Hallo,
zuerst ein Dank für Deine Kooperation.
Naja, es kommt darauf an, was du mit 400 meinst. Nehmen wir
mal an, du meinst die Familien, die du eingeladen hast. 400 Familien.
Ja, ich habe 400 Familien gemeint.
(e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es eine Zwei-Söhne-Familie?
p(x) = 1/3
Ja, alle Deine Antworten sind mit meinen identisch.
Der Einladung gefolgt sind die 400 Familien {JJ, JM, MJ, MM}. Die 100 Familien {MM} gehen spazieren und die 300 Familien {JJ, JM, MJ} bleiben in der Halle zurück. Davon sind die 100 Familien {JJ} Zwei-Söhne-Familien. Wenn ich mir nun in Abwesenheit der MM-Familien aus den übriggebliebenen 300 Familien in der Halle zufällig eine herausgreife, ist es mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 eine JJ-Familie.
Nun wundere ich mich aber sehr, denn User KHK hat doch in Re^3 genau dasselbe Problem spezifiziert und die Frage nach der Wahrscheinlichkeit ebenfalls mit 1/3 beantwortet:
[Zitat KHK]Die Aussage lautet: eine Familie hat zwei Kinder. (Mindestens) eins davon ist ein Junge.
…
Also 1/3.
[Zitat Ende]
Frage: Wenn sowohl Du als auch KHK und ich dieselbe Antwort p = 1/3 geben, womit hast Du dann ein Problem? Ist es nur die Erklärung von KHK, wie er zu dem Wert p = 1/3 kommt? Also der Teil, den ich im obigen Zitat herausgelassen habe ("…")? Dabei hat er es doch äquivalent erklärt wie ich mit den Familien in der Halle?
Dies fußt auf der Voraussetzung, dass die Auswahlmenge :binomialverteilt ist (was wir hier angenommen
haben, um zu behaupten, dass 100 MM usf sind).
Eine Menge kann überhaupt nicht binomialverteilt sein. Ausschließlich Zufallsgrößen können diese Eigenschaft besitzen. Du willst sagen, dass die Teilmengen {JJ}, {JM}, {MJ} und {MM} alle gleich groß (Elementanzahl) sind, genauer: Sie sind alle 1/4 so groß wie die Menge {JJ, JM, MJ, MM}. Das ist – natürlich zu verstehen im Sinn des Gesetzes der großen Zahlen – richtig.
Bitte informiere mich, wenn du verstehst, was ich meine.
Ich verstehe, dass Dir sehr daran gelegen ist, etwas anhand eines Baums (oder mehrerer Bäume) zu erklären. Was, weiß ich noch nicht genau und von einem Nachvollziehen Deiner Überlegungen bin ich auch noch weit entfernt. Teils weil ich ihren Kern noch nicht entdeckt habe, teils weil sie Argumente enthält, die mir völlig unbekannt sind, z. B. die Mittelwertbildung mehrerer Bäume (kannst Du mir vielleicht eine Quelle nennen, wo ich etwas speziell darüber nachlesen kann?). Unter uns: Insgesamt finde ich Deine Ausführungen ziemlich abenteuerlich, aber vielleicht verschaffst Du mir ja noch die Erleuchtung.
Die Söhne sind ja wohl unterscheidbar (aber das wird in der Form JJ verschleiert.
Wie bitte?? Bei der Informationslage „Mindestens ein Kind ist ein Sohn“ sind die Söhne un unterscheidbar. Und zwar nicht nur „scheinbar“ aufgrund einer Verschleierung, sondern sie sind wahrhaftig ununterscheidbar. Ihre Ununterscheidbarkeit ist das Wesen des Problems. Damit fällt aber die bernoullikettenmäßige Behandlung dieser Aufgabenstellung automatisch flach, denn Bernoullikette setzt Unterscheidbarkeit („erstes Kind“, „zweites Kind“) voraus. Das Problem ist schlicht und ergreifend nicht vom Typ „Bernoullikette der Länge 2“, sondern…
…vom Typ bedingte Wahrscheinlichkeit! Zunächst definiere ich eine Familie als „stammhaltend“, wenn sie keine Zwei-Töchter-Familie ist, d. h. wenn es mindestens einen männlichen Nachkommen („Stammhalter“) gibt.
Dann ist
A die Eigenschaft „Familie ist stammhaltend“ und
B die Eigenschaft „Familie ist eine JJ-Familie.“
Über die Wahrscheinlichkeiten für A und B sollten keine Zweifel bestehen:
p(A) = 3/4
p(B) = 1/4
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie, von der man bereits weiß, dass sie stammhaltend ist (d. h. A ist die Bedingung), eine JJ-Familie ist. Sie ergibt sich nach der Bayes-Formel zu
p(B|A)
= \frac{p(A \cap B)}{p(A)}
= \frac{p(B)}{p(A)}
= \frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}
= \frac{1}{3}
Eine völlig andere Sachlage wäre gegeben, wenn wir von der Familie nicht nur die Information „ist männlich“ hätten, sondern von einem bestimmten Kind wissen würden, dass es ein Junge ist. Die dadurch erzeugte Informationsasymmetrie erlaubt eine Zuordnung und macht das Problem damit zu einem Bernoullikettenproblem. Die Wahrscheinlichkeit, dass das verliebene fragliche Kind dann auch ein Junge ist, ist natürlich 1/2.
Gruß
Martin
