Ich habe jetzt ein neues Thema geöffnet, um diese Sache zu klären.
Grüße
Eric
Ugh.
Dann gibt es noch das Vater-Sohn-Problem (??) wo die Frage
zuerst so lautet: „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist
ein Sohn. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das andere auch
ein Sohn!“. Hier ist noch relativ einfach herauszufinden, dass
es 1/3 ist.
Was ich zu bezwei- bis dreifeln wage. Der erste Ableger ist ein Sohn. Da gibt es keine Wahrscheinlichkeit, sondern Gewissheit. Es handelt sich also nur beim zweiten Teil der Geschichte um etwas Stochastisches; und da liegt die Wahrscheinlichkeit naturbedingt bei ungefähr 50%.
Aga,
CBB
Und wieder haben wir den selben Fehler wiederholt.
Jetzt nervt’s
Glaub es oder lass es bleiben.
EOD
Hossa 
Was ich zu bezwei- bis dreifeln wage. Der erste Ableger ist
ein Sohn. Da gibt es keine Wahrscheinlichkeit, sondern
Gewissheit. Es handelt sich also nur beim zweiten Teil der
Geschichte um etwas Stochastisches; und da liegt die
Wahrscheinlichkeit naturbedingt bei ungefähr 50%.
Das zweite Kind ist aber auch schon da. Daher gibt es in deinem Sinne auch beim zweiten Kind keine Wahrscheinlichkeit. Das Zufallsexperiment, also das Kriegen der beiden Kinder, wurde bereits in der Vergangenheit abgeschlossen. Beim Kriegen von zwei Kindern gibt es 4 mögliche Ausgänge des Zufallsexperimentes: MM, JM, MJ und JJ. Da wir aber sicher wissen, dass der Vater mindestens einen Sohn hat, scheidet der erste Fall aus. Wir wissen, dass der Ereignisraum des Zufallsexperimentes nur noch aus 3 Möglichkeiten besteht: JM, MJ und JJ. Und bei genau einer dieser Möglichkeiten ist die Forderung nach 2 Jungs erfüllt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von 2 Jungs genau 1/3.
Viele Grüße
Hasenfuß
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Hallo,
(0) „Ein Mann hat zwei Kinder. Eines davon ist ein Sohn. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit ist das andere auch ein Sohn!“. Hier ist noch
relativ einfach herauszufinden, dass es 1/3 ist.
ja, aber nur wenn man die Frage falsch interpretiert, nämlich als:
(a) Ein Mann hat zwei Kinder. Mindestens eines davon ist ein Junge.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der Mann zwei Jungs?
Die richtige Antwort auf diese Frage ist pa = die Elementanzahl der Menge {JJ} geteilt durch die Elementanzahl der Menge {JJ, JM, MJ} = 1/3.
Ich würde die Frage (0) so wie sie hier formuliert wurde aber nicht gemäß (a) interpretieren, sondern so:
(b) Ein Mann hat zwei Kinder. Von einem bestimmten der beiden weiß
man, dass es ein Junge ist, kennt aber nicht das Geschlecht des anderen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat der Mann zwei Jungs?
Die richtige Antwort auf diese Frage ist pb = 1/2. Weil das Geschlecht des einen Kindes natürlich nicht die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, dass das andere Kind ein Junge ist.
Man ist einfach intuitiv stark geneigt, in das Denkmuster „das eine Kind“ und „das andere Kind“ zu verfallen, und dabei zu übersehen, dass es bei (a) gerade kein „das eine Kind“ und „das andere Kind“ gibt. Das ist der Clou an (a). Das (Schein-)Paradoxon löst sich auf, wenn man erkennt, dass die Prämissen „mindestens eines der Kinder ist ein Junge“ und „ein bestimmtes Kind ist ein Junge“ verschiedene Informationen enthalten.
Es wäre übrigens gar nicht so leicht, tatsächlich an die (a)-Information „mindestens eines der Kinder ist ein Junge“ zu kommen. Man könnte bei einer Zwei-Kinder-Familie zuhause anrufen, und wenn man Glück hat, geht der Vater dran. Bejaht er die Frage „Ist mindestens eines Ihrer Kinder ein Junge?“ hat man die (a)-Information. Sobald jedoch eines der Kinder drangeht und man erkennt an der Stimme, dass es ein Junge ist, hat man Pech, denn in diesem Moment liegt Fall (b) vor.
Dieses Problem wird auch nicht zum ersten Mal hier diskutiert:
/t/geschwisterparadoxon/1775467
Mit freundlichem Gruß
Martin
1 Like
Hallo,
http://www.wer-weiss-was.de/article/1775467
es wird nicht richtiger. Das Problem scheint darin zu bestehen, dass es schwer begreiflich ist, dass in der Statistik es nicht darum geht, ob ein Zufallsexperiment abgeschlossen wurde oder werden wird. Sondern um die Informationen, die wir haben.
Wenn wir also die Information haben, dass N-1 Kinder Jungen sind, dann haben wir keinen Binomialbaum. Dieser würde ja suggerieren, nur weil wir nicht wissen, an welcher Stelle k unser Knoten liegt, müssten wir diese Information resetten und einfach eine Binomialverteilung hinschreiben.
Das ist aber eine unzutreffende Vermutung, weil sie mit der Information, dass N-1mal die Wahrscheinlichkeit, auf den Pfade Junge zu gelangen, gleich 1 ist, nicht übereinstimmt.
Das Problem muss auch unabhängig von der Zeit sein. Wir haben es mit einem logischen Baum und nicht mit einem physikalischen Baum zu tun. Die Frage danach, ob das besagte Kind als viertes oder zehntes geboren wurde, kann daran nichts ändern.
Hier haben einige nur ein psychologisches Problem, dass die scheinbar konterintuitive Trumpfantwort p = 1/3 eben falsch ist. Paradoxien liegen nicht im Bereich zwischen Fachkundigen und Leuten, die keinen 2er Baum auswerten können und die erstaunt werden müssten.
Das Paradoxe daran ist, dass die fachliche(!) adhoc Antwort nicht zutreffend ist.
Grüße
Clydefrog
So viel Diskussion um ein Problem das sich doch ganz einfach mit einem Computer nachprüfen läst. Jeder der des Programmierens fähig ist schreibe sich ein Programm, führe den Versuch 1000.000 mal durch und staune über das Ergebnis ziemlich nahe bei 0.3333333333.
Das ist dann zwar keine Erklärung warum da 1/3 steht, aber es zeigt, dass es so ist!
MfG IGnow
Imho ist das Problem eher eine Ungenaue Angabe der Informationen (bzw. deren Gewinnung) in der Aufgabenstellung. Das ist sowieso häufig ein Problem bei Wahrscheinlichkeitsaufgaben. Woher weiß man denn, dass der eine Junge am Dienstag geboren wurde? Kennt man den Geburtswochentag beider Kinder, bzw. kann den ermitteln? Hat man die Informationen Junge und Dienstag unabhängig voneinander ermittelt, oder hat man z.B. erfahren, das ein Kind ein Junge ist, und dann (per Publikumsjoker oder was auch immer) zu diesem Kind die Information erhalten, das es am Dienstag geboren wurde (womit die Kinder ja immernoch nicht unterscheidbar sind - zumindest solange man nicht weiß, welches Kind an welchem Wochentag geburtstag hatte - oder kann mir jemand mit diesen 2 Informationen sagen, ob Kind A oder Kind B am Dienstag geboren wurde?).
PS: Gleiches gilt für das Vater mit 2-Kindern-Paradoxon. Auch hier ist ja nicht klar, wie die Information „eines der Kinder ist ein Junge“ ermittelt wurde. Je nachdem kommt eine andere Wahrscheinlichkeit heraus.
A) Nehmen wir an, man greift sich zufällig eines der Kinder heraus, und schaut, welches Geschlecht dieses Kind hat. Nun stellt man fest, dieses Kind war zufällig ein Junge. Was sagt das über das zweite Kind aus? Nichts - es bleibt bei 50% Wahrscheinlichkeit, dass das 2. Kind ein Junge ist.
B) Angenommen, ich frage jemanden, der die Familie kennt, ob der Vater nur Töchter hat, und diese Frage wird verneint. Damit weiß ich natürlich, das ein Kind ein Sohn sein muss. Wie steht es mit dem zweiten Kind? In dieser Variante kommt man tatsächlich auf die 33,33% Wahrscheinlichkeit.
Wie gesagt, letztlich ist die Aufgabenstellung nicht ausreichend formuliert, um die Frage zu beantworten.
Das Problem ist die Aufgabenstellung, siehe
/t/paradoxien-in-der-mathematik/6395945/45
Man kann also nicht sagen, ob nun 1/3 oder 1/2 stimmt.
Das geht. Die Mathematik ist eindeutig, die Lösung auf dieses Problem ist nicht „1/2 geht“. Wahrscheinlichkeiten sind eindeutige skalare Funktionen.
Das Problem ist, dass es einigen nicht gelingt, den Unterschied zwischen dem bekannten Gedankengang in der a priori Schätzung. Sie geben bestimmten Zeichen einen neuen Sinn und denken in plausiblen (aber falschen) Mustern, weil sie immer noch denken, dass Stochastik ja keine echte Mathematik mit Axiomen usf wäre, sondern mehr eine intuitive Sache.
Dies ist jedoch unzutreffend. Sie verwenden Zeichen falsch, informieren sich nicht darüber, wie es eigentlich ist und verspotten vom Throne des Unsinns die mathematisch richtige Lösung.
Hallo,
Das geht. Die Mathematik ist eindeutig, die Lösung auf dieses
Problem ist nicht „1/2 geht“.
OK, dann beschreib doch bitte noch mal das Problem und die Lösung, die Du für richtig hälst (und zwar – das ist wichtig – wirklich nochmal hinschreiben. Nicht verweisen auf „da und dort steht es doch“). Formuliere die Fragestellung unzweideutig und begründe Deine Lösung. Optimalerweise alles in klarem, knappen Stil.
Das Problem ist, dass es einigen nicht gelingt, den
Unterschied zwischen dem bekannten Gedankengang in der a
priori Schätzung.
Bei dem Satz fehlt die zweite Hälfte: Unterschied zwischen … und was?
Sie geben bestimmten Zeichen einen neuen Sinn
Welchem Zeichen wurde hier Deiner Meinung nach ein neuer Sinn gegeben, und worin besteht der alte sowie neue Sinn?
und denken in plausiblen (aber falschen) Mustern, weil
sie immer noch denken, dass Stochastik ja keine echte
Mathematik mit Axiomen usf wäre, sondern mehr eine intuitive Sache.
Nein, selbstverständlich ist auch Stochastik echte Mathematik mit Axiomen, und darin stimmt mir hier sicher jeder zu.
Dies ist jedoch unzutreffend. Sie verwenden Zeichen falsch,
informieren sich nicht darüber, wie es eigentlich ist und
verspotten vom Throne des Unsinns die mathematisch richtige
Lösung.
Niemand wird Dich verspotten. Stell noch mal das Problem und Deine Lösung dar.
Gruß
Martin
Hallo,
Hi,
Das geht. Die Mathematik ist eindeutig, die Lösung auf dieses
Problem ist nicht „1/2 geht“.OK, dann beschreib doch bitte noch mal das Problem und die
Lösung, die Du für richtig hälst (und zwar – das ist wichtig –
wirklich nochmal hinschreiben. Nicht verweisen auf „da und
dort steht es doch“). Formuliere die Fragestellung
unzweideutig und begründe Deine Lösung. Optimalerweise alles
in klarem, knappen Stil.
ok, Problemlage: Wir wissen, dass ein Elternpaar einen Sohn hat. Wir wissen, dass dasselbe Elternpaar zwei Kinder hat. Im Informationsbild bedeutet das:
Es gibt einen Knoten, an dem ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Kind ein Sohn ist, 1. Es gibt einen Knoten, von welchem wir keine Information haben.
Da in unserem Beispiel gleichgültig ist, an welchem Knoten wir sind, folgern wir nicht, dass die Verteilung dadurch zur Binomialverteilung wird.
Wir müssen die Wahrscheinlichkeiten p_k aus {1,1/2,0} nun auf den Baum verteilen. In einer Binomialverteilung verteilen wir aber nur {1/2}.
Der Baum sieht also so aus, dass an einer Stelle eine Entscheidung stattfindet und der Rest determiniert ist. Das Ergebnisspektrum reicht also automatisch nicht von MM nach JJ, sondern enthält entweder nur {(M,J),(J,J)} oder {(J,M),(J,J)}. Für jeden bestimmten Baum (von dem wir eine Kenntnis haben, was k ist) gilt dass p_k(M,J) = p_l(J,J) = p_l(J,M) = p_k(J,J)
wobei l der bestimmte Index des anderen Baumes ist, der nicht realisiert ist.
Es gibt keinen Hinweis darauf, in welchem Baum wir sind. Dies darf aber nicht so aufgelöst werden, dass man die Information löscht, sondern indem man Fälle unterscheidet. Da die Ergebnisse in jedem Baum gleich sind (p=1/2) und jeder Baum gleichwahrscheinlich (p = 1/N) ergibt der Mittelwert aller Bäume den Wert der einzelnen Bäume. p = 1/2.
Das Problem ist, dass es einigen nicht gelingt, den
Unterschied zwischen dem bekannten Gedankengang in der a
priori Schätzung.Bei dem Satz fehlt die zweite Hälfte: Unterschied zwischen …
und was?
sorry, und … dem erweiterten Gedankengang, die Information in das Modell als Information einzubinden, wahrzunehmen.
Sie geben bestimmten Zeichen einen neuen Sinn
Welchem Zeichen wurde hier Deiner Meinung nach ein neuer Sinn
gegeben, und worin besteht der alte sowie neue Sinn?
Die Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung beträgt:
p = (n über k) p^kq^(n-k). Die Wahrscheinlichkeit dieser Verteilung ist also normiert.
Also prägnant: Wenn ich eine BNV annehme, dann erhalte ich eine Wahrscheinlichkeit von 25% 50% und 50%. Der neue Sinn liegt nun in einer Reihe von angeblich zutreffenden Behauptung über diese Wahrscheinlichkeit, nämlich
Wenn ich alle anderen Ergebnisse ausschließe, indem ich also ihre Wahrscheinlichkeit auf 0 setze, gelten die Ergebnisse der BNV fort in dem Sinne, dass ihr Verhältnis untereinander fortbesteht (also ist es, wenn wir alle Pfade, in denen (M,M) vorkommt, nur noch neu zu normieren.
Dabei ist es offensichtlich so, dass der Ausschluss von Möglichkeiten gleichkommt einer Setzung von {1,0} in den Pfaden. Dass dies auf die Verteilung sich so auswirkt, dass die Relation der usprünglichen Wahrscheinlichkeiten untereinander nicht erhalten sein muss, ist klar. Dass es notwendigerweise gleich ist, ist bitte zu beweisen. Daraus folgt einiges an Unsinn über die Eigenschaften von Wahrscheinlichkeitsverteilung, die Auffassung ist schlimm. So kann man diese Zeichen nicht benutzen.
und denken in plausiblen (aber falschen) Mustern, weil
sie immer noch denken, dass Stochastik ja keine echte
Mathematik mit Axiomen usf wäre, sondern mehr eine intuitive Sache.Nein, selbstverständlich ist auch Stochastik echte Mathematik
mit Axiomen, und darin stimmt mir hier sicher jeder zu.
Si.
Dies ist jedoch unzutreffend. Sie verwenden Zeichen falsch,
informieren sich nicht darüber, wie es eigentlich ist und
verspotten vom Throne des Unsinns die mathematisch richtige
Lösung.Niemand wird Dich verspotten. Stell noch mal das Problem und
Deine Lösung dar.
Es ärgert mich nicht. Es geht um hochmütigen Stil und das eigenkritikfreie Beharren auf einer fixen Idee.
Gruß
Martin
Grüße
Eric
Wir wissen, dass ein Elternpaar einen Sohn hat.
Wir wissen, dass dasselbe Elternpaar zwei Kinder hat.
Nur zum Verständnis: Könnte man das auch gleichwertig ausdrücken durch den Satz
„Wir wissen von einer Zwei-Kinder-Familie, dass es keine Zwei-Töchter-Familie ist, aber sonst wissen wir nichts weiter über die Familie.“
Würde diese Formulierung denselben Sachverhalt ausdrücken?
(Sorry wenn ich so pingelig bin, aber dieser Punkt muss erst lupenrein geklärt sein.)
Hi,
ja genau und diese Information muss man in den Baum integrieren. Man kann also nicht den Binomialbaum einfach nehmen.
Grüße
Eric
Hallo,
allright, dann reden wir über dasselbe Problem.
Gedankenexperiment: Du beschaffst Dir eine große Zahl Adressen von Zwei-Kinder-Familien und lädst alle zu einem Treffen ein. Es kommen genau 400, die in einer riesigen Halle zusammenfinden.
(a) Wieviele Familien befinden sich in der Halle?
Nach dem Mittagessen entscheiden sich alle Zwei-Töchter-Familien spontan zu einem Spaziergang und machen sich auf den Weg. Alle übrigen Familien bleiben in der Halle.
(b) Wieviele Familien gehen spazieren?
© Wieviele Familien bleiben in der Halle?
(d) Wieviele davon sind Zwei-Söhne-Familien?
Nun greifst Du Dir zufällig eine Familie aus der Halle heraus.
(e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es eine Zwei-Söhne-Familie?
Beantworte bitte (a) bis (e). Das sollte keine Mühe bereiten. Wenn ich Deine Antworten kenne kann ich besser auf Deine Argumentation eingehen. Ich bin gespannt, ob es dieselben sind wie meine.
Gruß
Martin
Hallo,
allright, dann reden wir über dasselbe Problem.
Gedankenexperiment: Du beschaffst Dir eine große Zahl Adressen
von Zwei-Kinder-Familien und lädst alle zu einem Treffen ein.
Es kommen genau 400, die in einer riesigen Halle
zusammenfinden.(a) Wieviele Familien befinden sich in der Halle?
Naja, es kommt darauf an, was du mit 400 meinst. Nehmen wir mal an, du meinst die Familien, die du eingeladen hast. 400 Familien.
Nach dem Mittagessen entscheiden sich alle
Zwei-Töchter-Familien spontan zu einem Spaziergang und machen
sich auf den Weg. Alle übrigen Familien bleiben in der Halle.(b) Wieviele Familien gehen spazieren?
Das kann ich nicht a priori beantworten. Nehmen wir an, wir hätten es mit einer sehr großen Zahl zu tun. Dann würde ich vermuten, dass in guter Näherung eine Binomialverteilung rauskommt. Wie viele es tatsächlich sind, weiß ich nicht. Es geht ja aber wahrscheinlich um die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten und die sind (p(MM),p(JM),p(MJ),p(JJ) = (0.25,0.25,0.25,0.25)
mit Erwartungswerten 100 MM 100 MJ 100 JM 100 JJ
© Wieviele Familien bleiben in der Halle?
Na, erwartungsgemäß 300.
(d) Wieviele davon sind Zwei-Söhne-Familien?
Erwartungsgemäß 200.
Nun greifst Du Dir zufällig eine Familie aus der Halle heraus.
(e) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es eine
Zwei-Söhne-Familie?
p(x) = 1/3. Dies fußt auf der Voraussetzung, dass die Auswahlmenge binomialverteilt ist (was wir hier angenommen haben, um zu behaupten, dass 100 MM usf sind). Der binomiale Verteilungsschlüssel stimme auch für die Bevölkerung recht gut, kein Zweifel. Ich sehe das Problem in der Aufstellung des Baumes. Okay, zuerst anhand der Binomialverteilung: In natura entscheidet der Zufall auf dem JJJJJJ Ast an jeder Stelle, ob es eine Abweichung gibt. Unser Wissen sagt uns aber, dass der JJJJJJ Ast überall bis auf an einer Stelle wirklich eingetreten ist (wir blicken also zurück und sehen, dass an N-1 Stellen Jungen sind(!)). Unsere a priori Vermutung der Wahrscheinlichkeiten (BNV) wird also ersetzt durch eine neue Verteilung, weil wir nicht länger behaupten können, dass, wenn an einer Stelle (der uns unbekannten Stelle) 50:50 sein sollte, an der nächsten Kreuzung die Wahrscheinlichkeit wieder 50:50 ist. Das wird unserer Information nicht gerecht und der a priori Behauptung zuwider, denn diese geht ja davon aus, dass an jeder Kreuzung neu entschieden werden kann. Das ist für uns aber nicht der Fall, wir wissen ja, was ansonsten passieren muss.
Bitte informiere mich, wenn du verstehst, was ich meine.
Das zweite Problem liegt in der Identität der Söhne. Wenn ich von einem Kind weiß, ob Sohn ob nicht, dann habe ich damit einen bestimmten Knoten entschieden. Die Söhne sind ja wohl unterscheidbar (aber das wird in der Form JJ verschleiert. Wenn ich einen Unterschied mache zwischen MJ und JM dann suggeriert das eine Ordnung (MJ nicht JM) der Form 12. JJ suggeriert eine Aussage der Form 11, das ist aber unzutreffend. JJ entspricht dann genausogut 1,2. Dann gibt es zu jeder Abweichung von JJJJ um 1 (zB in JJJM) genau ein Gegenbild, welches genausowahrscheinlich ist wie diese Abweichung von JJJ, nämlich JJJJ. Wenn man also zwischen JM und MM unterscheidet, so muss man auch zwischen JJ und JJ unterscheiden und erhält wieder ein symmetrisches Bild. Das Problem besteht also darin, dass das eine N mal wahrscheinlicher erscheint, weil es scheinbar nur ein Gegenbild (JJJJJJJ…) hat. Da in MJ aber die Reihenfolge eine Rolle spielt im Gegensatz zu MJ dann auch in JJ zu JJ und dann ist das Gegenbild (JJJJJJJJ…) ebenfalls Nmal vorhanden.
Beantworte bitte (a) bis (e). Das sollte keine Mühe bereiten.
Wenn ich Deine Antworten kenne kann ich besser auf Deine
Argumentation eingehen. Ich bin gespannt, ob es dieselben sind
wie meine.
Ich habe deine Fragen nun beantwortet. und auch gesagt, wo ich die Probleme sehe. Es ist schwer formulierbar, dass wir quasi stehendes Wissen (Binomialverteilung) durch zusätzliche Information in manchen Punkten wieder verwässern (denn die Binomialverteilung enthält einen Unterschied, aber die Information, die wir kriegen, führt auf 50:50 zurück (indem in ihr gerade das Nfach mögliche Eintreffen von M an N Knoten suggeriert, was aber nicht unserer vollendeten Information entspricht), wobei wir doch jetzt gerne Präferenzen machen würden. In general, das können wir sicherlich. Aber das Problem ist so gestellt, dass eben das Nfache Möglichsein für uns nicht mehr möglich ist und damit zwei Bäume gleichwahrscheinlich werden, die es apriori nicht waren.
Gruß
Martin
Grüße
Eric
Frieden …
Bitte schau hier noch mal hin:
http://www.wer-weiss-was.de/article/6403408
Netter Gruß,
KHK
Hallo zwei Tipfehler bemerkt:
S1:
© Wieviele Familien bleiben in der Halle?
Na, erwartungsgemäß 300.
(d) Wieviele davon sind Zwei-Söhne-Familien?
Erwartungsgemäß 200.
100 erwartungsgemäß.
S2:
Wenn man also zwischen JM
und MM unterscheidet, so muss man auch zwischen JJ und JJ
unterscheiden und erhält wieder ein symmetrisches Bild.
Zwischen JM und MJ hieß es richtig.
Grüße
Eric