch du sagst lediglich nur, dass es bei höheren n „einfach so ist“.
(…)

Wäre nur ein Mönch infiziert, würde nur dieser
keinen Punkt sehen und wüsste daher, dass er selbst infiziert
ist und verlässt die Abtei. Voraussetzung dafür - und die ist
gegeben - ist, dass mind. ein Mönch infiziert ist.

Sehe ich auch so. Du argumentierst mit elementarer Logik.

Sind zwei Mönche infiziert, sieht jeder infizierte x einen
Punkt. Für x ist entweder der je andere der einzig infizierte,
dann hätte dieser die Abtei aber nach dem ersten Tag verlassen
müssen. Der hat aber nicht verlassen, also muss x selbst
gehen.

Sehe ich auch so. Du argumentierst mit elementarer Logik.

Sind drei Mönche infiziert, sieht jeder infizierte x zwei
Punkte. Für x sind entweder die jeweils anderen die einzig
infizierten, dann hätten diese die Abtei aber nach dem zweiten
Tag verlassen müssen. Die haben aber nicht verlassen, also
muss x selbst gehen.

Hier ist deine Argumentation nicht mehr vollständig, aber das Ergebnis stimmt. Mit elementarer Logik kann man das hinbekommen.

Sind vier Mönche infiziert, sieht jeder infizierte x drei
Punkte. Für x sind entweder die jeweils anderen die einzig
infizierten, dann hätten diese die Abtei aber nach dem dritten
Tag verlassen müssen. Die haben aber nicht verlassen, also
muss x selbst gehen.

Warum soll das so sein?
Du machst es wie all die anderen Lösungsbeschreibungen.
Du erklärst n=1 und n=2 und maximal n=3 ausführlich und dann tust du so, als ob es bei höheren n einfach genau so sei!

Die logische Argumentation für die Fälle n=1 bis 3 bauen aber alle auf Gedankengänge und Schlussfolgerungen auf, die bei höheren n nicht mehr gegeben bzw. möglich sind!

Konkret:
Seien 10 Mönche, davon 4 infiziert.
Kannst du mal in atomaren Schritten hinschreiben, was welcher Mönch an welchen Tagen denkt und welche Schlussfolgerungen er zieht, was die 4 am 4.Tag dazu bewegt, abzutreten?

Gruss,
TR